Мы начнем этот параграф с того, что займемся состояпиями равновесия механических систем, т. е. систем, движение которых может быть описано уравнениями Лагранжа:
\[
\frac{d}{d \bar{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Мы снова предположим, что потенциальная энергия $U$ не зависит от обобщенных скоростей, так что лагранжиан $L$ можно представить в виде:
\[
L\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right)=T\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right)-U\left(q_{k}\right),
\]

где $T$-кинетическая энергия системы.
Состояния равновесия системы определяются как такие состояния, описываемые набором обобщенных координат $q_{k}^{(0)}$, для которых $\dot{q}_{k}=0$ при $q_{k}=q_{k}^{(0,}$, причем и все высшие производные по времени от $q_{k}$ также обраџаются в нуль:
\[
q_{k}=q_{k}^{(0)} \text { и } \dot{q}_{k}=0 \rightarrow \ddot{q}_{k}=0, \ddot{q}_{k}=0, \cdots_{q_{k}}=0, \ldots
\]

Это означает, что если все частицы, составляющие систему, находятся в покое в положениях, соответствующих обобщенным коордилатам $q_{k}=q_{k}^{\prime \prime}$, то они и всегда останутся в покое, т. е. условие $q_{k}=q_{k}^{\prime \prime}$ вместе с $\dot{q}_{k}=0$ при $t=t_{0}$ должно иметь следствием соблюдение равенств $q_{k}=q_{k}^{0}$ в любой последующий момент времени.

В предыдуцей главе мы установили (см. (2.302)), что кинетическая энергия системы может быть запнсана в виде:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k, l} \dot{a}_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l},
\]

причем $a_{k l}\left(=a_{l k}\right)$ в общем случае зависят от $q_{k}$. Если воспользоваться равенством (3.104) для кинетической энергии $T$, то из (3.101) можно получить:
\[
\sum_{l} a_{k l} \ddot{q}_{l}+\sum_{l, m} \frac{\partial a_{k l}}{\partial q_{m}} \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}-\frac{1}{2} \sum_{l, m} \frac{\partial a_{l m}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}+\frac{\partial U}{\partial l_{k}}=0 \text {. }
\]

Ести вести так называемые символы Кристофре:я $\left\{\begin{array}{l}I m \\ k\end{array}\right\}$,
\[
\left\{\begin{array}{c}
l_{m} \\
k
\end{array}\right\}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial a_{l k}}{\partial \eta_{m}}+\frac{\partial a_{m k}}{\partial q_{l}}-\frac{\partial a_{l m}}{\partial \dot{\eta}_{k}}\right]
\]

то (3.105) можио переписать в виде:
\[
\sum_{l} a_{k l} \ddot{q}_{l}+\sum_{l, m}^{z_{a j}}\left\{\begin{array}{c}
i m \\
k
\end{array}\right\} \dot{q}_{l} \dot{q}_{m}=F_{k}^{g}
\]

где мы ввети обобиценние силы $F s$ :
\[
F_{k}^{g}=-\frac{\partial U}{\partial q_{k}} .
\]

Символы Кристоффеля играют важную роль в римановой геометрин. С их значеннем для формулировки классической механики можно познакомиться в книгах: А. Д. Мак-Коннел, Введение в тензорный анализ, Физматгиз, 1963; И. Сокольников, Тензорный анализ, «Наука», Главная редакция физ. мат. литературы, 1971.

Из условий (3.103), определяющих состояние равновесия, и равенства (3.105) вытекает, что необходимыми условиями равновесия являотся равенства
\[
\frac{\partial U}{\partial q_{k}}=0, \quad k=1, \ldots, s \quad \text { при } \quad q_{l}=q_{l}^{(0)} \quad(l=1, \ldots, s) .
\]

Это означает, что в положении равновесия потенциальная функция имеет экстремум, или, точнее, принимает стационарное значение, Существует, однако, несколько возможностей, некоторые из которых для случая $s=2$ иллюстрируются на рис. 11. Рис. 11, $a$ соответствует абсолютному минимуму, и состояние равновесия устойчивое. Рис. 11, а соответствует абсолютному максимуму, а
Рис. 11. Возможные формы поверхиости уровня двумерной потенциальной энергии как функции обобщенных координат для различных состояний равновесия: a) устойчивое равновесие, б) неустойчивое равновесие, в) безразличное равновесие,
2) неустойчивое равновесие.

