Физическая система может быть определена уравнениями движения, которым она должна удовлетворять, или же — на равных правах — ее лагранжианом. Первый случай как раз и имел место для тех систем, которые рассматривались в этой книге. Второй случай часто встречается в различных полевых теориях. В этом параграфе мы убедимся, что выбор определенного лагранжиана (или, точнее, плотности лагранжиана) приводит к определенным уравнениям движения для рассматриваемой системы, но мы не станем поступать здесь так, как поступали в предшествующих главах и даже предшествующем параграфе, — мы не станем получать лагранжиан из уравнений движения. Мы займемся сначала звуковыми волнами, а затем и уравнениями Максвелла, исходя из подходящей плотности лагранжиана. После этого проанализируем уравнения Максвелла методом компонент Фурье.
Докажем, что волновое уравнение для звуковых волн
\[
\ddot{\rho}-s^{2}
abla^{2} \rho=0
\]

может быть получено, если считать плотность лагранжиана равной
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2}(\dot{\xi} \cdot \dot{\xi})-\frac{1}{2} s^{2}(
abla \cdot \xi)^{2} .
\]

В этих выражениях чсрез $\rho$ обозначена плотность рассматриваемой системы, постоянное (равновесное) значение которой равно $\rho_{0}$, через $s$-скорость звука, а через $\xi$ вектор смещения с компонентами $\xi, \eta$, $\zeta$. Плотность $\rho$ и смещение $\xi$ связаны между собой уравнением непрерывности:
\[
\dot{\rho}+\rho_{0}(
abla \cdot \dot{\xi})=r \quad \text { или } \quad \frac{\rho-\rho_{0}}{\rho_{0}}=-(
abla \cdot \xi) .
\]

Из лагранжиана (8.202) мы найдем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}}=\dot{\xi}, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}}=\dot{\eta}, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mathscr{\zeta}}=\dot{\zeta} \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \zeta}=0 \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \xi}{\partial x}}=-s^{2}(
abla \cdot \xi)=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \eta}{\partial y}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \zeta}{\partial z}}, \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \xi}{\partial y}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \mathscr{\xi}}{\partial z}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \eta}{\partial x}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \eta}{\partial z}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \zeta}{\partial x}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \zeta}{\partial y}}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений вытекает, что и на (8.124) мы получаем уравнение
\[
\xi-s^{2}
abla(
abla \cdot \xi)=0,
\]

которое превращается в (8.201), если взять дивергенцию обеих частей этого уравнения и учесть (8.203). Из (8.204) и (8.125) найдется вектор плотности импульса:
\[
\pi=\dot{\xi} \text {, }
\]

а из (8.126) — и гамильтониан системы:
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2} \pi \cdot \pi+\frac{1}{2} s^{2}(
abla \cdot \xi)^{2} .
\]

Уравнения (8.129) снова приводят нас к (8.206).
И наконец, в заключение этого параграфа мы обратимся к электромагнитному полю. Магнитная индукция $\boldsymbol{B}$, напряженность магнитного поля $\boldsymbol{H}$, вектор электрической индукции $\boldsymbol{D}$ и напряженность электрического поля $\boldsymbol{B}$ удовлетворяют в вакууме уравнениям
\[
B=\mu_{0} H, \quad D=\varepsilon_{0} E,
\]

а также уравнениям Максвелла:
(I) $(
abla \cdot D)=\rho$;
(II) $\quad(
abla \cdot B)=0$;
(III) $[
abla, E]=-\frac{\partial B}{\partial t}$; (IV) $[
abla, H]=j+\frac{\partial D}{\partial t}$,

где через $\rho$ и $\boldsymbol{j}$ обозначены плотности заряда и тока, через $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ — электрическая и магнитная проницаемости вакуума. Снова вводим векторный потенциал $\boldsymbol{A}$ и скалярный $\varphi$, определяя их связь с полями уравнениями [см. (2.506)]:
\[
B=[
abla, A], \quad E=-
abla \varphi-\frac{\partial A}{\partial t} ;
\]

будем рассматривать $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$ как $Q(\boldsymbol{x})$ системы. Плотность лагранжиана электромагнитного поля задается в виде
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0}\left(E^{2}-c^{2} B^{2}\right)-\rho \varphi+(j \cdot A),
\]

где $о$ — скорость света в вакууме. Из (8.212) находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \varphi}=-\rho, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\varphi}}=0, \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \varphi}{\partial x}}=-\varepsilon_{0} E_{x}, \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \varphi}{\partial y}}=-\varepsilon_{0} E_{y}, \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial \varphi}{\partial z}}=-\varepsilon_{0} E_{z},
\end{array}
\]

