В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме; эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями типа (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, $\alpha_{k}$ ) и совсем не содержит переменных другой совокупности ( $\left.\beta_{k}\right)$. Если мы получили такой гамильтониан $\tilde{H}\left(\alpha_{k}\right)$, уравнения движения приобретают вид:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{\alpha}_{k}=-\frac{\partial \bar{I}}{\partial \beta_{k}}=0, & \alpha_{k}=\text { const }, \\
\dot{\beta}_{k}=\frac{\partial l J}{\partial \alpha_{k}}=\text { const }=\gamma_{k}, & \beta_{k}=\gamma_{k} t+\delta_{k},
\end{array}
\]

где вторая группа уравнений (6.102) следует из того обстоятельства, что $\alpha_{k}$ являются постоянными согласно (6.101) н что гамильтониан $\vec{H}$ является функцией только от $\alpha_{k}$. Функции $\gamma_{k}$ являются, таким образом, нзвестнымн функциями $\alpha_{k}$, а $2 s$ постоянными интегрирования будут служигь $a_{k}$ и $\delta_{k}$.

Таким образом, нана задача состоит в том, чтобы отыскать такую производнщую функцию $S\left(\alpha_{k}, q_{k}\right)$, что преобразования
\[
p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}, \quad \beta_{k}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}}
\]

преобразуют гамильтониан $H\left(p_{k}, q_{k}\right)$ в гамильтониан $\tilde{H}\left(\alpha_{k}\right)$, не зависяций от величнн $\beta_{k}$. Это означает, что функиия $S$ должна удовлетворять следующему дифференциатьном уравненню в частных пронзводных:
\[
H\left(\frac{\partial S}{\partial q_{k}}, q_{k}\right)=\ddot{H}\left(\alpha_{k}\right)=E\left(\alpha_{k}\right) .
\]

Уравнение (6.104) и есть уравнение ГамильонаЯкоби. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что правая часть (6.104) есть полная энергия системы, мы обознамити ее через $E$.

Зачастую решить уравнение Гамитьтона-я якоби трудно, но коль скоро функция $S$ найдена, решение преобразованного уравнення движения трнвнально и дается формулами (6.101) и (6.102). Правда, у нас остается еңе задача найти нсходные $p_{k}$ и $q_{k}$ как функции времени, а преобразование от $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$ к $p_{k}$ и $q_{k}$ нередко довольно сложно (см., например, решенне задачи Кеплера в конце этого параграфа).

Чтобы понять физический смысл $\mathcal{S}$, вычислим ее пропзводную по времени:
\[
\frac{d S}{d t}=\sum_{k} \partial \dot{q}_{k} \dot{q}_{k}+\sum_{k} \partial S \dot{\alpha}_{k}=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}+\sum_{k} \beta_{k} \dot{\alpha}_{k}=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k},
\]

ге пришись воспользоваться (6.103) и (6.101). Из (6.105) вытекает, что
\[
S=\int_{k}^{t} p_{k} \dot{d}_{k} d t=1 \text {, }
\]

где $I$ — интеграл действия, определенный согласно (5.405) [ср. также (5.109)].

Мы должны указать здесь, что все наше рассмотрение годится лишь в (наиболее часто встречающемся) случае, когда гамильтониан не содержит времени явно. Если же время явно содержится в гамильтониане, мы должны ввести время как $q_{0}$ и воспользоваться уравнением Гамильтона
\[
H\left(p_{k}, q_{k}, q_{0}\right)+p_{0}=0,
\]

которое, вместе с производящей функцией $\bar{S}\left(q_{k}, \alpha_{k} ; q_{0}, \alpha_{0}\right)$, приводит к уравнению
\[
H\left(\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{k}}, q_{k}, q_{0}\right)+\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{0}}=0
\]

или же
\[
H\left(\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{k}}, q_{k}, t\right)+\frac{\partial \bar{S}}{\partial t}=0 .
\]