рис. 11,6-седловой топке; в обоих последних случаях равновесие неустойчивое. Наконец, рис. 11, в соответствует безразличному равновесию.

Теперь мы займемся малыми отклонениями от положения равновесия. Для упрощения формул мы перенесем начало координат в $q$-пространстве так, чтобы для рассматриваемого состояния равновесия (не следует забывать, что может быть вовсе не один набор значений координат, удовлетворяющий условиям равновесия) все $q_{k}^{(0)}$ обратились в нуль. Это значит, что, когда мы будем рассматривать малые отклонения от положения равновесия, значения $q_{k}$ будут малы, и мы можем воснользоваться разложением в ряд по этим малым величинам, ограничившись лишь несколькими первыми членами. Именно таким образом можно записать приближениые значения кинетической и потенциальной энергий:
\[
\begin{aligned}
U(q) & =U(0)+\sum_{k}\left(\frac{\partial U}{\partial q_{k}}\right)_{0} q_{k}+\frac{1}{2} \sum_{k_{,}}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{k} \partial q_{l}}\right)_{0} q_{k} q_{l}+\ldots, \\
T(q, \dot{q}) & =\frac{1}{2} \sum_{k, l}\left[\left(a_{k l}\right)_{0}+\sum_{m}\left(\frac{\partial a_{k l}}{\partial q_{m}}\right)_{0} q_{m}+\ldots\right] \dot{q}_{k} \dot{q}_{l \cdot}
\end{aligned}
\]

Воспользовавшись (3.109), полагая $U(0)=0$ и опуская все члены в $U$ третьего порядка и выше по $q$ и все члены первого порядка и выше в $T$, мы получим следующсе выражение для лагранжиана:
\[
L=T-U=\frac{1}{2} \sum_{k_{2} l} c_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}-\frac{1}{2} \sum_{k, l} b_{k l} q_{k} q_{l},
\]

где
\[
c_{k l}=\left(a_{k l}\right)_{0}=c_{l k}, \quad b_{k l}=\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{k} \partial q_{l}}\right)_{0}=b_{l k} .
\]

Уравнения Лагранжа (3.101) приводят к основным уравнениям теории малых колебаний:
\[
\sum_{l} c_{k l} \ddot{q}_{l}+\sum_{l} b_{k l} q_{l}=0, \quad k=1, \ldots, s .
\]

Для решения этих уравнений мы будем искать собственные колебания системы, т. е. такие решения, при которых все $q_{k}$ колеблются с одной и той же частотой. Это эквивалентно (как мы сейчас убедимся) отысканию другой совокупности координат, $Q_{m}$, таких, что в этих координатах уравнения движения приобретают простой вид:
\[
\ddot{Q}_{m}+\lambda_{m} Q_{m}=0, \quad m=1, \ldots, s .
\]

Величины $Q_{m}$ получаются из $q_{k}$ линейным преобразоваиием, откуда следует, что если собственные колебания $q_{k}$ удовлетворяют равенствам
\[
q_{k}=A_{k} e^{i \omega t},
\]

где частота $\omega$ одинакова для всех $q_{k}$, то амплитуды $A_{\boldsymbol{k}}$ должны удовлетворять определенным уравнениям.

