1. Исследу\”̆те *) малше колео̆ания однородного прдмого стержия
*) В этой и следующи задацєх «исстедуйте означает: вычислите собственные џастоты нормальных lолебаний и найдите еид порманьных колеӧаниі.

2. Исследуйте малье колебания следующей системы: однородный прямой стержень свободно вращается около фиксир ованной точки, в которой закреплен один из его концов; на другом его конце на невесомой и нерастяжимой нити подвешена точечная масса. Колебания происходят в вертикальной плоскости.
3. Однородный круговой диск подвешен к неподвнжной точкс с помощью невесомой нерастяжимой нити, закрепленной в одной из точек граничной окружности диска. Исследовать малые колебания этой системы под действием силы тяжести. Қолебания происходят в вертикальной плоскости.
4. На тонкой гладкой тяжелой проволочке, согнутой в форме окружности, может скользить бусинка: Исследуйте малые колебання системы в поле тяжести, если проволочка, закрепленная в одной из своих точек, раскачивается в своей плоскости, а бусинка скользит по проволоке.
5. Невесомая нерастяжимая нить длиной $(2 \sqrt{2}+1)$ а закреплена своими концами в-точках $A$ и $D$, отстоящих друг от друга. на расстояние $3 a$ на одном и том же горизонтальном уровне Две частицы с одинаковыми массами $m$ закреплены на нити соответственно в точках $B$ и $C$, причем $A B=C D=\sqrt{2}$ a. Частица с массой $m$ подвешена на невесомой нерастяжимой нити длиной а к массе, находящейся в точке $B$, и другая частица той же массы $m$ подвешена аналогичным образом к $C$. Исследуйте малые колебания этой системы под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в которой расположены все нити.
6. Невесомая нить длиной $4 a$ растянута до натяжения $T$ между двумя заданными точками; три частицы, каждая из которых обладает массой $\mu$, закреплены в точках, делящих нить на четыре равные части.

Пренебрегая влиянием силы тяжести, исследуйте малые продольные и малые поперечные колебания системы.
7. Невесомая иить длиной $4 a$ растянута между двумя фиксированными іочками $A$ и $B$ до натяжения $T$. Частица массы $m$ закреплена в ее середине $C$. Две другие частицы массой $m$ прикреплены к нити в точках $D$ и $E$, являющихся серединами отрезков $A C$ и $C B$. Қогда система покоится, мгновенно сообщают небольшие поперечные скорости в одном и том же направлении частицам $D$ и $E$. Найти смещение частицы $C$ как функцию времени.
8. Однородный твердый прямой стержень $A B$ лежит на гладком горизонтальном столе. Концы стержня $A$ и $B$ привязаны невесомыми нитями к фиксированным точкам стола $C$ и $D$. При равновесии точки $C A B D$ лежат на одной прямой. Исследовать малые поперечные колебания стержня.
9. Три частицы с различными массами подвешены на невесомой нерастяжимой нити, один из концов которой закреплен. Докажите, что если периоды трех нормальных мод совпадают с периодами простых маятников длиной $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, то сумма $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}$ равна расстоянию oт точки подвеса до самой нижней частицы.

