В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не к (4.112). Спещиально мы остановимся на движении материальных точек на поверхности Земли. Если на частицу массы $m$ действует сила $F$, то уравнение движения частицы имеет вид:
$${\left(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\right)}_{x{y}^2}=\frac{F}{m},$$

а используя дважды (4.203), мы найдем во вращающейся системе отсчета:
$$m\ddot{x}=-2m[\omega ,\dot{x}]-m\{[\dot{\omega },x]-[\omega ,[\omega ,x]]\}+F,$$

где точка означает дифференцирование в системе $XYZ$, т. e. $(d/dt{)}_{XYZ}$.

Во всех случаях, которые рассматриваются далее, $\mathit{\omega }-$ это вектор угловой скорости вращения, соответствующий суточному вращению Земли. С достаточной степенью точности можно положить тогда $\omega =0$. Выражение $[\omega ,[\omega ,x]]$, как это легко видеть, определяет центробежное ускорение. Его компонента вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли к точке земной поверхности, равная ${\mathrm{\Omega }}^{2}R\cos \phi$ (где $\mathrm{\Omega }-$ угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси; $R$-радиус Земли; $\phi$-широта точки на поверхности Земли), составллет около $0,003\mathrm{g}\cos \phi$ (g—ускорение снлы тяжести) и должна приниматьсл по пmинане наряду с обычным ускореннем силы тякести. Bместе с тем поправка өта составляет не более $0,3\mathrm{\%}$ от $g$, поэтому ею можно пренебречь во мноиих задачах; именио так мы и поступим в дальнейшем. Мы также пренєбрежем остальными компонентами вектора $[0,[\omega ,x]]$.

Тогда у нас останется следующее (приближение) уравнение движения:
$$mx=-2m[\omega ,\dot{x}]+F.$$

Первый член в правой части — это так пазыьаемал сила Қориолиса. Если частица движется в северном полушарии в направлении на север, то па нее будет дсйствовать сила, направленнал па восток. Это обстоятельстьо имеет значение при расмотрении течения рек и для понимания законов образовапия и циркуляции циклонов. Мы же ограниимся двумя простыми механическими примерами, в которых снлы Кориолиса пмеют существенное значение. Первый пример-это падение частип в поле тяжести Земли, точнее — траентория частицы, брюпенной с некоторой высоты. Второй пример-маятин буко.

Выберем сейчас координаткые оси следующим образом: пусть ось $z$ направлена вдоль радиус-вектора, пущего от центра Земли к точке на ее поверхности, где будет производиться эксперимент; ось $y$ направим по касатепьной к окружности постоянной широты в направлени «sагад восток»; ось $x$ направим по касательной к мерднану в направления «север-юг» (напоним, что направления выбранных таким образом осей $x,y,z$ в разных точках Земли разтиные). Вектор 0 mеет в этой систене осей компоненты $-\mathrm{\Omega }\cos \phi ,0,\mathrm{\Omega }$ sin $\phi$, где, как и рапьme, $\mathrm{\Omega }-$ где проводится опыт. Запишем уравнение (4.303) в компонентах:
$$\begin{array}{l}\ddot{z}=2\mathrm{\Omega }\sin \phi \dot{y}+F_x/m,\\ \ddot{y}=-2\mathrm{\Omega }\cos \phi \dot{z}-2\mathrm{\Omega }\sin \phi \dot{x}+F_y/m,(4.304)\\ \ddot{z}=2\mathrm{\Omega }\cos \phi \dot{y}+F_z/m.\end{array}$$

В первой задаче монно считать $F_x=F_y=0,F_z=-mg$ (гие при желании можно подправить $g$ па घепсробежное ускорение, о котором только что шла речь). Нонно пропнтегрировать первое и третье уравнение із (4.304) и подставить полученный результат во второе уравнения

(4.304), принимая во внімание началынье усповня $(x=$ $=\eta =0,z=h$ и $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ при $t=0$ ):
$$\ddot{y}=-4{\mathrm{\Omega }}^{2}y+2\mathrm{\Omega }\cos \phi gt.$$

