В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не к (4.112). Спещиально мы остановимся на движении материальных точек на поверхности Земли. Если на частицу массы $m$ действует сила $F$, то уравнение движения частицы имеет вид:
\[
\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)_{x y^{2}}=\frac{F}{m},
\]

а используя дважды (4.203), мы найдем во вращающейся системе отсчета:
\[
m \ddot{x}=-2 m[\omega, \dot{x}]-m\{[\dot{\omega}, x]-[\omega,[\omega, x]]\}+F,
\]

где точка означает дифференцирование в системе $X Y Z$, т. e. $(d / d t)_{X Y Z}$.

Во всех случаях, которые рассматриваются далее, $\boldsymbol{\omega}-$ это вектор угловой скорости вращения, соответствующий суточному вращению Земли. С достаточной степенью точности можно положить тогда $\omega=0$. Выражение $[\omega,[\omega, x]]$, как это легко видеть, определяет центробежное ускорение. Его компонента вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли к точке земной поверхности, равная $\Omega^{2} R \cos \varphi$ (где $\Omega-$ угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси; $R$-радиус Земли; $\varphi$-широта точки на поверхности Земли), составллет около $0,003 \mathrm{~g} \cos \varphi$ (g–ускорение снлы тяжести) и должна приниматьсл по пmинане наряду с обычным ускореннем силы тякести. Bместе с тем поправка өта составляет не более $0,3 \%$ от $g$, поэтому ею можно пренебречь во мноиих задачах; именио так мы и поступим в дальнейшем. Мы также пренєбрежем остальными компонентами вектора $[0,[\omega, x]]$.

Тогда у нас останется следующее (приближение) уравнение движения:
\[
m x=-2 m[\omega, \dot{x}]+F .
\]

Первый член в правой части – это так пазыьаемал сила Қориолиса. Если частица движется в северном полушарии в направлении на север, то па нее будет дсйствовать сила, направленнал па восток. Это обстоятельстьо имеет значение при расмотрении течения рек и для понимания законов образовапия и циркуляции циклонов. Мы же ограниимся двумя простыми механическими примерами, в которых снлы Кориолиса пмеют существенное значение. Первый пример-это падение частип в поле тяжести Земли, точнее – траентория частицы, брюпенной с некоторой высоты. Второй пример-маятин буко.

Выберем сейчас координаткые оси следующим образом: пусть ось $z$ направлена вдоль радиус-вектора, пущего от центра Земли к точке на ее поверхности, где будет производиться эксперимент; ось $y$ направим по касатепьной к окружности постоянной широты в направлени «sагад восток»; ось $x$ направим по касательной к мерднану в направления «север-юг» (напоним, что направления выбранных таким образом осей $x, y, z$ в разных точках Земли разтиные). Вектор 0 mеет в этой систене осей компоненты $-\Omega \cos \varphi, 0, \Omega$ sin $\varphi$, где, как и рапьme, $\Omega-$ где проводится опыт. Запишем уравнение (4.303) в компонентах:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{z}=2 \Omega \sin \varphi \dot{y}+F_{x} / m, \\
\ddot{y}=-2 \Omega \cos \varphi \dot{z}-2 \Omega \sin \varphi \dot{x}+F_{y} / m,(4.304) \\
\ddot{z}=2 \Omega \cos \varphi \dot{y}+F_{z} / m .
\end{array}
\]

В первой задаче монно считать $F_{x}=F_{y}=0, F_{z}=-m g$ (гие при желании можно подправить $g$ па घепсробежное ускорение, о котором только что шла речь). Нонно пропнтегрировать первое и третье уравнение із (4.304) и подставить полученный результат во второе уравнения

(4.304), принимая во внімание началынье усповня $(x=$ $=\eta=0, z=h$ и $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ при $t=0$ ):
\[
\ddot{y}=-4 \Omega^{2} y+2 \Omega \cos \varphi g t .
\]

