Мы начнем этот параграф с того, что займемся состояпиями равновесия механических систем, т. е. систем, движение которых может быть описано уравнениями Лагранжа:
$$\frac{d}{d\overline{t}}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0.$$

Мы снова предположим, что потенциальная энергия $U$ не зависит от обобщенных скоростей, так что лагранжиан $L$ можно представить в виде:
$$L(q_k,{\dot{q}}_k)=T(q_k,{\dot{q}}_k)-U\left(q_k\right),$$

где $T$-кинетическая энергия системы.
Состояния равновесия системы определяются как такие состояния, описываемые набором обобщенных координат $q_k^{(0)}$, для которых ${\dot{q}}_k=0$ при $q_k=q_k^{(0,}$, причем и все высшие производные по времени от $q_k$ также обраџаются в нуль:
$$q_k=q_k^{(0)}\text{ и }{\dot{q}}_k=0\to {\ddot{q}}_k=0,{\ddot{q}}_k=0,{\cdots }_{q_k}=0,\dots$$

Это означает, что если все частицы, составляющие систему, находятся в покое в положениях, соответствующих обобщенным коордилатам $q_k=q_k^{\prime \prime }$, то они и всегда останутся в покое, т. е. условие $q_k=q_k^{\prime \prime }$ вместе с ${\dot{q}}_k=0$ при $t=t_0$ должно иметь следствием соблюдение равенств $q_k=q_k^0$ в любой последующий момент времени.

В предыдуцей главе мы установили (см. (2.302)), что кинетическая энергия системы может быть запнсана в виде:
$$T=\frac{1}{2}\sum _{k,l}{\dot{a}}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l,$$

причем $a_{kl}(=a_{lk})$ в общем случае зависят от $q_k$. Если воспользоваться равенством (3.104) для кинетической энергии $T$, то из (3.101) можно получить:
$$\sum _l{a}_{kl}{\ddot{q}}_l+\sum _{l,m}\frac{\partial a_{kl}}{\partial q_m}{\dot{q}}_l{\dot{q}}_m-\frac{1}{2}\sum _{l,m}\frac{\partial a_{lm}}{\partial q_k}{\dot{q}}_l{\dot{q}}_m+\frac{\partial U}{\partial l_k}=0\text{. }$$

Ести вести так называемые символы Кристофре:я $\left\{\begin{array}{l}Im\\ k\end{array}\right\}$,
$$\left\{\begin{array}{c}{l}_m\\ k\end{array}\right\}=\frac{1}{2}[\frac{\partial a_{lk}}{\partial {\eta }_m}+\frac{\partial a_{mk}}{\partial q_l}-\frac{\partial a_{lm}}{\partial {\dot{\eta }}_k}]$$

то (3.105) можио переписать в виде:
$$\sum _l{a}_{kl}{\ddot{q}}_l+\sum _{l,m}^{z_{aj}}\left\{\begin{array}{c}im\\ k\end{array}\right\}{\dot{q}}_l{\dot{q}}_m=F_k^g$$

где мы ввети обобиценние силы $Fs$ :
$$F_k^g=-\frac{\partial U}{\partial q_k}.$$

Символы Кристоффеля играют важную роль в римановой геометрин. С их значеннем для формулировки классической механики можно познакомиться в книгах: А. Д. Мак-Коннел, Введение в тензорный анализ, Физматгиз, 1963; И. Сокольников, Тензорный анализ, «Наука», Главная редакция физ. мат. литературы, 1971.

Из условий (3.103), определяющих состояние равновесия, и равенства (3.105) вытекает, что необходимыми условиями равновесия являотся равенства
$$\frac{\partial U}{\partial q_k}=0,k=1,\dots ,s\text{ при }{q}_l=q_l^{(0)}(l=1,\dots ,s).$$

Это означает, что в положении равновесия потенциальная функция имеет экстремум, или, точнее, принимает стационарное значение, Существует, однако, несколько возможностей, некоторые из которых для случая $s=2$ иллюстрируются на рис. 11. Рис. 11, $a$ соответствует абсолютному минимуму, и состояние равновесия устойчивое. Рис. 11, а соответствует абсолютному максимуму, а
Рис. 11. Возможные формы поверхиости уровня двумерной потенциальной энергии как функции обобщенных координат для различных состояний равновесия: a) устойчивое равновесие, б) неустойчивое равновесие, в) безразличное равновесие,
2) неустойчивое равновесие.

