Основу классической механики составляют три закона Ньютона, с которых мы и начнем наше изложение. Мы будем считать, что все термины, входящие в формулировку этих законов, имеют вполне определенный смысл (на самом деле все они имеют скорее интуитивный смысл), поскольку мы просто не хотим вдаваться в дискуссии вокруг вводимых этими законами представлений. Выписывая законы Ньютона, мы заранее предполагаем, что существуют такие системы отсчета, в которых они справедливы. Такие системы называются инерциальными системами отсчета, и мы будем исходить из того, что все рассматриваемые векторы определены в одной из таких систем. Следует напомнить, что любая-система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной системой.
Сформулируем теперь законы Ньютона.
Lex prima. Если на частицу не действуют никакие силы, то она будет сохранять состояние своего движения, т. е. продолжать двигаться по прямой линии с постоянной скоростью.

Lex secunda. Если на частицу действуют силы, то скорость изменения ее импульса равна полной силе, действующей на нее. Импульс частицы определяется как произведение массы частицы на ее скорость.

Lex tertia. Когда две частицы взаимодействуют друг с другом, то сила, действующая со стороны первой частицы на вторую, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей со стороны второй частицы на первую. (Действие и противодействие, actio est reactio.)

Говоря о частице, мы будем иметь в виду на протяжении всей этой книги точечную частицу (материальную точку), т. е. объект, характеризуемый своей массой $m$, радиус-вектором $\boldsymbol{x} *$ ) и скоростью $\boldsymbol{v}$, определяемой производной от $\boldsymbol{x}$ по времени:
\[
v=\frac{d x}{d t},
\]

где через $t$ обозначено время (временна́я координата).
До тех пор, пока мы не касаемся релятивистских эффектов, можно считать $m$ постоянной величиной, характеризующей частицу. Именно эту массу называют в специальной теории относительности массой покоя.

В математической форме законы Ньютона записываются так:
Lex prima: Если $\boldsymbol{F}=0$, то $\boldsymbol{v}=\mathrm{const}$;
Lex secunda: $\frac{d}{d t}(m v)=F$;
Lex tertia: $F_{12}=-F_{21}$, или $F_{12}+F_{21}=0$. (1.104)
В этих равенствах через $\boldsymbol{F}$ обозначена полная сила, действующая на частицу, а через $F_{12}\left(F_{21}\right)$ – сила, действующая на частицу 2 (1) со стороны частицы 1 (2).

При условии, что $m$ является постоянной величиной, уравнение (1.103) можно переписать также в виде:
\[
m a=F, \quad a=\frac{d v}{d t},
\]

где через $\boldsymbol{a}$ обозначено ускорение частицы. Последняя форма второго закона Ньютона – сила равна произведению массы на ускорение – несколько более распространена, однако любопытно отметить, что сам Ньютон пользовался формулировкой (1.103), которая справедлива и в том слу-
*) Мы сохраняем введенное автором обозначение $\boldsymbol{x}$ для радиусвектора, хотя в русской литературе принято писать $r$; затруднений это не вызовет, а обозначение $\boldsymbol{x}$ имеет свои достоинства. – Прим. перев.

чае, если масса $m$ – величина переменная, как это имеет место, например, при движении ракеты. С другой стороны, (1.103) можно записать в виде:
\[
\frac{d p}{d t}=F
\]

определив $\boldsymbol{p}$ согласно (1.110). В такой форме уравнение движения справедливо и в релятивистской механике, однако импульс определяется там уже не согласно (1.110), а иначе.

Первый закон Ньютона – это закон инерции Галилея; отсюда возник термин «инерциальные снстемы»,

Масса $m$, которую надлежит определять согласно (1.103), называется инертной массой частицы; было доказано экспериментальным путем, что инертная масса равна тяжелой (или гравитационной) массе частицы, которая в свою очередь пропорциональна весу частицы. Здесь следует заметить, что такая эквивалентиость обонх сортов массы довольно естественно вытекает из общей теории относительности.

Прежде чем переходить к следствиям ньютоновских законов, мы хотели бы отметить, что иногда называют четвертым законом Ньютона правило, согласно которому снлы, дсйствующие па материальую точку, складываются по правилу сложения векторов. Такое предположение действительно молчаливо содержится в уравнениях (1.103) и (1.104), поскольку силы уже с самого начала обозначались как векторы.