Заметим, кстати, что именно (6.109) нередко называют уравнением Гамильтона — Якоби. Чтобы выяснить физический смысл $\bar{S}$, следует также найти ее производную по времени:
\[
\frac{d \bar{S}}{d t}=\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial \bar{S}}{\partial \alpha_{k}} \dot{\alpha}_{k}+\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{0}} \dot{q}_{0}+\frac{\partial S}{\partial \alpha_{0}} \dot{\alpha}_{0}=\sum_{k=1}^{s} p_{k} \dot{q}_{k}+p_{0}
\]

или же
\[
\bar{S}=\int^{t}\left(\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}+p_{0}\right) d t=\int^{t}\left(\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\right) d t=\int^{t} L d t .
\]

Если $H$ не содержит времени явно, то $H$ является константой, которую можно обозначить через $E$; тогда из (6.111) мы получим:
\[
\bar{S}=I-E t=S-E t,
\]
a (6.109) превратится в (6.104).
В этом месте удобно напомнить чигателю связь между функцией Гамильтона — Якоби и волновой функцией Шредингера. Чтобы обнаружить эту связь, достаточно рассмотреть одномерный случай, когда гамильтониан задается выражением
\[
H=\left(p^{2} / 2 m\right)+U(q)
\]

которое приводит к шредингеровскому уравнению,
\[
-\frac{\hbar^{2} \partial^{2} \psi}{2 m} \frac{\partial q^{2}}{}+U(q) \psi=E \psi,
\]

где через $\psi$ обозначена волновая функция.
Если в зто уравнение Шредингера, не зависящее от времени, внести подстановку
\[
\psi=e^{i S / h},
\]

мы шолучим новое уравнение:
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}-\frac{i \hbar}{2 m} \frac{\partial^{2} S}{\partial q^{2}}+U(q)=E,
\]

которое в пределе $h \rightarrow 0$ превращается в одномерное уравнение Гамильтона — Якоби [ср. (6.114)].

Если в (6.113) вместо $S$ ввести функцию $\bar{S}$ из (6.112), мы получим вместо не зависящей от времени волновой функции волновую функцию, зависящую от времени.

Наконец, мы напомиим читателю, что (6.113) является исходним пунктом для прнблияения Венцеля-Крамерса-Брил.ноэна, котбюе называется также нередко квазнклассическим приближением, по ири чинам, которые должны быть достаточно ясными нз предыдуинх рассуждений.

Разберем теперь три простых иримера, чтобы проиллюстрировать применение теории Гамиигона — Якоби. В качестве этих примеров мы ьыбрани гармонический осциллятор (в одном и трех измерениях), частицу в однородном гравитационном поле н, наконец, эадачу Қеплера.

Мы начнем с одномерного гармонического осииллятора. В самом общем случае гамильтониан одномерной снстемы Hмеет вит:
\[
H(p, q)=\left(p^{2} / 2 m\right)+U(q),
\]

откуда мы получаем уравнение Гамильтона — Якобн
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+2 m U(q)=2 m E(\alpha)=2 m \alpha,
\]

где мы положили
\[
E(\alpha)=\alpha \text {. }
\]

В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби особенно просто, поскольку коордінат всего одна и из уравнения Гамильтона — Якобй непосредстеенно получается $\partial S / \partial q$ как фуниня $q$ п параметра $\alpha$. Ннтегрирование сразу же прнводнт к результату:
\[
S=\int^{q}[2 m(\alpha-U)]^{1 / 2} i q .
\]

Используя уравнения (6.103), мы получим:
\[
\begin{array}{l}
\beta=\frac{\partial S}{\partial \alpha}=\int_{\sigma_{0}}^{\partial}[m / 2(\alpha-U)]^{1 / 2} d q, \\
p=\frac{\partial S}{\partial \eta}=[2 m(\alpha-U)]^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Далее, из (6.101) и (6.102) вытекает, что
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\text { const, } \\
\beta=\partial \bar{H} / \partial \alpha=1, \quad \beta=t-t_{0} .
\end{array}
\]

