Хотя у нас нет намерения входить в подробности, касающиеся неголономных связей, есть один интересный класс неголономных связей, на котором нам хочется хотя бы коротко остановиться. Речь идет о неинтегрируемых связях. В качестве примера физической системы, где встречаются такие связи, мы можем взять обруч (см. задачу № 4 к этой главе). Если через $x$ и $y$ обозначить координаты точки, в которой обруч касается земли, а через $\theta$-угол, показывающий, на сколько повернулся обруч, условие чистого качения имеет вид
\[
\delta x^{2}+\delta y^{2}=R^{2} \delta \theta^{2},
\]

где через $R$ обозначен радиус обруча,

Рассмотрим систему, в которой кроме $p$ связей вида (2.113) действуют еще $r$ неннтегрируемых связей типа
\[
\sum_{k} a_{k}^{(j)} \delta q_{k}=0, \quad j=1, \ldots, r .
\]

В соотношеннях (2.501) уже введены обобщенные кординаты $q_{k}$, т. е. мы уже приняли во внимание наличие голономных связей.

Вариационный принцип (2.307) остается справедливым, так что мы можем написать
\[
\int_{t_{1}}^{t} \sum_{k}\left[\frac{\partial L}{\partial y_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\right] \delta q_{k} d t=0
\]

вместе с условиями
\[
\delta q_{k}=0 \text { при } t=t_{1} \text { и при } t=t_{2},
\]

но теперь уже $\delta q_{k}$ больше не независимы, поскольку в любой момент времени они должны удовлетворять соотношениям (2.501). Выход из этого затруднения открывается снова в методе множителей Лагранжа, из которого в данном случае вытекает равенство
\[
\int_{i_{1}}^{t_{k}} \sum_{k}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{j=1}^{r} \lambda_{j} a_{k}^{(j)}\right] \delta q_{k} d t=0 .
\]

Теперь уже можно рассматривать $\delta q_{k}$ в качестве независимых переменных (ср. рассуждения в § 2.2), и тогда мы получаем уравнения двнжения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\sum_{j=1}^{r} \lambda_{j} a_{k}^{(j)}=0
\]

в форме, которая является промежуточной между уравнениями Лагранжа первого и второго рода. Множители $\lambda_{j}$, как и раньше, связаны с силами, действующими со стороны связей, а сопоставляя (2.504) с (2.501), можно найти величины $q_{k}$ и $\lambda_{j}$ в зависимости от времени. Пример такого промежуточного случая можно найти в задаче 4, упомянутой выше (см. стр. 66).

До сих пор всюду предполагалось, что потенциальная энергия $U$ зависит только от $q_{k}$. Однако вывод уравнений (2.308) не изменится и в том случае, если $U$ зависит не только от $q_{k}$, но и от $\dot{q}_{k}$. В этом случае уравнения (2.308)

примут вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}+\frac{\partial U}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Очень важным примером такого случая является движение заряженной точечной частицы в электромагнитном поле *). Через $\boldsymbol{E}$ мы обозначим напряженность электрического поля, а через $\boldsymbol{B}$-магнитную индукцию; эти величины связаны со скалярным и векторным потенциалами формулами:
\[
E=-
abla \varphi-\frac{\partial A}{\partial t}, \quad B=[
abla, A] .
\]

Уравнения движения могут быть получены из (2.505), если принять за потенциальную энергию выражение
\[
U=e \varphi-e(\boldsymbol{A} \cdot \dot{\boldsymbol{x}}) .
\]

Действительно, используя формулу
\[
\frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+(\dot{x} \cdot
abla) A,
\]

мы получим из (2.505):
\[
m \ddot{x}=-e
abla \varphi-e \frac{\partial A}{\partial t}+e[\dot{x},[
abla, A]]=F_{L},
\]

где через $F_{L}$ обозначена сила Лоренца:
\[
F_{L}=e\{E+[\dot{x}, B]\} .
\]
§2.6. Законы сохранения
Тот факт, что любой обобщенный импульс, соответствующий игнорируемой координате, является интегралом движения [см. (2.402)], подсказывает нам общую теорему o том, что если лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы преобразований, включающей в себя бесконечно малые преобразования, то отсюда следует наличие какого-то закона сохранения**). В этом пара-
*) Формулы записаны в системе СИ.
* Это утверждение связано с общей теоремой, принадлежащей Э. Нетер: любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия $S$ (см. гл. 6) данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Функция действия $S=\int L \cdot d t$ отражает, естественно, инвариантные свойства лагранжиана. См. 3. Нетер, Инвариантные вариационные задачи, в сб. «Вариационные принципы механики», Физматгиз, 1959. — Прйм.- перев.