причем отсюда $(8.210, \mathrm{I})$ следует в качестве уравнения движения Лагранжа. Мы получим также:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_{x}}=j_{x}, \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{A}_{x}}=\varepsilon_{0}\left(E \cdot \frac{\partial E}{\partial \dot{A}_{x}}\right)=-D_{x}, \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial A_{x}}{\partial x}}=0, \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial A_{x}}{\partial y}}=H_{z}, \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \frac{\partial A_{x}}{\partial z}}=-H_{y},
\end{array}
\]

где пспользованы формулы (8.211) и равенство $\varepsilon_{0} \mu_{0}=c^{-2}$. Из (8.214) и (8.124) вытекает уравнение Максвелла $(8.210, \mathrm{IV})$. Что касается уравнений (8.210, II и III), то они удовлетворяются уже самим выбором потенциалов, определяемым формулами (8.211).

Так как $\mathscr{L}$ не содержит $\dot{\varphi}$, то мы не в состоянии ввести плотность импульса, соответствующую $\varphi$; поэтому невозможно, не вводя дальнейших модификаций, найти плотность гамильтониана такую, чтобы уравнения Максвелла (8.210) следовали бы из уравнений (8.129). Однако мы увидим, что уравнения Максвелла могут быть записаны в канонической форме, если воспользоваться компонентами Фурье переменных поля.

Мы начнем с того, что введем комплексную переменную $\boldsymbol{F}$, определив ее следующим образом:
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{E}+i c \boldsymbol{B} .
\]

Тогда уравнения (8.210) можно переписать в виде:
\[
(
abla \cdot F)=\frac{\rho}{\varepsilon_{i n}} ;
\]
\[
[
abla, F]-\frac{i}{c} \frac{\partial F}{\partial t}=i \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \boldsymbol{j} .
\]

Теперь мы воспользуемся разложением Фурье и одновременно разложим каждый член на три компоненты одну, параллельную волновому вектору $\boldsymbol{k}$, и две другие, нормальные вектору $k$ :
\[
F=\Omega^{-1 / 2} \sum_{k} e^{i(k \cdot x)}\left(a_{k} e_{k}^{(1)}+b_{k} e_{k}^{(9)}+c_{k} e_{k}^{\prime \prime}\right) .
\]

Здесь через $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{k}}^{(i)}$ обозначены единичные векторы, образующие правую тройку (предполагается, что координатная система $x, y, z$ правая); вектор $e_{k}^{\prime 3}$ параллелен $k$, так что
\[
\begin{array}{l}
{\left[e_{k}^{(1)}, e_{k}^{(2)}\right]=e_{k}^{(8)}, \quad\left[e_{k}^{(9)}, e_{k}^{(3)}\right]=e_{k}^{(1)}, \quad\left[e_{k}^{(3)}, e_{k}^{(1)}\right]=e_{k}^{(9)},} \\
{\left[k, e_{k}^{\prime \prime}\right]=k e_{k}^{(2 \prime}, \quad\left[k, e_{k}^{\left(g^{\prime}\right.}\right]=-k e_{k}^{(1)}, \quad\left[k, e_{k}^{i \beta \prime}\right]=0,} \\
\left(k \cdot e_{k}^{\prime 1}\right)=\left(k \cdot e_{k}^{\prime \prime}\right)=0, \quad\left(k \cdot e_{k}^{\left(s^{\prime}\right.}\right)=k, \\
\end{array}
\]

где $|\boldsymbol{k}|=k$; наконец, $\Omega$ — это конечный объем, на границах которого по предположению выполняются периодические граничные условия. Следует заметить, что разложение с использованием $\boldsymbol{e}_{k}^{\prime \prime}, \boldsymbol{e}_{k}^{\prime \prime \prime}, \boldsymbol{e}_{k}^{\prime 3}$ различно для различных $\boldsymbol{k}$, т. е. для различных членов, входящих в сумму по волновым векторам.
Записывая аналогичное разложение для $\rho$ и $j$,
\[
\begin{array}{c}
\rho=\Omega^{-1 / 2} \sum_{k} \rho_{k} e^{i(k \cdot x)}, \\
\boldsymbol{j}=\Omega^{-1 / 2} \sum_{k} e^{i(k \cdot x)}\left(j_{k}^{\prime \prime} e_{k}^{(1 \prime}+j_{k}^{\left(\rho^{\prime}\right.} e_{k}^{(9)}+j_{k}^{i 3} e_{k}^{\prime 3}\right),
\end{array}
\]