рис. 11,6-седловой топке; в обоих последних случаях равновесие неустойчивое. Наконец, рис. 11, в соответствует безразличному равновесию.

Теперь мы займемся малыми отклонениями от положения равновесия. Для упрощения формул мы перенесем начало координат в $q$-пространстве так, чтобы для рассматриваемого состояния равновесия (не следует забывать, что может быть вовсе не один набор значений координат, удовлетворяющий условиям равновесия) все $q_k^{(0)}$ обратились в нуль. Это значит, что, когда мы будем рассматривать малые отклонения от положения равновесия, значения $q_k$ будут малы, и мы можем воснользоваться разложением в ряд по этим малым величинам, ограничившись лишь несколькими первыми членами. Именно таким образом можно записать приближениые значения кинетической и потенциальной энергий:
$$\begin{array}{rl}U(q)& =U(0)+\sum _k{\left(\frac{\partial U}{\partial q_k}\right)}_0{q}_k+\frac{1}{2}\sum _{k_{,}}{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial q_k\partial q_l}\right)}_0{q}_k{q}_l+\dots ,\\ T(q,\dot{q})& =\frac{1}{2}\sum _{k,l}[{\left(a_{kl}\right)}_0+\sum _m{\left(\frac{\partial a_{kl}}{\partial q_m}\right)}_0{q}_m+\dots ]{\dot{q}}_k{\dot{q}}_{l\cdot }\end{array}$$

Воспользовавшись (3.109), полагая $U(0)=0$ и опуская все члены в $U$ третьего порядка и выше по $q$ и все члены первого порядка и выше в $T$, мы получим следующсе выражение для лагранжиана:
$$L=T-U=\frac{1}{2}\sum _{k_{2}l}{c}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l-\frac{1}{2}\sum _{k,l}{b}_{kl}{q}_k{q}_l,$$

где
$$c_{kl}={\left(a_{kl}\right)}_0=c_{lk},b_{kl}={\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial q_k\partial q_l}\right)}_0=b_{lk}.$$

Уравнения Лагранжа (3.101) приводят к основным уравнениям теории малых колебаний:
$$\sum _l{c}_{kl}{\ddot{q}}_l+\sum _l{b}_{kl}{q}_l=0,k=1,\dots ,s.$$

Для решения этих уравнений мы будем искать собственные колебания системы, т. е. такие решения, при которых все $q_k$ колеблются с одной и той же частотой. Это эквивалентно (как мы сейчас убедимся) отысканию другой совокупности координат, $Q_m$, таких, что в этих координатах уравнения движения приобретают простой вид:
$${\ddot{Q}}_m+{\lambda }_m{Q}_m=0,m=1,\dots ,s.$$

Величины $Q_m$ получаются из $q_k$ линейным преобразоваиием, откуда следует, что если собственные колебания $q_k$ удовлетворяют равенствам
$$q_k=A_k{e}^{i\omega t},$$

где частота $\omega$ одинакова для всех $q_k$, то амплитуды $A_{\mathit{k}}$ должны удовлетворять определенным уравнениям.