Из выражений (6.117) и (6.120) можно найти $q$ как функцию времени. Выражения (6.117) — (6.120) — это и есть общие решения задачи в одномерном случае. Непосредственно видно, что (6.117) совпадает с (1.120), поскольку (6.118) — это просто закон сохранения энергии.
В частности, для гармоннческого осциллятора
\[
U=\frac{1}{2} a q^{2},
\]

и из (6.117), (6.120) и (6.121) мы получим:
\[
q-q_{0}=[2 \alpha / a]^{1 / 2} \sin \left[(\alpha / m)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right)\right] ;
\]

это выражение является хорошо известным решением задачи о гармоническом осцилляторе.

Давайте разберем заодно и трехмерный гармонический осциллятор; ему соответствует гамильтониан

из которого получается следующее уравнение Гамильтона — Якоби:
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial q_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial q_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial q_{3}}\right)^{2}+m a_{1} q_{1}^{9}+m a_{2} q_{2}^{3}+m a_{3} q_{3}^{2}=2 m E\left(\alpha_{k}\right) .
\]

Это уравнение нетрудно решить, предположив, что
\[
\begin{array}{l}
S\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)= \\
\quad=S_{1}\left(q_{1}, \alpha_{1}\right)+S_{2}\left(q_{2}, \alpha_{2}\right)+S_{3}\left(q_{3}, \alpha_{3}\right) .
\end{array}
\]

Метод решения уравнения Гамильтона — Якоби, когда делается предположение (6.125), называется методом разделения переменных. В общем случае, когда разделение переменных возможно, каждое $S_{k}$ содержит только одну $q_{k}$, но каждая из них может включать в себя все $\alpha_{k}$; в случае трехмерного гармонического осциллятора каждая из $S_{k}$ содержит лишь одну $\alpha_{k}$, но уже в этом же параграфе мы столкнемся с более общим случаем.

Мы обращаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби производится представлением $S$ в виде суммы членов, каждый из которых содержит лишь одну координату $q_{k}$, тогда как в случае уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно, есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией Гамильтона — Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной физической системы уравнение Гамильтона — Якоби может быть решено при некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести разделение переменных и в уравнении Шредингера.

Подставляя выражение (6.125) в уравнение (6.124), мы получаем три уравнения для трех $S_{k}$ :
\[
\left(\frac{\partial S_{k}}{\partial q_{k}}\right)^{2}+m a_{k} q_{k}^{2}=2 m \alpha_{k},
\]

и $E=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$; для каждой из трех степеней свободы мы пришли к уравнениям, полностью аналогичным соотношениям (6.116) — (6.122).

Вторым случаем, который мы разберем, будет точечная частица в однородном гравитационном поле. Теперь уже гамильтониан запишется так:
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+m g z,
\]

а уравнение Гамильтона — Якоби примет вид!
\[
E=\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}\right]+m g z .
\]

Если положить
\[
S=S_{1}(x)+S_{2}(y)+S_{3}(z)
\]

и произвести разделение переменных, мы придем к уравнениям:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S_{1}}{\partial x}=\alpha_{1}, \quad \frac{\partial S_{2}}{\partial y}=\alpha_{2}, \\
{\left[2 m\left(\alpha_{3}-m g z\right)-\alpha_{1}^{9}-\alpha_{2}^{2}\right]^{1 / 2}=\frac{\partial S_{3}}{\partial z},}
\end{array}
\]

или же
\[
S=\int_{x_{0}}^{\lambda} \alpha_{1} d x+\int_{l_{0}}^{y} \alpha_{2} d y+\int_{z_{0}}^{\vdots}\left[2 m_{i}\left(\alpha_{y}-m g z\right)-\alpha_{1}^{\mathrm{g}}-\alpha_{2}^{2}\right]^{1 / 2} d z .
\]