мы получим из уравнений (8.216) следующие связи:
\[
\begin{aligned}
i k c_{k} & =\rho_{k} / \varepsilon_{0}, \\
\text { (I) } \quad-i k b_{k}-i a_{k} c^{-1} & =i R_{0} j_{k}^{1 \prime}, \\
\text { (II) } \quad i k a_{k}-i \dot{b}_{k} c^{-1} & =i R_{0} j_{k}^{\prime \prime \prime}, \\
\text { (III) } \quad-i \dot{c}_{k} c^{-1} & =i R_{0} j_{k}^{3 \prime},
\end{aligned}
\]

где
\[
R_{0}=\left(\mu_{0} / \varepsilon_{0}\right)^{1 / 2}
\]

представляет собой характеристический импеданс вакуума. Из уравнения непрерывности
\[
(
abla \cdot \boldsymbol{j})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
\]

мы найдем, что
\[
i k j_{k}^{3}=-\dot{\rho}_{k},
\]

откуда ясно, что (8.222, III) следует непосредственно из (8.221).

Ниже мы будем предполагать, что никаких зарядов и токов нет, так что $\rho_{k}=j_{k}^{(1)}=j_{k}^{(2)}=j_{k}^{(3)}=0$, и поэтому, также из (8.221),
\[
c_{k}=0 .
\]

Электромагнитное поле в этом случае представляет собой поперечное поле (поле излучения) и описывается (комплексными) переменными $a_{k}$ и $b_{k}$. Поскольку эти переменные комплексные, мы можем взять за независимые переменные либо их действительные и мнимые части, либо принять за независимые переменные $a_{k}, b_{k}, a_{k}, b_{k}$. Ситуация здесь отличается от той, какую мы имели в начале предыдущего параграфа и которая привела нас к (8.105), потому что $\boldsymbol{F}$-величина комплексная, тогда как $\xi$ была действительной. Уравнения движения, определяющие изменение этих переменных, будут теперь [ср. (8.222, I и II)]:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{a}_{k}=-c k b_{k}, & \dot{a}_{k}^{*}=-c k b_{k}^{*}, \\
\dot{b}_{k}=c k a_{k}, & b_{k}^{*}=c k a_{k}^{*} .
\end{array}
\]

В качестве независимых переменных мы выберем здесь действительную и мнимую части $a_{k}$ и $b_{k}$ и запишем:
\[
a_{k}=\varepsilon_{0}^{-1 / 2}\left(p_{k}+i \bar{p}_{k}\right), \quad b_{k}=k c \varepsilon_{0}^{-1 / 2}\left(q_{k}+i \bar{q}_{k}\right),
\]

так что уравнения (8.227) примут вид:
\[
\dot{p}_{k}=-(c k)^{2} q_{k}, \quad \phi_{k}=p_{k}, \quad \dot{p_{k}}=-(c k)^{2} q_{k}, \quad \dot{\bar{q}}{ }_{k}=p_{k} .
\]

Эти уравнения можно получить из канонических уравнений движения (5.108), если в качестве гамильтониана выбрать
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k}\left[p_{k}^{2}+(c k)^{2} q_{k}^{2}+p_{k}^{2}+(c k)^{2} q_{k}^{2}\right]
\]

и если величины $p_{k}, q_{k}$ и $\bar{p}_{k}, q_{k}$ рассматривать как пары канонически сопряженных переменных.
Если выразить $H$ через $a_{k}, b_{k}, a_{k}^{*}, b_{k}^{*}$, мы получим:
\[
H=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \sum_{k}\left(a_{k} a_{k}^{*}+b_{k} b_{k}^{*}\right),
\]

и если мы выберем в качестве канонических импульсов $\gamma_{k} a_{k}$ и $\gamma_{k} a_{k}^{*}$, а в качестве их сопряженных координат $\gamma_{k} b_{k}^{*}$ и $\gamma_{k} b_{k}$, где $\gamma_{k}^{*}=\varepsilon_{0} / 2 c k$, уравнения (8.227) будут следовать из (5.108).

Из (8.230) ясно, что задача о поле электромагнитного излучения может быть сведена к задаче о совокупности гармонических осцилляторов. Мы отметим также, что выражение для $H$ (8.230) может быть переписано с помощью (8.228), (8.226), (8.217) и (8.215) в виде:
\[
H=\frac{1}{2} \cdot \varepsilon_{0} \int\left(E^{2}+c^{2} B^{2}\right) d^{3} x ;
\]

өто-хорошо известное выражение для энергии электромагнитного поля.

Случай, когда $\rho$ и $\boldsymbol{f}$ отличны от нуля, может быть рассмотрен аналогичным образом, но мы предоставим его разбор читателю. Существуют, однако, некоторые тонкости, обсуждение которых можно найти в соответствующей литературе *).