Можно пренебречь членом, содержащим ${\mathrm{\Omega }}^2$, по сравнению с другими членами; тогда мы найдем величину смещення $\mathrm{\Delta }y$ для точки, где окажется на Земле падающая частица, относительно той точки, куда бы она упала, ести бы Земля не вранапась $(\mathrm{\Omega }=0)$ :
$$\mathrm{\Delta }y=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{\Omega }\cos \phi g{T}^3$$

здесь через $T$ обозначено врсми, пеойходимое частице, чтобы унасть на Землю,
$$T\approx {\left(2h^{\prime }g\right)}^{1/2}\text{. }$$

Подставив (4.307) в (4.306) п полагая $h={10}^2$ дh, ми найдем для $\mathrm{\Delta }y$ величину около 0,02 м. Физическая причнна этого отклонения очень проста: частица падает из точкі, где линейная скорость в направлении запад — восток была больше, чем на Земле.

Второй пример — это маятиик, обладаюший двумя степенями свободы. Нанболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Одиако нз геометрин задачи видно, что пронзводная $\dot{z}$ голжна быть ветичиной второго порядка малости, если пользевсться приближением малых колсбаний ( $z$ будет отлнчаться от своего равновесного зичения только на величину, содержашую квадрат амплитуды). Кроме того, нз теорин простого маятника можно ожидать, что величины $F_{\mathrm{k}}/m$ н $F_{li}/m$ будут равпы соответстренно — gx/l и — gy/l, где шерез $l$ обозначена длина маятника. Если пренебречь в во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут:
$\ddot{x}-2Q\sin \phi \dot{y}=-g{x}^{\prime }l,\ddot{f}+2\mathrm{\Omega }\sin \phi \dot{x}=-gy/l.$ (4.308)
Заметим, что (4.308) сводятся к уравнениям движения обычного маятника, если положить $\mathrm{\Omega }=0$.

Решение системы (4.308) дает простое гармониескос колебание, но такое, что пиоскость колебаний равимерно поворачивается с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }\sin \phi$. Это вицно сразу же, если ввести систему координат $x^{\prime },y^{\prime }$, вращающуюся с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }\sin \phi$ относительно систсин $x,y$. Если поступить таким сбразом, чени, пропорциональные $\mathrm{\Omega }$, исчезают. Другими словами: эти члены являются двумерными аналогами ускорения Кориолиса.

Аналитически можно найти решение, если ввести комплексную переменную
$$u=x+iy\text{. }$$

Через эту переменную система (4.308) запишется в виде!
$$\ddot{u}+2i\mathrm{\Omega }\sin \phi \dot{u}+gu/l=0.$$

Если искать решение в форме
$$u=A{e}^{i\omega t},$$

то, пренебрегая членами, содержащими ${\mathrm{\Omega }}^2$, мы получим:
$$\begin{array}{rl}\omega & =\pm {\omega }_0-\mathrm{\Omega }\sin \phi ,\\ {\omega }_0& =(g/l{)}^{1/2},\end{array}$$

или же
Рис. 24. Опыт Фуко с маятни. ком. Эллипс III — та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.
$u=(A{e}^{i{\omega }_{0}t}+B{e}^{-t{\omega }_{0}t})e^{-i\mathrm{\Omega }\sin \varphi t}$.
Сумма, стоящая в скобках, представляет эллиптическую орбиту (см. рис. 24): член $A{e}^{i{\omega }_{0}t}$ соответствует движению по кругу I, член $B{e}^{-.{\omega }_{0}t}$ — движению по кругу II в обратном направлении. Эллипс III представляет собой сумму двух первых движений. Множитель $e^{-i\mathrm{\Omega }\sin \phi t}$ показывает, что этот эллипс вращается по часовой стрелке с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }\sin \phi$.

Такое вращение плоскости колебаний маятника было экспериментально показано Фуко в его знаменитом эксперименте 1851 г. в Пантеоне. За этот опыт Фуко получил в 1855 г. медаль Копи от Королевского Общества.