Так как мы положили $E=\alpha_{3}$, то из (6.102) и (6.103) следует:
\[
\beta_{3}=t-t_{0}=\int_{z_{0}}^{2} \frac{m d z}{\left[2 m\left(\alpha_{3}-m g z\right)-\alpha_{1}^{\mathrm{z}}-\alpha_{2}^{\mathrm{z}}\right]^{1 / 2}},
\]

тогда как
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}=\text { const }=x-x_{0}-\int_{z_{0}}^{z} \frac{\alpha_{1} d z}{\left[2 m\left(\alpha_{3}-m g z\right)-\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}\right]^{1 / 2}}, \\
\beta_{2}=\text { const }=y-y_{0}-\int_{z_{0}}^{z} \frac{\alpha_{2} d z}{\left[2 m\left(\alpha_{3}-m g z\right)-\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}\right]^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Если обозначить через $x_{0}, y_{11}, z_{0}$ положение частицы в момент времени $t=t_{0}$, то $\beta_{1}=\beta_{2}=0$, и из (6.133) и (6.134) можно получнть:
\[
\begin{array}{l}
x-x_{0}=\left(\alpha_{1} / m\right)\left(t-t_{0}\right), \\
y-y_{0}=\left(\alpha_{2} / m\right)\left(t-t_{0}\right), \\
z-z_{0}=\left[2 m\left(\alpha_{3}-m g z_{0}\right)-\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}\right]^{1 / 2} \frac{t-t_{0}}{m}-\frac{1}{2} g\left(t-t_{0}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения определяют параболу, как это и следовало ожидать. Линейные члены в правой части равенств (6.135) описывают равномерное прямолинейное движение, т. е. то движение частицы, в котором бы она участвовала, если бы не было ускорения.

В этом последнем примере все координаты кроме одной циклические. В таком случае уравнение Гамильтона — Якоби может быть всегда решено методом разделения переменных. Для этого достаточно положить все импульсы, соответствующие $s-1$ циклическим координатам, равными $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{s-1}$; остающаяся часть функции Гамильтона — Якоби может быть тогда получена простым интегрированием.

И, наконец, последний пример — задача Кеплера. Запишем гамильтониан задачи в сферических координатах

[ср. (2.313)- (2.317)]:

Здесь, для того чтобы иметь в виду конкретную задачу, мы остансвились на проблеме водородоподобного атома, т. е. задаче о движении электрона с зарядом — e в поле заряженного ядра (заряд $Z e$ ). Масса $m$, входяшая в (6.136), фактически является приведенной массой (см. рассуждения в $\S 1.2$ ).

Вводя функцию Гамильтона — Якоби $S(r, \theta, \varphi)$ и используя метод разделения переменных, мы полагаем
\[
S(r, \theta, \varphi)=S_{1}(r)+S_{i}(\theta)+S_{3}(\varphi) .
\]

Полагая, кроме того, полную энергию системы равной одной из $\alpha_{k}$, скажем, $\alpha_{1}^{\prime}$, мы нмем следующее уравнение:
\[
\alpha_{1}^{\prime}=\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta}\left(\frac{\partial S_{3}}{\partial \varphi}\right)^{2}\right]-\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r},
\]

где мы воспользовались формулами (6.103). Над $\alpha_{1}$ появился индекс — штрих; дело в том, что нам будет удобнее позже ввести функцию, запгсящую от $\alpha_{1}^{\prime}$, принимая ее за $\alpha_{1}$ [см. (6.143)].