Чтобы убедиться во всем этом, мы исходим из (3.114). Умножая каждое из уравнений на постоянный множитель $\alpha_{\hbar}$ и суммируя по $k$, получим:
\[
\sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k} q_{l}+\sum_{k, l} b_{k l} \alpha_{k} q_{l}=0 .
\]

Воспользовавшись симметрией коэффициентоз $c_{k l}$ II $b_{k l}$, заменим в последней сумме индекс $k$ на $l$ і наоборот. Тогда мы получим то же самое выражение, но в более удобном для дальнейшего виде:
\[
\sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{l} \phi_{k}+\sum_{k, l} b_{k l} \alpha_{l} q_{k}=0 .
\]

Если это уравнение должно совпадать с (3.115), где $Q_{m}$ является линейной комбннацней $q_{k}$,
\[
Q_{m}=\sum_{k} \beta_{k}^{(m)} q_{k},
\]

то $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}^{(m)}$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\sum_{l} b_{k l} \alpha_{l}=\lambda_{m} \beta_{k}^{(m)}, \quad \sum_{l} c_{k l} \alpha_{l}=\beta_{k}^{(m)},
\]

или
\[
\sum_{l}\left(b_{k l}-\lambda_{m l} c_{k l}\right) \alpha_{l}=0, \quad \sum_{l} c_{k l} \alpha_{l}=\beta_{k}^{(m)} .
\]

Первая система уравнений, входящая в (3.120), будет иметь нетривиальные решения для $\alpha_{l}$, т. е. решения, отличные от тривиального решения $\alpha_{l}=0$, для $l=1,2, \ldots$ $\ldots, s$, лишь в том случае, если $\lambda_{m}$ будет одним из корней уравнения, записанного в виде определителя:
\[
\left|b_{k i}-\lambda_{m m} c_{k l}\right|=0,
\]

или же:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
b_{11}-\lambda c_{11} & \ldots & b_{1 s}-\lambda c_{1 s} \\
b_{21}-\lambda c_{21} & \ldots & b_{s s}-\lambda c_{2 s} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
b_{s 1}-\lambda c_{s 1} & \cdots & b_{s s}-\lambda c_{s s}
\end{array}\right|=0 .
\]

Если $\lambda_{m}$ — один из корней уравнения (3.121), то из (3.120) можно найти отношения величин $\alpha_{k}$, а следовательно, и величин $\beta_{k}^{(m)}$, что и позволяет в конечном счете составить линейную комбннацию $q_{k}$, образующих $Q_{m}$, которые в свою очередь удовлетворяют (3.115).

Заметим прежде всего, что из теории линейных уравнений вытекает, что $\alpha_{k}$ должны быть пропорциональны минору $k$-го элемента любой строчки определителя (3.121). Отсюда следует, что отношения, которые мы находим цля $\alpha_{k}$, зависят от $\lambda_{m}$. Уравнение (3.121) имеет $s$ корней, и таким образом найдется $s$ наборов величин $\alpha_{k}\left(\alpha_{k}^{(m)}\right.$; $m=1,2, \ldots, s$ ) и, следовательно, $s$ наборов $\beta_{k}^{(m)}$ и $s$ величин $Q_{m}$. Описанная процедура проводится совершенно непосредственно лишь в том случае, когда корни $\lambda_{m}$ певырожденные, т. е. ссли среди корней $\lambda_{i n}$ нет равных. Ситуация усложняется, когда есть кратные корни. Мы не станем разбирать здесь случай кратных корней, отсылая читателя к другим руководствам, а будем преднолагать, что все корни различны. Если кратных корней нет, мы находим $s$ различных значений $\lambda_{m}$, $s$ различных наборов $\alpha_{k}$ и $s$ величин $Q_{m}$. Мы отметим только, что даже в том случае, когда корни кратные, возможно найти такую совокупность различных $Q_{m}$, для которых $\alpha_{k}^{(m)}$ удовлетворяют к тому же (3.122). Вплоть до конца параграфа мы в целях простоты будем считать, что все корни (3.121) различны.

Мы начнем с доказательства того, что все $\lambda_{\text {in }}$ действительны. Чтобы убедиться в этом, перепишем (3.119) так:
\[
\sum_{i} b_{k i} \alpha_{i}^{(m)}=\lambda_{r n} \sum_{l} c_{k l} \alpha_{i}^{(m)},
\]

где верхиим индексом ( $m$ ) отмечено, что для различных значений $\lambda_{m}$ величины $\alpha_{k}$ различны. Умножая (3.122) на $\alpha_{k}^{(m) *}$ и суммируя по $k$, получим:
\[
\sum_{k, l} b_{k l} \alpha_{k}^{(m) *} \alpha_{l}^{(m)}=\lambda_{m} \sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k}^{(m) *} \alpha_{l}^{(m)} .
\]