Можно пренебречь членом, содержащим $\Omega^{2}$, по сравнению с другими членами; тогда мы найдем величину смещення $\Delta y$ для точки, где окажется на Земле падающая частица, относительно той точки, куда бы она упала, ести бы Земля не вранапась $(\Omega=0)$ :
\[
\Delta y=\frac{1}{3} \cdot \Omega \cos \varphi g T^{3}
\]

здесь через $T$ обозначено врсми, пеойходимое частице, чтобы унасть на Землю,
\[
T \approx\left(2 h^{\prime} g\right)^{1 / 2} \text {. }
\]

Подставив (4.307) в (4.306) п полагая $h=10^{2}$ дh, ми найдем для $\Delta y$ величину около 0,02 м. Физическая причнна этого отклонения очень проста: частица падает из точкі, где линейная скорость в направлении запад – восток была больше, чем на Земле.

Второй пример – это маятиик, обладаюший двумя степенями свободы. Нанболее строгий метод решения этой задачи – рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Одиако нз геометрин задачи видно, что пронзводная $\dot{z}$ голжна быть ветичиной второго порядка малости, если пользевсться приближением малых колсбаний ( $z$ будет отлнчаться от своего равновесного зичения только на величину, содержашую квадрат амплитуды). Кроме того, нз теорин простого маятника можно ожидать, что величины $F_{\mathrm{k}} / m$ н $F_{l i} / m$ будут равпы соответстренно – gx/l и – gy/l, где шерез $l$ обозначена длина маятника. Если пренебречь в во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут:
$\ddot{x}-2 Q \sin \varphi \dot{y}=-g x^{\prime} l, \quad \ddot{f}+2 \Omega \sin \varphi \dot{x}=-g y / l . \quad$ (4.308)
Заметим, что (4.308) сводятся к уравнениям движения обычного маятника, если положить $\Omega=0$.

Решение системы (4.308) дает простое гармониескос колебание, но такое, что пиоскость колебаний равимерно поворачивается с угловой скоростью $\Omega \sin \varphi$. Это вицно сразу же, если ввести систему координат $x^{\prime}, y^{\prime}$, вращающуюся с угловой скоростью $\Omega \sin \varphi$ относительно систсин $x, y$. Если поступить таким сбразом, чени, пропорциональные $\Omega$, исчезают. Другими словами: эти члены являются двумерными аналогами ускорения Кориолиса.

Аналитически можно найти решение, если ввести комплексную переменную
\[
u=x+i y \text {. }
\]

Через эту переменную система (4.308) запишется в виде!
\[
\ddot{u}+2 i \Omega \sin \varphi \dot{u}+g u / l=0 .
\]

Если искать решение в форме
\[
u=A e^{i \omega t},
\]

то, пренебрегая членами, содержащими $\Omega^{2}$, мы получим:
\[
\begin{aligned}
\omega & = \pm \omega_{0}-\Omega \sin \varphi, \\
\omega_{0} & =(g / l)^{1 / 2},
\end{aligned}
\]

или же
Рис. 24. Опыт Фуко с маятни. ком. Эллипс III – та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.
$u=\left(A e^{i \omega_{0} t}+B e^{-t \omega_{0} t}\right) e^{-i \Omega \sin \phi t}$.
Сумма, стоящая в скобках, представляет эллиптическую орбиту (см. рис. 24): член $A e^{i \omega_{0} t}$ соответствует движению по кругу I, член $B e^{-. \omega_{0} t}$ – движению по кругу II в обратном направлении. Эллипс III представляет собой сумму двух первых движений. Множитель $e^{-i \Omega \sin \varphi t}$ показывает, что этот эллипс вращается по часовой стрелке с угловой скоростью $\Omega \sin \varphi$.

Такое вращение плоскости колебаний маятника было экспериментально показано Фуко в его знаменитом эксперименте 1851 г. в Пантеоне. За этот опыт Фуко получил в 1855 г. медаль Копи от Королевского Общества.