Производя разделение переменных в уравнении (6.138), мы приходим к уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial S_{3}}{\partial \varphi}=\alpha_{3}=\text { const }=p_{\Upsilon \Gamma}, \quad S_{3}=\varphi \alpha_{3} ; \\
\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\alpha_{8}^{2}}{\sin ^{2} \theta}=\alpha_{2}^{2}, \quad S_{2}=-\int^{\theta}\left[\alpha_{2}^{3}-\frac{\alpha_{3}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right]^{1 / 2} d \theta ; \\
\alpha_{1}^{\prime}=\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{\alpha \frac{2}{r^{2}}}{r^{2}}\right]-\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}{ }^{r}}, \\
S_{1}=\int^{r}\left[2 m \alpha_{1}^{\prime}+\frac{m Z e^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} r}-\frac{\alpha_{i}^{0}}{r^{2}}\right]^{1 / 2} d r . \\
\end{array}
\]

Величина $\alpha_{1}^{\prime}$ является энергией; величина $\alpha_{3}$-моментом импульса относительно полярной оси (ось $z$ ); величина $\alpha_{2}$ удовлетворяет уравнению

причем мы использовали (2.319). ны обнаруживаем, таким образом, что $\alpha_{2}$ — это полный момент импульса. Из (6.142), а также из физического смысла $\alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$ вытекает, что $\alpha_{2} \geqslant \alpha_{3}$. Знак минус во втором из уравнений (6.140) введен для того, чтобы $\beta_{2}$ и $\beta_{3}$ имели простой физический смысл [см. (6.148) и (6.151)].

Теперь мы введем вместо величины $\alpha_{1}^{\prime}$ величину $\alpha_{1}$, связанную с $\alpha_{1}^{\prime}$ соотношением
\[
\alpha_{1}^{\prime}=E=-\frac{Z^{2} e^{4} m}{2\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{2} \alpha_{1}^{2}} .
\]

Причина такого переопределения станет ясной в следующем параграфе. Заметим, что, сделав предположение об отрицательности энергии $E$, мы ограничили наши рассуждения исключительно эллиптическими орбитами. Мы заметим также, что $\alpha_{1}$ обладает размерностью момента импульса, т. е. той же самой размерностью, какую имеют $\alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$.
Вводя величину $R$ по формуле
\[
R=Z m e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0},
\]

мы можем переписать (6.141) в виде:
\[
S_{1}=\int^{r}\left[\frac{\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}-\left(\frac{R}{\alpha_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{r}\right)^{2}\right]^{1 / 2} d r .
\]

Поскольку величина $\partial S_{1}^{\prime} / \partial r$ согласно своему физическому смыслу должна быть действительной, из (6.145) непосредственно следует, что: а) $\alpha_{1}$ должно быть больше или по крайней мере равно $\alpha_{2} ;$ б) если $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, то орбита представляет собой окружность, поскольку в этом случае мы получаем, что $R / \alpha_{1}=\alpha_{1} / r$.
$\mathrm{C}$ помощью уравнений (6.103) можно найти физический смысл $\beta_{k}$. Функция Гамильтона — Якоби определяется согласно (6.137), (6.139), (6.140) и (6.145). Заметим попутно, что теперь уже $S_{1}$, например, содержит два $\alpha_{k}$, так же как и $\mathcal{S}_{2}$. Из (6.143) видно, что $E$ содержит только $\alpha_{1}$, так что величины $\beta_{2}$ и $\beta_{3}$ являются интегралами движения. Для $\beta_{3}$ мы найдем:
\[
\beta_{8}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{3}}=\int_{\pi / 2}^{\theta} \frac{\alpha_{2} d \theta}{\sin \theta \sqrt{\alpha_{2}^{3} \sin ^{2} \theta-\alpha_{3}^{2}}}+\varphi,
\]

где мы выбрали в качестве нижнего предела интеграла, входящего в $\mathcal{S}_{2}$, значенне $\pi / 2$. Введем угол $i$, определяемый выражением
\[
\alpha_{8}=\alpha_{8} \cos i,
\]

из которого следует, что $i$-это угол между полярной осью и нормалью к орбитальной плоскости (см. рис. 26). Тогда (6.146) можно переписать в виде:
\[
\begin{array}{r}
\beta_{3}=\int_{\pi / 2}^{\theta} \frac{\cos i d \theta}{\sin \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} i}}+\varphi= \\
=-\arcsin (\operatorname{ctg} i \operatorname{ctg} \theta)+\varphi=-\mu+\varphi,
\end{array}
\]

где через $\mu$ обозначен угол $A O B$ на рис. 26. Это следует

Рис. 26. Задача Кеплера. OACплоскость орбиты; $O A$-линия восходящего узла; $O P$ — большая полуось; $O C$-радиус-вектор точки орбиты; угол $i$ — угол наклона плоскости орбиты; $\beta_{3}$ — долгота (величина угла) восходящего узла.
Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком $L$, — прямые. Все обозначения те же, что и на рис. 26.