Вычитая из полученного выражения (3.123) комплексно сопряженную ему величину, мы получим:
\[
\left(\lambda_{m}-\lambda_{m}^{*}\right) \sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k}^{(m) *} \alpha_{l}^{(m)}=0 .
\]

Поскольку $c_{k l}=c_{l k}$, а сами $c_{k l}$-действительные величин, сумма по $k$ и $l$ также действительная величина. Кроме того, эту сумму можно переписать в виде:
\[
\sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} a_{l}^{(m)}=\sum_{k, l} c_{k i} a_{k}^{(n)} a_{l}^{(m)}+\sum_{k, l} c_{k l} b_{k}^{(m)} b_{l}^{(m)}, ге через $a_{k}^{(m)}$ и $b_{k}^{(m)}$ обозначены действительная н мин:мая части $\alpha_{k}^{(m)}$. Из физического смысла суммы
\[
\frac{1}{2} \sum_{k_{i} l} c_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}
\]

являющейся кинетической знергией, вытекает, что обе суммы в правой части (3.125) положительно опрєделены. Но тогда из (3.121) следует
\[
\lambda_{m}=\lambda_{m}^{*},
\]

другими словами, что все $\lambda_{m}$ действительны. Ясно, что этот результат является следствием того, что кинетическая энергия является положительно определенной величиной.

Если все $\lambda_{m}$ действительны, то из того, что $\alpha_{k}^{(m)}$ пропорциональны минорам определителя (3.121), следует возможность выбора всех $\alpha_{k}^{(m)}$ также действительными величинами. (Поскольку весь набор $\alpha_{k}^{(m)}$ для данного значения $m$ можно умножить на общий множитель, который может быть и комплексным, мы не можем утверждать, что все $\alpha_{k}^{(m)}$ действительны; однако их можно выбрать действительными.) Мы будем предполагать, что сделан именнс такой выбор $\alpha_{k}^{(m)}$ для задапого $m$. МыІ выберем к тому же $\alpha_{4}^{(m)}$ так, чтобы выполнялось условие
\[
\sum_{k, i} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(m)}=1 .
\]

Последнее уравнение называется условием нормировк: $\alpha_{k}^{(m)}$. Если умножить (3.122) на $\alpha_{k}^{(n)}$ и просуммироват по $k$, мы получим:
\[
\sum_{k_{i} l} b_{k l} \alpha_{l}^{(m)} \alpha_{k}^{(n)}=\lambda_{m} \sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{l}^{(m)} \alpha_{k}^{(n)} .
\]

Вычитая из уравнения (3.128) это же самое уравнение, но в котором индексы $m$ и $n$ поменялись местами, мы придем к соотношению:
\[
\left(\lambda_{m}-\lambda_{n}\right) \sum_{k_{i} l} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(n)}=0 ;
\]

из (3.129) следует, что при $m
ot n$
\[
\sum_{k i} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(n)}=0 .
\]

Таким образом, объединяя (3.127) и (3.130), мы приходим к следующим условиям ортонормировки:
\[
\sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(n)}=\delta_{m n},
\]

где $\delta_{m n}$-символ Кронекера,
\[
\delta_{m n}=0, m
eq n ; \quad \delta_{m n}=1, m=n .
\]

Если умножить (3.131) на $\alpha_{r}^{(n)}$ и произвести суммирование по $n$, мы получим соотношение
\[
\sum_{k}\left[\sum_{l, n} c_{k l} \alpha_{l}^{(n)} \alpha_{r}^{(n)}\right] \alpha_{k}^{(m)}=\alpha_{r}^{(m)},
\]

из которого непосредственно следует
\[
\sum_{l, n} c_{k l} \alpha_{l}^{(n)} \alpha_{r}^{(n)}=\delta_{k r}
\]

Из (3.123) можно получить:
\[
\lambda_{m}=\frac{1 / 2 \sum b_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(m)}}{1 / 2 \sum c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(m)}} .
\]

