На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являютея весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Јагранжа представляют собой систему $s$ обыкновенных дифұеренциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобным перейти к системе $2 s$ обыкновенных дифференциатьных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа $L\left(q_{k}, \dot{q}_{s}\right)$ величины $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$ не являются независнмыми переменными, поскольку $\dot{q}_{k}$ – Это производные по времени от $q_{k}$. Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести $s$ новых переменных, $r_{k}$, согласно соотношениям
\[
\dot{q}_{k}=r_{k} \text {. }
\]

Уранения (б.101) арегсавляют собой $s$ обыкновениых дниферицнайных уравнении первого порядка, связывающих между собой $2 s$ переменных $q_{k}$ и $r_{k}$. Лагранжиан представияет собой теперь фупцию тех же самых $2 s$ переменых, $L\left(q_{k}, r_{k}\right)$, а уравнения Лагранжа (2.308) теперь уже превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка,
\[
\text { at } \frac{\partial L}{\partial t_{h}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0
\]

Уравнения (5.10i) и (5.102) совместно образуют систему $2 s$ уравнений первого порядка, и таким образом поставленная задача решена. Қак и раньше, состояние механиеской спетемы полностыо определено, если в определенный момент времени заданы значения всех $q_{k} 11 r_{k}$. Однако, если в гл. 2 мы расематриваем траекторию системы как кривую в s-мерном $q$-пространстве, теперь траекторня снстемы представляется уже как кривая в $2 s$-мерном $(q, r)$ пространстве.

Удобно вместо совокупности переменных $q_{k}, r_{k}$ ввести другую совокупность переменных, с помощью которых уравнения двнжения прнобретают более симметричный вид, чем уравнения (5.101) и (5.102). Мы снова ббращаемся к обоонениым пмильсам $p_{k}$, определяемым по (2.310); теперь (2.310) запинутся так:
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial h_{k}} \text {. }
\]

Эти соотношения, ити, тоннее, эти $я$ уравний сонместио с тривнальными равенствами $q_{k}=q_{i}$ и есть те уравнения, с помоцью которых мы совершаем преобразование от $q_{k}, \quad r_{k}$ к $q_{k}, p_{k}$. Если мы хотим записать уравнения двикения через переменные $q_{k}, p_{k}$, нам следует вместо лагранжиана $L\left(q_{k}, r_{k}\right)$ ввести гамильпониан системь, опредетив его следующим образом:
\[
H=\sum_{k} p_{k} r_{l}-L .
\]

Тегер уже мы расматрнаем вариацию $H$,
\[
\delta H=\sum_{i} p_{k} \delta r_{i k}+\sum_{k} r_{k} \delta p_{k}-\delta L .
\]

Ести восползовасься уравнениям движения (5.101),

(5.102) и определением (5.103), мы убедимся, что
\[
\delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial r_{k}} \delta r_{k}=\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\sum_{k} p_{k} \delta r_{k},
\]

так что
\[
\delta H=\sum_{k} r_{k} \delta p_{k}-\sum_{k} p_{k} \delta q_{k}=\sum_{\boldsymbol{k}} \dot{q}_{k} \delta p_{k}-\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k} .
\]

Отююда следует, что
\[
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Полученные уравнения движения называютея уравнениями Гамильтона или канониескими уравнениями двиюкения.

При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было возможно, совокупностью координат $q_{k}, r_{k}$, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы оперируем с набором $2 s$ независимых переменных. Очень часто, когда излагают теорию уравнений Јагранжа и уравнений Гамильтона, на это обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и (5.106) можно увидеть:
\[
\begin{array}{c}
H=\sum_{k} p_{k i} \dot{q}_{k}-L, \\
\delta H=\sum_{k} p_{k} \delta \dot{q}_{k}+\sum_{k} \dot{q}_{k} \delta p_{k}-\delta L, \\
\delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k}=\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\sum_{k} p_{k} \delta \dot{q}_{k} .
\end{array}
\]

Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме того, мы повсюлу предполагаем, что $L$ не зависит от времени явно; еслн это так, то это будет справедливо и по отношению к $H$.

Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104), (5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [нли (2.410)], (2.406), (2.407) и (2.409) – с другой.

Выясним теперь физический смысл $H$. Еще раз допустим, что кинетическая энергия $T$-однородная квадратичная функция $\dot{q}_{k}$ и что потенциальная энергия $U$ совсем не зависит от $\dot{q}_{k}$. Из теоремы Эйлера об однородных функциях мы получим:
\[
2 T=\sum_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}
\]

а. из $\left(5.104^{\prime}\right)$ и $(2.235)$
\[
H=\sum_{i} p_{k} \dot{q}_{k}-L=2 T-(T-U)=T+U,
\]

откуда видно, что $H$-это просто полная энергия, выраженная через перемениые $p_{k}$ и $q_{k}$.

Если $H$ не зависит от времени явно, то из (5.108) непосредственно вытекает, что энергия является интегралом движения,
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}+\sum_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}=0 .
\]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений двнжения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная – волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом; следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состонт в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения – как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущений. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход; $2 s$-мерное $(p, q)$-пространство в статистической механике называется фазовым пространством.

Из того обстоительства, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно преобразований от одной совокупности переменных $q_{k}$ к другой $q_{k}^{\prime}$ [см. (2.309)], немедленно вытекает, что если определить $p_{k}^{\prime}$ согласно формуле
\[
p_{k}^{\prime}=\frac{\partial L\left(q^{\prime}, \dot{q}^{\prime}\right)}{\partial \dot{q}_{k}^{\prime}},
\]

то уравнения движения, записанные через переменные

$q_{k}^{\prime}, p_{k}^{\prime}$, будут пметь вид:
\[
\dot{q}_{k}^{\prime}=\frac{\partial H\left(p^{\prime}, q^{\prime}\right)}{\partial p_{k}^{\prime}}, \quad \dot{p}_{k}^{\prime}=-\frac{\partial H\left(p^{\prime}, q^{\prime}\right)}{\partial q_{k}^{\prime}} .
\]

Теперь, когда для описания нашей системы выбрана совокупность $2 s$ координат, безусловно существуют более общие преобразования от одной совокупности координат к другой. Такими преобразованиями мы займемся в следующем параграфе.