Чтобы убедиться во всем этом, мы исходим из (3.114). Умножая каждое из уравнений на постоянный множитель ${\alpha }_{\hslash }$ и суммируя по $k$, получим:
$$\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k{q}_l+\sum _{k,l}{b}_{kl}{\alpha }_k{q}_l=0.$$

Воспользовавшись симметрией коэффициентоз $c_{kl}$ II $b_{kl}$, заменим в последней сумме индекс $k$ на $l$ і наоборот. Тогда мы получим то же самое выражение, но в более удобном для дальнейшего виде:
$$\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_l{\varphi }_k+\sum _{k,l}{b}_{kl}{\alpha }_l{q}_k=0.$$

Если это уравнение должно совпадать с (3.115), где $Q_m$ является линейной комбннацней $q_k$,
$$Q_m=\sum _k{\beta }_k^{(m)}{q}_k,$$

то ${\alpha }_k$ и ${\beta }_k^{(m)}$ должны удовлетворять уравнениям
$$\sum _l{b}_{kl}{\alpha }_l={\lambda }_m{\beta }_k^{(m)},\sum _l{c}_{kl}{\alpha }_l={\beta }_k^{(m)},$$

или
$$\sum _l(b_{kl}-{\lambda }_{ml}{c}_{kl}){\alpha }_l=0,\sum _l{c}_{kl}{\alpha }_l={\beta }_k^{(m)}.$$

Первая система уравнений, входящая в (3.120), будет иметь нетривиальные решения для ${\alpha }_l$, т. е. решения, отличные от тривиального решения ${\alpha }_l=0$, для $l=1,2,\dots$ $\dots ,s$, лишь в том случае, если ${\lambda }_m$ будет одним из корней уравнения, записанного в виде определителя:
$$|b_{ki}-{\lambda }_{mm}{c}_{kl}|=0,$$

или же:
$$\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}-\lambda c_{11}& \dots & b_{1s}-\lambda c_{1s}\\ b_{21}-\lambda c_{21}& \dots & b_{ss}-\lambda c_{2s}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{s1}-\lambda c_{s1}& \cdots & b_{ss}-\lambda c_{ss}\end{array}\right|=0.$$

Если ${\lambda }_m$ — один из корней уравнения (3.121), то из (3.120) можно найти отношения величин ${\alpha }_k$, а следовательно, и величин ${\beta }_k^{(m)}$, что и позволяет в конечном счете составить линейную комбннацию $q_k$, образующих $Q_m$, которые в свою очередь удовлетворяют (3.115).

Заметим прежде всего, что из теории линейных уравнений вытекает, что ${\alpha }_k$ должны быть пропорциональны минору $k$-го элемента любой строчки определителя (3.121). Отсюда следует, что отношения, которые мы находим цля ${\alpha }_k$, зависят от ${\lambda }_m$. Уравнение (3.121) имеет $s$ корней, и таким образом найдется $s$ наборов величин ${\alpha }_k({\alpha }_k^{(m)}$; $m=1,2,\dots ,s$ ) и, следовательно, $s$ наборов ${\beta }_k^{(m)}$ и $s$ величин $Q_m$. Описанная процедура проводится совершенно непосредственно лишь в том случае, когда корни ${\lambda }_m$ певырожденные, т. е. ссли среди корней ${\lambda }_{in}$ нет равных. Ситуация усложняется, когда есть кратные корни. Мы не станем разбирать здесь случай кратных корней, отсылая читателя к другим руководствам, а будем преднолагать, что все корни различны. Если кратных корней нет, мы находим $s$ различных значений ${\lambda }_m$, $s$ различных наборов ${\alpha }_k$ и $s$ величин $Q_m$. Мы отметим только, что даже в том случае, когда корни кратные, возможно найти такую совокупность различных $Q_m$, для которых ${\alpha }_k^{(m)}$ удовлетворяют к тому же (3.122). Вплоть до конца параграфа мы в целях простоты будем считать, что все корни (3.121) различны.

Мы начнем с доказательства того, что все ${\lambda }_{\text{in }}$ действительны. Чтобы убедиться в этом, перепишем (3.119) так:
$$\sum _i{b}_{ki}{\alpha }_i^{(m)}={\lambda }_{rn}\sum _l{c}_{kl}{\alpha }_i^{(m)},$$

где верхиим индексом ( $m$ ) отмечено, что для различных значений ${\lambda }_m$ величины ${\alpha }_k$ различны. Умножая (3.122) на ${\alpha }_k^{(m)\ast }$ и суммируя по $k$, получим:
$$\sum _{k,l}{b}_{kl}{\alpha }_k^{(m)\ast }{\alpha }_l^{(m)}={\lambda }_m\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)\ast }{\alpha }_l^{(m)}.$$