Даже не зная конкретного вида сил, можно получить некоторые следствия из (1.103) и (1.104). Давайте начнем с рассмотрения системы, состоящей из двух частиц, где единственными силами, действующими на частицы, будут силы $F_{12}$ и $F_{21}$. Из (1.104) вытекает, что
\[
\int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}\left(F_{12}+F_{21}\right) d t=0 .
\]

Поскольку $\boldsymbol{F}_{\mathbf{1 2}}\left(\boldsymbol{F}_{21}\right)$ является единственной силой, действующей на первую (вторую) частицу, с помощью (1.103) можно написать:
\[
F_{12}=\frac{d m_{1} v_{1}}{d t}, \quad F_{21}=\frac{d m_{2} v_{2}}{d t},
\]

и из (1.106) и (1.107) мы получим:
\[
\left[m_{1} v_{1}+m_{2} \boldsymbol{v}_{2}\right]_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}=0,
\]

или
\[
\boldsymbol{p}_{1}^{\prime}+\boldsymbol{p}_{2}^{\prime}=\boldsymbol{p}_{1}^{\prime}+\boldsymbol{p}_{2}^{\prime},
\]

где импульс частицы определен равенством
\[
p=m v
\]

и где штрихи (и двойные штрихи) указывают на значения соответствующих величин, взятые в моменты времени $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$.

Равенство (1.109) выражает закон сохранения импульса *); мы только что доказали, что он справедлив для изолированной системы, состояцей из двух взаимодействуюших частиц.

Займемся теперь движением одной частицы под дейст. вием силы $\boldsymbol{F}$ и найдем значение интеграла
\[
I=\int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(F \cdot d x)
\]

Используя (1.103) и вспомнив, что $d x=v d t$, мы получим:
\[
I=\int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(m \ddot{x} \cdot \dot{x}) d t=\left[\frac{1}{2} \cdot m \dot{x}^{2}\right]_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}=T^{\prime \prime}-T^{\prime},
\]

где мы ввели кинетическую энергию частицы $T$ соотношением
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m(\dot{x} \cdot \dot{x}),
\]

причем точка над буквой (и соответственно две точки) означает и будет означать в дальнейшем по всей книге однократное (и двукратное) дифференцирование величин по времени.

Так как произведенне ( $F \cdot \boldsymbol{v})$ представляет собой работу, производимую силой над частнцей в единицу времени, то из (1.113) вытекает, что полная работа сил, действующих на частицу в промежутке времени ( $\left.t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right)$, равна изменению кинетической энергии частицы. Из (1.112) можно вывести закон сохранения энергии, если только поле сил, действующих на частицу, консервативно. Поле сил называется консер-
*) В оригнале употрсблен термин клинейный импульс» (linear momentum), который в английской литературе противопоставляется термину «угловой импуиьс» (по нашей терминологи и – момент импульса). – Прим. перев.

вативным, если сила в каждой точке может быть получена из потенииальной фуниции $U$ дифференцированием, a именно:
\[
F=-
abla U,
\]

где через $
abla$ обозначен оператор градиента, компонентами которого являются операторы $\partial / \partial x, \partial / \partial y, \partial / \partial z$.
В этом случае
\[
\int_{i^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{x})=-\int_{\boldsymbol{t}^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(
abla U \cdot d \boldsymbol{x})=-U^{\prime \prime}+U^{\prime},
\]

или, принимая во внимание (1.111) и (1.112),
\[
T^{\prime}+U^{\prime}=T^{\prime \prime}+U^{\prime \prime} \text {. }
\]

Потенциал $U$ носит название потенциальной янергии, и мы видим непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция $U$ явно не зависит от $t$, полная энергия частишы $E$, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии
\[
E=T+U,
\]

представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую величину, которая не меняется во время движения частицы.

Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл $I$ (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в п́ромежутке времени между $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$.

Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем написать:
\[
E=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}+U(x),
\]

или же, разрешая относительно $\dot{x}$,
\[
\dot{x}=[(2 / m)(E-U)]^{1 / 2} .
\]

Из последнего равенства получаем непосредственным интегрированием:
\[
t-t_{0}=\int_{x_{0}}\{2[E-U(x)] / m\}^{-1 / 2} d x,
\]

где через $x_{0}$ обозначено положение частицы в момент времени $t_{0}$. Простейшим примером такого случая может служить одномерный гармонический осциллятор, который определяется видом своей потенциальной энергии. Для гармонического осциллятора
\[
U=\frac{1}{2} a x^{2} .
\]

Интегрирование (1.120) приводит в этом случае к выражению
\[
t-t_{0}=(m / a)^{1 / 2} \arcsin \left[x(a / 2 E)^{1 / 2}\right],
\]

или же
\[
x=(2 E / a)^{1 / 2} \sin 2 \pi v\left(t-t_{0}\right), \quad 2 \pi v=(a / m)^{1 / 2},(1.122)
\]

где через $v$ обозначена частота гармонического осциллятора и где в целях простоты записи принято, что $x_{0}$ равно нулю.

Заметим, что из (1.122) видно, что энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.