из рассмотрения рис. 27 , откуда следуют равенства
\[
\operatorname{ctg} i \operatorname{ctg} \psi=\frac{A B}{B C} \cdot \frac{B C}{O B}=\frac{A B}{O B}=\sin \mu .
\]

Мы видим, таким образом, что $\beta_{3}$ — это просто угол, определяющий положение линии узлов (т. е. линии пересечения плоскости орбиты с экваториальной плоскостью), угол $x O A$ на рис. 26. Мы будем называть этот угол долготой восходящего узла.
Обратимся теперь к $\beta_{2}$, для которого имеем:
\[
\beta_{2}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{2}}=\int^{r} \frac{-\alpha_{2} d r / r^{2}}{\sqrt{\frac{\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}-\left(\frac{R}{\alpha_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{r}\right)^{2}}}-\int_{\pi / 2}^{\theta} \frac{\alpha_{2} \sin \theta d \theta}{\sqrt{\alpha_{2}^{\frac{2}{2} \sin ^{2} \theta-\alpha_{2}^{9}}}},
\]

или же, вводя обозначения
\[
\begin{array}{c}
a=\frac{\alpha_{1}^{2}}{R}, \quad \frac{\alpha_{2}^{2}}{\alpha_{1}^{2}}=1-\varepsilon^{2}, \quad \frac{\alpha_{2}^{2}}{R r}=1+\varepsilon \cos \chi, \\
\beta_{2}=\arcsin [\cos \theta / \sin i]-\chi=\psi-\chi,
\end{array}
\]

где мы снова обратились за помощью к рис. $27 ; \psi$-это угол $A O C$, а $\chi$-истинная аномалия (см. рис. 28).

Причина появления последнего из соотношений (6.150) заключается в том, что, как легко убедиться, корень, входящий в $S_{1}$, принимает действительное значение лишь в том случае, когда $r$ лежит между $a(1+\varepsilon)$ и $a(1-\varepsilon)$; это обстоятельство, конечно, тесно связано с нашим выбором отрицательного знака энергии, что в свою очередь обусловливает финитные орбиты. Последнее из соотношений (6.150) показывает, что такими финитными орбитами являются эллиптические орбиты; заметим также, что величина $\varepsilon$ должна быть меньше или по крайней мере равна единице, поскольку $\alpha_{2} \leqslant \alpha_{1}$. Это последнее из соотношений (6.150) определяет величину радиус-вектора как функцию истинной аномалии, т. е. является уравнением орбиты.
Поскольку $\beta_{3}$ — постоян-
Рис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. $O$-начало координат, за которое выбран центр сил; $F P=a \quad$ (большая полуось); $O P=a(1-\varepsilon)-$ расстояние от начала координат до перицентра; $O F=a \varepsilon ; F G=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}=b$ (малая полуось); $O E=p$ (параметр эллипса); $\chi$ — истинная аномалия и, наконец, $u$-эксцентрическая аномалия.

ная величина, долгота восходящего узла задана. Тот факт, что угол $i$ постоянен, полностью определяет положение орбитальной плоскости в пространстве; так как $\beta_{2}$ тоже постоянно, а $\chi=\psi-\beta_{2}$ [последнее равенство следует из (6.151)], мы видим, что орбита остается неизменной в пространстве, другими словами, оси эллипса сохраняют свое направление в пространстве.
Уравнение орбиты можно записать также и в форме
\[
\frac{a}{r}=\frac{1+\varepsilon \cos \chi}{1-\varepsilon^{2}},
\]

откуда видно, что $a$ является большой полуосью, а $\varepsilon-$ эксцентриситетом эллипса [сравните рассуждения в связи с формулами (1.237), (1.240), (1.243) и (1.244)].