Вычитая из полученного выражения (3.123) комплексно сопряженную ему величину, мы получим:
$$({\lambda }_m-{\lambda }_m^{\ast })\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)\ast }{\alpha }_l^{(m)}=0.$$

Поскольку $c_{kl}=c_{lk}$, а сами $c_{kl}$-действительные величин, сумма по $k$ и $l$ также действительная величина. Кроме того, эту сумму можно переписать в виде:
$$\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{a}_l^{(m)}=\sum _{k,l}{c}_{ki}{a}_k^{(n)}{a}_l^{(m)}+\sum _{k,l}{c}_{kl}{b}_k^{(m)}{b}_l^{(m)},гечерез\$a_k^{(m)}\$и\$b_k^{(m)}\$обозначеныдействительнаянмин:маячасти\${\alpha }_k^{(m)}\$.Изфизическогосмысласуммы\text{[}\frac{1}{2}\sum _{k_{i}l}{c}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l$$

являющейся кинетической знергией, вытекает, что обе суммы в правой части (3.125) положительно опрєделены. Но тогда из (3.121) следует
$${\lambda }_m={\lambda }_m^{\ast },$$

другими словами, что все ${\lambda }_m$ действительны. Ясно, что этот результат является следствием того, что кинетическая энергия является положительно определенной величиной.

Если все ${\lambda }_m$ действительны, то из того, что ${\alpha }_k^{(m)}$ пропорциональны минорам определителя (3.121), следует возможность выбора всех ${\alpha }_k^{(m)}$ также действительными величинами. (Поскольку весь набор ${\alpha }_k^{(m)}$ для данного значения $m$ можно умножить на общий множитель, который может быть и комплексным, мы не можем утверждать, что все ${\alpha }_k^{(m)}$ действительны; однако их можно выбрать действительными.) Мы будем предполагать, что сделан именнс такой выбор ${\alpha }_k^{(m)}$ для задапого $m$. МыІ выберем к тому же ${\alpha }_4^{(m)}$ так, чтобы выполнялось условие
$$\sum _{k,i}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(m)}=1.$$

Последнее уравнение называется условием нормировк: ${\alpha }_k^{(m)}$. Если умножить (3.122) на ${\alpha }_k^{(n)}$ и просуммироват по $k$, мы получим:
$$\sum _{k_{i}l}{b}_{kl}{\alpha }_l^{(m)}{\alpha }_k^{(n)}={\lambda }_m\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_l^{(m)}{\alpha }_k^{(n)}.$$

Вычитая из уравнения (3.128) это же самое уравнение, но в котором индексы $m$ и $n$ поменялись местами, мы придем к соотношению:
$$({\lambda }_m-{\lambda }_n)\sum _{k_{i}l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(n)}=0;$$

из (3.129) следует, что при $motn$
$$\sum _{ki}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(n)}=0.$$

Таким образом, объединяя (3.127) и (3.130), мы приходим к следующим условиям ортонормировки:
$$\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(n)}={\delta }_{mn},$$

где ${\delta }_{mn}$-символ Кронекера,
$${\delta }_{mn}=0,meqn;{\delta }_{mn}=1,m=n.$$

Если умножить (3.131) на ${\alpha }_r^{(n)}$ и произвести суммирование по $n$, мы получим соотношение
$$\sum _k\left[\sum _{l,n}{c}_{kl}{\alpha }_l^{(n)}{\alpha }_r^{(n)}\right]{\alpha }_k^{(m)}={\alpha }_r^{(m)},$$

из которого непосредственно следует
$$\sum _{l,n}{c}_{kl}{\alpha }_l^{(n)}{\alpha }_r^{(n)}={\delta }_{kr}$$

Из (3.123) можно получить:
$${\lambda }_m=\frac{1/2\sum b_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(m)}}{1/2\sum c_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(m)}}.$$