В (3.135) внаменатель дает значение кинетической энергии, когда $\dot{q}_{k}$ равны $\alpha_{k}^{(m)}$. Если $\alpha_{k}^{(m)}$ норми рованы согласно (3.131), знаменатель превращается в $1 / 2$. Числитель равен потенциальной энергии, если $q_{k}$ равны $\alpha_{k}^{(m)}$. Если мы рассматриваем систему вблизи положения устойчивого равновесия (см. рис. 11,a), это выражение будет положительно определенным и все $\lambda_{m}$ будут положительпыми. Если же мы находимся вблизи такого положення равиовесия, которое изображено на рис. 11,2 , числитель будет отрицательным и все $\lambda_{m}$ окажутся отрицательными. В случае, соответствующем рис. 11,6 , мы должны ожидать как положительные, так и отрицательные $\lambda_{m}$, тогда как в случае безразличного равновесия по крайней мере днна из $\lambda_{m}$ обращается в нуль. В следующем параграфе иы столкнемся со всеми этими возможностями.

Вернемся теперь к $Q_{m}$, для которых мы имеем из (3.118) и (3.119):
\[
Q_{m}=\sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{l}^{(m)} q_{k} .
\]

Умножая это равенство на $\alpha_{r}^{(i)}$, суммируя по $m$ и используя (3.134), получим:
\[
\sum_{m} \alpha_{r}^{(m)} Q_{m}=\sum_{k, l, m} c_{k l} \alpha_{l}^{(m)} \alpha_{r}^{(m)} q_{k}=q_{r} .
\]

Совокупность равенств (3.136) и (3.137) и определяет преобразование от $q_{k}$ к $Q_{m}$ и наоборот.

Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы через $Q_{m}$ и $\dot{Q}_{m}$ :
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} \sum_{k, l} c_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}=\frac{1}{2} \sum_{k, l, i l, n} c_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(n)} \dot{Q}_{m} \dot{Q}_{n}=\frac{1}{2} \sum_{n l} \dot{Q}_{m}^{3}, \\
U=\frac{1}{2} \sum_{k, l} b_{k l} q_{k} q_{l}=\frac{1}{2} \sum_{k, l, m, n} b_{k l} \alpha_{k}^{(m)} \alpha_{l}^{(n)} Q_{m} Q_{n}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{m, n} \lambda_{m} \sum_{k, l} c_{k l} \alpha_{k}^{(n)} \alpha_{l}^{(n)} Q_{m} Q_{n}=\frac{1}{2} \sum_{m} \lambda_{m l} Q_{m}^{2},
\end{array}
\]

где нами использованы соотношения (3.131) и (3.128). Мы обнаружили, что преобразования (3.137) приводят как кинетическую энергию, так и потенциальную к сумме квадратов соответствующих переменных или, другими словами, приводят их к главным осям.

Уравнения движения переходят, конечно, в (3.115), рецения которых можно записать в виде:
\[
Q_{m}=Q_{m}^{(0)} e^{-i t \omega_{m} t},
\]

где
\[
\omega_{m}=\sqrt{\lambda_{m}} .
\]

Мы обнаруживаем, что голожительным значениям $\lambda_{m}$ соответствуют действительные значения $\omega_{m}$ и, следовательно, настоящие колебания, тогда как отрицательные $\lambda_{m}$ ведут к чисто мнимым $\omega_{m}$ и, следовательно, к монотонно возрастающей или убывающей амплитуде. Теперь мы уже в состоянии увидеть связь между видами потенциальной энергии в окрестности равновесного состояния (рис. 11) и устойчивостью равновесия.

Величины $Q_{m}$ называются нормальными координатами, и каждой из них соответствует одна из нормальных чаcmom. Если только одна нз них отлична от нуля, мы получаем для $q_{k}$ выражеия типа (3.116), тhe oбman частота а просто равна $\omega_{m}$, в то время как амплитуды $A_{k}$ проюорцинальны $\alpha_{k}^{(m)}$. В общем случае $q_{k}$ представляют собой линейные комбинации различных $Q_{m}$, образуемые согласно $(3.137)$.