1. Исследу\»̆те *) малше колео̆ания однородного прдмого стержия
*) В этой и следующи задацєх «исстедуйте означает: вычислите собственные џастоты нормальных lолебаний и найдите еид порманьных колеӧаниі.
2. Исследуйте малье колебания следующей системы: однородный прямой стержень свободно вращается около фиксир ованной точки, в которой закреплен один из его концов; на другом его конце на невесомой и нерастяжимой нити подвешена точечная масса. Колебания происходят в вертикальной плоскости.
3. Однородный круговой диск подвешен к неподвнжной точкс с помощью невесомой нерастяжимой нити, закрепленной в одной из точек граничной окружности диска. Исследовать малые колебания этой системы под действием силы тяжести. Қолебания происходят в вертикальной плоскости.
4. На тонкой гладкой тяжелой проволочке, согнутой в форме окружности, может скользить бусинка: Исследуйте малые колебання системы в поле тяжести, если проволочка, закрепленная в одной из своих точек, раскачивается в своей плоскости, а бусинка скользит по проволоке.
5. Невесомая нерастяжимая нить длиной а закреплена своими концами в-точках и , отстоящих друг от друга. на расстояние на одном и том же горизонтальном уровне Две частицы с одинаковыми массами закреплены на нити соответственно в точках и , причем a. Частица с массой подвешена на невесомой нерастяжимой нити длиной а к массе, находящейся в точке , и другая частица той же массы подвешена аналогичным образом к . Исследуйте малые колебания этой системы под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в которой расположены все нити.
6. Невесомая нить длиной растянута до натяжения между двумя заданными точками; три частицы, каждая из которых обладает массой , закреплены в точках, делящих нить на четыре равные части.
Пренебрегая влиянием силы тяжести, исследуйте малые продольные и малые поперечные колебания системы.
7. Невесомая иить длиной растянута между двумя фиксированными іочками и до натяжения . Частица массы закреплена в ее середине . Две другие частицы массой прикреплены к нити в точках и , являющихся серединами отрезков и . Қогда система покоится, мгновенно сообщают небольшие поперечные скорости в одном и том же направлении частицам и . Найти смещение частицы как функцию времени.
8. Однородный твердый прямой стержень лежит на гладком горизонтальном столе. Концы стержня и привязаны невесомыми нитями к фиксированным точкам стола и . При равновесии точки лежат на одной прямой. Исследовать малые поперечные колебания стержня.
9. Три частицы с различными массами подвешены на невесомой нерастяжимой нити, один из концов которой закреплен. Докажите, что если периоды трех нормальных мод совпадают с периодами простых маятников длиной , то сумма равна расстоянию oт точки подвеса до самой нижней частицы.
10. На каждую из двух параллельных горизонтальных проволочек надето закрепленное невесомыми растлжками кольцо массы ; когда кольцо смещается на расстояние от положения равновесия, на него действует возвращающая сила . Когда кольца находятся в положении равновесия, линия, соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между ними равно . Однородная струна с линейной плотностью растянута между кольцами до натяжения . Исследовать нормальные колебания системы.
11. Однородиый твердый брусок массы и длины , шириноn которого мы пренебрегаем, симметрично подвешен на двух вертикальных струнах, каждая из которых имеет коэффициент упругости ; расстояние между струнами равно . При равновесии брусок занимает горизонтальное положение. Показать, что при условии возможнє возбудить такие колебания бруска в вертикальной плоскости, при которых наперед заданная точка бруска останется в покое.
12. Однородная струна длиой и линейной плотностью лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Один ее конец жестко закреплен в некоторой точке плоскости, а другой прикреплен к кольцу массы , которое скользит по гладкому горизонтальному стерженьку, расположенному в этой плоскости на расстоянии от точки . Натяжение струны равно . Найти уравнение, определяющее период малых колебаний системы.
13. Металлический блок массой имеет внутри сферическую полость радиуса , где скользит, без вращения, шар массы , раднус которого мал по сравнению с . Блок скользит по гладкой горизонтальной плоскости. К блоку прикреплена горизонтальная пружина, коэффициент упругости которой равен ; другой конец пружнны закреплен. Исследовать малые колебания системы, когдя она движется вдоль направления прукины.
14. Однородный тонкий полый цилиндр массой и радиусом катится по абсолютю шершавой горизонтальной плоскости. Внутри него катится второй однородный тонкий полый цилиндр массы и радиуса , у которого в одной из тотек на поверхности закреплена частица с массой . Исследовать малые колебания этой системы, если скольжения между цилиндрами нет.
15. Ромб, образованный четырьмя одинаковыми стержнями длиной , соединенными на шарнирах, расположен симметрично в вертикальной плоскости над мягко закрепленным цилиндром радиуса ; ромб находится в равновесии, когда все стержни наклонены под одиим и тем же углом к горизонтальной плоскости и когда нижнне стержни не касаются цилиндра. Определить значение и вычислить частоту малых колебаний ромба, когда эти колебания симметричны, через величину .
16. Қарманные часы лежат на гладком горизонтальном столе. Предположив, что они совершают колебания с малой ямплитудой и что они показыванот тюнос время, когда корпус часов неподвижен, вычислите, насколько быстрее пойдут часы в условиях задачи.
17. -однородная квадратная пластинка со стсроной . может без трения скользить вдоль закрепленного горизонгального стержня. Угол привязан певесомой нерастяжимой нитью ппиой к неподвижной точке, так что при равновесии пластинка зиснт в вертикальной плоскости перпендикулярно стержню, нить эасположена вертикально, сторона — горизонтально и ниже . Аследовать малые колебания системы.
18. Рассмотреть одномерный «кристалл», состоящий из атомов, асіоложених по окружности (см, §3.4). Допустим, что в монеит один из атомов смещается на малое расстояние . Опи:ать последующее движение атомов кристалла.
19. Тонкая проволочка массы изогнута в внде винтовой ли ни и может свободно вранаться юкруг оси , направленной горнзоитально. Длина проволопки выбlана так, чтобы центр масс пежал на оси . Го проволочке скольит без трения кольцо массы . Проволочка покоится, когда кольцу, гаходящемуся в самом нижнем положении, сообщается горизонтальчая скорость аю вдоль проволочк. Показать, что, если не слишсом велико, плоскость, проходящая через кольцо и ось, колеблется :ак математический маятин длиной
і что прополочка поворзчивается па угол
а каждый пернод двнкения маятника.
20. Однороди! стержень длний и массої двнжется вертнкальной поскости пон действнем силы тяжести, причем дин из его кониов ограничен в своем движении горизонтальной ниией ; это двнжене пропсходт с постоянным ускорением іаїти период малых колебаний стержня около его относительюго о.тожения равновесия.
21. Исследовать малэе колебания маятника Томсона-Тэта м. § 3.2) около равғовесного движения.
22. Частица ограничена в своем движении гладкой поверхностью, аланной уравненнями
Le .
Доказать, что в том случае, когда иикаких сил, кроме реакций влзп, нет, движение вокруг внешпего экваторнально круга будет стойчивым; если же это двнжение будет слегка возмущено, новая ректория будет пересекать экватор на расстояних .
Показать также, что двикение вокруг внутренітего экваториаль. ого ируга нестабильно и что, если это движение спегка возмицено, раекторня тастицы будет пересекать внешний экваторайный круг од углом bia.