Теперь займемся величиной $\beta_{1}$. Для начала нам нужно несколько подробнее рассмотреть орбиту (см. рис. 28). Параметрическим представлением орбиты через декартовы координаты $\xi$ и $\eta$ будет:
\[
\begin{array}{l}
\xi=r \cos \chi=\alpha(\cos u-\varepsilon), \\
\eta=r \sin \chi=a\left(1-\varepsilon^{2}\right)^{1 / 2} \sin u,
\end{array}
\]

где мы ввели эксцентричесую аномалию $u$ согласно уравнению:
\[
r=a(1-\varepsilon \cos u) .
\]

Угол $u$-это угол $D F P$ на рис. 28 , где $C D$ параллельно оси $\eta$. Из рис. 28 и из того, что длина $O F$ равна $a \varepsilon$, а отношение $D H$ к $C H$ равно отношению большой и малой полуосей, легко получаются уравнения (6.153); так как $\xi^{2}+\eta^{2}=r^{2}$, то непосредственно следует и (6.154).
Из (6.102) мы получаем для $\beta_{1}$ :
\[
\beta_{1}=\gamma\left(t-\delta, \quad \gamma=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{1}}=\frac{R^{2}}{m \alpha_{1}^{8}},\right.
\]

а из (6.103) вытекает, что
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}=\int \frac{R^{2}}{\alpha_{1}^{8}} \frac{d r}{\left[\frac{\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}-\left(\frac{R}{\alpha_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{r}\right)^{2}\right]^{1 / 2}}= \\
=\int_{0}^{u}(1-\varepsilon \cos u) d u=u-\varepsilon \sin u .
\end{array}
\]

Объединяя (6.155) и (6.156), мы получим:
\[
u-\varepsilon \sin u=\gamma(t-\delta) \text {. }
\]

Теперь уже ясно преимущество введения эксцентрической аномалии: она довольно просто связана со временем, хотя (6.157) в действительности трансцендентное уравнение. Из (6.157) и (6.153) можно найти зависимость истинной аномалии от времени. Уравнения (6.153), описывающие орбиту в декартовых координатах, окажутся еще полезными в следующей главе.

Нам хочется выписать здесь еще выражение для параметра $p$ эллипса. Этот параметр равен значению $r$ при

$\chi=\pi / 2$, т. е . значению радиуса в точке пересечения эллипса с осью $\eta$. Из (6.152) и третьего из уравнений (6.150) получаем:
\[
p=a\left(1-\varepsilon^{2}\right)=\alpha_{2}^{2} l R .
\]

Мы обнаружили, что величина $p$ не зависит от $\alpha_{1}$, а зависит от $\alpha_{2}$, т. е. только от полного момента импульса.

Резюмируем вкратце результаты наших расчетов в той части, которая касается физического смысла $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$ : величина $\alpha_{1}$ определяет энергию или же большую полуось [(6.143) и (6.150)]; $\alpha_{2}$ — это полный момент импульса [(6.142)], определяющий совместно с $\alpha_{1}$ эксцентриситет эллипса $[(6.150)]$. Константа $\alpha_{3}$ — компонента момента импульса вдоль полярной оси [(6.139)], определяющая совместно с $\alpha_{2}$ наклон орбитальной плоскости [(6.147)]; величина $\beta_{3}$ — это долгота восходящего узла [(6.148)]. Значение $\beta_{2}$ определяет направление на перицентр в орбитальной плоскости [(6.151)]. Наконец, $\beta_{1}$ дает связь между эксцентрической аномалией и временем [(6.157)]. Величина $\delta$ в (6.155) — шестая и последняя константа движения; ее физический смысл состоит в том, что она дает время прохождения через перицентр. Величины $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$ называются элементами орбиты.