графе мы получим три закопа сохранения с помоцьн таких соображений.
Рассмотрим преобразование
\[
\boldsymbol{x}_{i} \rightarrow \boldsymbol{x}_{i}+\delta \boldsymbol{x}_{i}, \text { нин } q_{k} \rightarrow q_{k}+\delta q_{k} .
\]

Эти преобразования изменяют лагранжиан, причем его изменение $\delta L$ мокно описать формулами:
\[
\delta L=\sum_{i}\left(
abla_{i} L-\delta x_{i}\right) \text { или } \quad \delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k} .
\]

Левая формула удобна в том случае, когда система опнсывается декартовыми координатами, правая — когда применяются обобщенные координаты $q_{k}$. Если группа преобразований, о которой шла речь в начале параграфа, может быть описана через изменение одной подходящим образом выбранной обобщенной координаты, скажем $q_{r}$, то для любого пронзвольного изменения $q_{r}$, т. е. для побого $\delta q_{r}$, лагранжиан не должен изменяться, т. е. $\delta L=0$, и следовательно,
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0,
\]

откуда вытекает, что
\[
p_{r}=\text { const. }
\]

В § 2.4 мы убедились в том, что дтя систем, потеншил которых зависит только от относительного расстоя. пия между частицами, импульс, соответствующй ;ординатам центра масс, является интегралом движения. Соответствующими обобщенными импульсами $p_{r}$ будут, таким со́разом, три компоненты полного импульса системы, Чтобы показать это, мы замечаем, что для систем такого рода лагранжиан инвариантен относительно любого поступательного перемещения (трапстяци), т. е. инвариантен относительно всех преобразований вида
\[
x_{i} \rightarrow x_{i}+\varepsilon,
\]

где через $\varepsilon$ обозначен произвольный вектор. Из (2.602) тогда следует, что
\[
\delta L=0=\frac{\Gamma}{i}\left(\Gamma_{i} L \cdot e\right),
\]

или же
\[
\sum_{i} \Gamma_{i} L=0
\]

поскольку вектор $\boldsymbol{\varepsilon}$-произвольный. Используя уравнения Лагранжа (2.308), получим:
\[
\sum_{i}^{d} d \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=0,
\]

или
\[
\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=\sum_{i} m_{i} x_{i}=P=\text { const. }
\]

Мы видим, что закон сохранения полного импульса следует из того, что лагранжиан инвариднтен относительно любых поступательных перемещений.

Тенерь перейдем к случаю, когда лагранжиан инвариантен относительно вращения вокруг некоторой оси. Пусть эта ось параллельна некоторому вектору $\boldsymbol{n}$; через $\delta \varphi$ мы обозначили угол поворота вокруг этой осн. Kоординатой $q_{r}$, фигурирующей в (2.603), является, таким образом, угол $\varphi$, и следует ожидать, что соответствующий обобшенный импульс $p_{\varphi}$ окажется интеграяом движения. Этот импульс оказывается просто моментом импульса относительно этой оси.

Проще всего это обнаруживается, если вспомнить, что вращение вокруг $\boldsymbol{n}$ на угол $\delta \varphi$ соответствует преобразованию координат
\[
\boldsymbol{x}_{i} \rightarrow \boldsymbol{x}_{i}+\delta \varphi\left[\boldsymbol{n}, \boldsymbol{x}_{i}\right],
\]

и (2.602) может быть поэтому записано в виде:
\[
\delta L=0=\sum_{i} \delta \varphi\left(
abla_{i} L \cdot\left[\boldsymbol{n}, \boldsymbol{x}_{i}\right]\right) .
\]

Последнее выражение может быть преобразовано:
\[
\delta \varphi \sum_{i}\left(\boldsymbol{n} \cdot\left[\boldsymbol{x}_{i},
abla_{i} L\right]\right)=\delta \varphi\left(\boldsymbol{n} \cdot \frac{d}{d i} \sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, m_{i} \dot{x}_{i}\right]\right)=0 .
\]

Или же окончательно:
\[
\left(\boldsymbol{n} \cdot \sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, m_{i} \dot{\boldsymbol{x}}_{i}\right]\right)=\mathrm{const}=M_{n},
\]

где через $M_{n}$ обозначена компонента полного момента импульса системы (1.309) вдоль направления $n$, Отсюда сразу же следует, что если лагранжиан инвариантен относительно любых врацений, то полный момепт импульса системы сохраняется.

И, наконец, остановимся на том случае, когда лагранжиан инвариантен по отношению к изменению временно́й координаты, т. е. когда лагранжиан не зависит от времени явно:
\[
\frac{\partial L}{\partial t}=0 .
\]

В этом случае мы найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d L}{d t}=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \ddot{q}_{k}+\frac{\partial L}{\partial t}= \\
= \sum_{k} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \frac{d q_{k}}{d t}=\sum_{k} \frac{d}{d t}\left(q_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\right),
\end{array}
\]

где в промежуточных выкладках использованы лаграижевы уравнения движения и (2.613). В том случае, который для нас особенно интересен, когда потенциальная функция $U$ зависит только от координат $q_{k}$, а $\dot{q}_{k}$ входят только в кинетическую энергию, которая к тому же является однородиой квадратичной функцией $q_{k}$, мы получим:
\[
\sum_{k} q_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}=\sum_{k} \phi_{k} \frac{\partial T}{\partial \tilde{q}_{k}}=2 T .
\]

Тогда из равенства (2.61к) шытекает
\[
\frac{d}{d t}\left(L-\sum_{k} \dot{q}_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\right)=0=\frac{d}{d t}(T-U-2 T),
\]

опуда, наконец, можно заключить, что
\[
E=T+U=\text { const },
\]

дде через $E$ обозначена полиая энергия системы.
Итак, если лагранжиан ингарианген относительно преобразования времени, то из этого обстоятельства вытекает закон сохранения энергии. Фактически этот резулітат представляет собой пин частний слунай пергого закона сохранения, полученого иые, если декартовы коорднаты рассматриветь на раних пранах е еременпо́й координатой (ср. §5.4).