10. На каждую из двух параллельных горизонтальных проволочек надето закрепленное невесомыми растлжками кольцо массы $\mathrm{m}$; когда кольцо смещается на расстояние $y$ от положения равновесия, на него действует возвращающая сила $\lambda y$. Когда кольца находятся в положении равновесия, линия, соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между ними равно $l$. Однородная струна с линейной плотностью $\rho$ растянута между кольцами до натяжения $T$. Исследовать нормальные колебания системы.
11. Однородиый твердый брусок массы $M$ и длины $L$, шириноn которого мы пренебрегаем, симметрично подвешен на двух вертикальных струнах, каждая из которых имеет коэффициент упругости $\alpha$; расстояние между струнами равно $x \quad(x<L)$. При равновесии брусок занимает горизонтальное положение. Показать, что при условии $x=L / \sqrt{3}$ возможнє возбудить такие колебания бруска в вертикальной плоскости, при которых наперед заданная точка бруска останется в покое.
12. Однородная струна длиой $L$ и линейной плотностью $\rho$ лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Один ее конец жестко закреплен в некоторой точке $A$ плоскости, а другой прикреплен к кольцу массы $M$, которое скользит по гладкому горизонтальному стерженьку, расположенному в этой плоскости на расстоянии $l$ от точки $A$. Натяжение струны равно $T$. Найти уравнение, определяющее период малых колебаний системы.
13. Металлический блок массой $3 m$ имеет внутри сферическую полость радиуса $a$, где скользит, без вращения, шар массы $m$, раднус которого мал по сравнению с $a$. Блок скользит по гладкой горизонтальной плоскости. К блоку прикреплена горизонтальная пружина, коэффициент упругости которой равен $4 \mathrm{mg} / \mathrm{a}$; другой конец пружнны закреплен. Исследовать малые колебания системы, когдя она движется вдоль направления прукины.
14. Однородный тонкий полый цилиндр массой $2 m$ и радиусом $2 a$ катится по абсолютю шершавой горизонтальной плоскости. Внутри него катится второй однородный тонкий полый цилиндр массы $m$ и радиуса $a$, у которого в одной из тотек на поверхности закреплена частица с массой $2 \mathrm{~m}$. Исследовать малые колебания этой системы, если скольжения между цилиндрами нет.
15. Ромб, образованный четырьмя одинаковыми стержнями длиной $2 L$, соединенными на шарнирах, расположен симметрично в вертикальной плоскости над мягко закрепленным цилиндром радиуса $a$; ромб находится в равновесии, когда все стержни наклонены под одиим и тем же углом $\psi$ к горизонтальной плоскости и когда нижнне стержни не касаются цилиндра. Определить значение $\psi$ и вычислить частоту малых колебаний ромба, когда эти колебания симметричны, через величину $\psi$.
16. Қарманные часы лежат на гладком горизонтальном столе. Предположив, что они совершают колебания с малой ямплитудой и что они показыванот тюнос время, когда корпус часов неподвижен, вычислите, насколько быстрее пойдут часы в условиях задачи.

17. $A B C D$-однородная квадратная пластинка со стсроной $2 a$. $\bigvee_{\text {rол }} A$ может без трения скользить вдоль закрепленного горизонгального стержня. Угол $B$ привязан певесомой нерастяжимой нитью ппиой $a$ к неподвижной точке, так что при равновесии пластинка зиснт в вертикальной плоскости перпендикулярно стержню, нить эасположена вертикально, сторона $C D$ – горизонтально и ниже $A B$. Аследовать малые колебания системы.
18. Рассмотреть одномерный «кристалл», состоящий из $N$ атомов, асіоложених по окружности (см, §3.4). Допустим, что в монеит $t=0$ один из атомов смещается на малое расстояние $d$. Опи:ать последующее движение атомов кристалла.
19. Тонкая проволочка массы $M$ изогнута в внде винтовой ли ни $x=a \cos \psi ; y=a \sin \psi ; \quad z=a \psi \operatorname{tg} \beta$ и может свободно вранаться юкруг оси $z$, направленной горнзоитально. Длина проволопки выбlана так, чтобы центр масс пежал на оси $z$. Го проволочке скольит без трения кольцо массы $m$. Проволочка покоится, когда кольцу, гаходящемуся в самом нижнем положении, сообщается горизонтальчая скорость аю вдоль проволочк. Показать, что, если $\%$ не слишсом велико, плоскость, проходящая через кольцо и ось, колеблется :ак математический маятин длиной
\[
\frac{a\left(M+m \sin ^{2} \beta\right)}{M \cos ^{2} \beta+m \sin ^{2} \beta}
\]

і что прополочка поворзчивается па угол
\[
\frac{m \omega T \sin ^{2} \beta \cos \beta}{M \cos ^{2} \beta+m \sin ^{2} \beta}
\]

а каждый пернод $T$ двнкения маятника.
20. Однороди! стержень $A B$ длний $2 l$ и массої $n$ двнжется вертнкальной поскости пон действнем силы тяжести, причем дин из его кониов ограничен в своем движении горизонтальной ниией $L M$; это двнжене пропсходт с постоянным ускорением $a_{\text {. }}$ іаїти период малых колебаний стержня около его относительюго о.тожения равновесия.
21. Исследовать малэе колебания маятника Томсона-Тэта м. § 3.2) около равғовесного движения.
22. Частица ограничена в своем движении гладкой поверхностью, аланной уравненнями
\[
x=\rho \cos \psi, \quad y=\rho \sin v, z=b \sin \theta,
\]

Le $\rho=a+b \cos \theta \quad(a>b)$.
Доказать, что в том случае, когда иикаких сил, кроме реакций влзп, нет, движение вокруг внешпего экваторнально круга будет стойчивым; если же это двнжение будет слегка возмущено, новая ректория будет пересекать экватор на расстояних $\pi \sqrt{b(a+b)}$.

Показать также, что двикение вокруг внутренітего экваториаль. ого ируга нестабильно и что, если это движение спегка возмицено, раекторня тастицы будет пересекать внешний экваторайный круг од углом $2 \operatorname{arctg} 1$ bia.