В (3.135) внаменатель дает значение кинетической энергии, когда ${\dot{q}}_k$ равны ${\alpha }_k^{(m)}$. Если ${\alpha }_k^{(m)}$ норми рованы согласно (3.131), знаменатель превращается в $1/2$. Числитель равен потенциальной энергии, если $q_k$ равны ${\alpha }_k^{(m)}$. Если мы рассматриваем систему вблизи положения устойчивого равновесия (см. рис. 11,a), это выражение будет положительно определенным и все ${\lambda }_m$ будут положительпыми. Если же мы находимся вблизи такого положення равиовесия, которое изображено на рис. 11,2 , числитель будет отрицательным и все ${\lambda }_m$ окажутся отрицательными. В случае, соответствующем рис. 11,6 , мы должны ожидать как положительные, так и отрицательные ${\lambda }_m$, тогда как в случае безразличного равновесия по крайней мере днна из ${\lambda }_m$ обращается в нуль. В следующем параграфе иы столкнемся со всеми этими возможностями.

Вернемся теперь к $Q_m$, для которых мы имеем из (3.118) и (3.119):
$$Q_m=\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_l^{(m)}{q}_k.$$

Умножая это равенство на ${\alpha }_r^{(i)}$, суммируя по $m$ и используя (3.134), получим:
$$\sum _m{\alpha }_r^{(m)}{Q}_m=\sum _{k,l,m}{c}_{kl}{\alpha }_l^{(m)}{\alpha }_r^{(m)}{q}_k=q_r.$$

Совокупность равенств (3.136) и (3.137) и определяет преобразование от $q_k$ к $Q_m$ и наоборот.

Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы через $Q_m$ и ${\dot{Q}}_m$ :
$$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}\sum _{k,l}{c}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l=\frac{1}{2}\sum _{k,l,il,n}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(n)}{\dot{Q}}_m{\dot{Q}}_n=\frac{1}{2}\sum _{nl}{\dot{Q}}_m^3,\\ U=\frac{1}{2}\sum _{k,l}{b}_{kl}{q}_k{q}_l=\frac{1}{2}\sum _{k,l,m,n}{b}_{kl}{\alpha }_k^{(m)}{\alpha }_l^{(n)}{Q}_m{Q}_n=\\ =\frac{1}{2}\sum _{m,n}{\lambda }_m\sum _{k,l}{c}_{kl}{\alpha }_k^{(n)}{\alpha }_l^{(n)}{Q}_m{Q}_n=\frac{1}{2}\sum _m{\lambda }_{ml}{Q}_m^2,\end{array}$$

где нами использованы соотношения (3.131) и (3.128). Мы обнаружили, что преобразования (3.137) приводят как кинетическую энергию, так и потенциальную к сумме квадратов соответствующих переменных или, другими словами, приводят их к главным осям.

Уравнения движения переходят, конечно, в (3.115), рецения которых можно записать в виде:
$$Q_m=Q_m^{(0)}{e}^{-it{\omega }_{m}t},$$

где
$${\omega }_m=\sqrt{{\lambda }_m}.$$

Мы обнаруживаем, что голожительным значениям ${\lambda }_m$ соответствуют действительные значения ${\omega }_m$ и, следовательно, настоящие колебания, тогда как отрицательные ${\lambda }_m$ ведут к чисто мнимым ${\omega }_m$ и, следовательно, к монотонно возрастающей или убывающей амплитуде. Теперь мы уже в состоянии увидеть связь между видами потенциальной энергии в окрестности равновесного состояния (рис. 11) и устойчивостью равновесия.

Величины $Q_m$ называются нормальными координатами, и каждой из них соответствует одна из нормальных чаcmom. Если только одна нз них отлична от нуля, мы получаем для $q_k$ выражеия типа (3.116), тhe oбman частота а просто равна ${\omega }_m$, в то время как амплитуды $A_k$ проюорцинальны ${\alpha }_k^{(m)}$. В общем случае $q_k$ представляют собой линейные комбинации различных $Q_m$, образуемые согласно $(3.137)$.