Нередко бывает так, что какие-то координаты сами в лагранжиан не входят, а входят лишь их производные по времени. В предшествующих параграфах мы встречались с такими случаями; например, в лагранжиан (2.314) не входил полярный угол $\phi$, а в лагранжиан (2.329) не входил угол $\phi$, имеющий, правда, иной смысл. Такие координаты принято называть циклическими (или реже игнорируемыми). Появление первого термина связано с тем, что очень часто такими координатами оказываются углы (как это и было в двух приведенных примерах); что касается второго термина, то его происхождение станет ясным чуть позже.

Пусть $q_s$ — игнорируемая координата. Тогда из (2.308) и (2.310) мы найдем, что
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_s}=\frac{\partial L}{\partial q_s}=0=\frac{d{p}_s}{dt},$$

или же
$$p_s=\text{ const. }$$

Равенство (2.402) можно использовать для того, чтобы исключить (игнорировать) степень свободы, связанную с обобщенной коордннатой $q_s$. Делается это следующим образом. Равенство (2.402) определяет связь между ${\dot{q}}_1$, ${\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_{s-1},{\dot{q}}_s,q_1,q_2,\dots ,q_{s-1}$ и постоянной величнной $p_s$. Это равенство можно рассматривать как уравнение и разрешить его относительно ${\dot{q}}_s$, выразив эту величину через остальные переменные:
$${\dot{q}}_s={\dot{q}}_s({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_{s-1},q_1,\dots ,q_{s-1};p_s),$$

где мы не должны забывать о том, что $p_s$ — постоянная величина. Введем теперь так называемую функцию Рауса, определив ее следующим образом:
$$R=L-p_s{\dot{q}}_s.$$

Если воспользоваться теперь (2.402) и (2.403), мы най дем, что
$$R=R({\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_{s-1},q_1,\dots ,q_{s-1},p_s).$$

Чтобы написать уравнения движення через функцию Рауса, составим вариацию
$$\begin{array}{rl}\delta L=\sum _{k=1}^s\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\delta {\dot{q}}_k& +\sum _{k=1}^s\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k=\\ & =\sum _{k=1}^{s-1}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\delta {\dot{q}}_k+\sum _{k=1}^s\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k+p_s\delta {\dot{q}}_s+\frac{\partial L}{\partial q_s}\delta q_s,\end{array}$$

откуда непосредственно вытекает выражение для $\delta R$ :
$$\begin{array}{rl}\delta R=\delta (L-p_s{\dot{q}}_s)=& \delta L-p_s\delta {\dot{q}}_s-{\dot{q}}_s\delta p_s=\\ & =\sum _{k=1}^{s-1}{p}_k\delta {\dot{q}}_k+\sum _{k=1}^{s-1}{\dot{p}}_k\delta q_k-{\dot{q}}_s\delta p_s,\end{array}$$

причем мы использовали д.т $p_k$ их выражение через (2.310), а также (2.401). Из (2.406) находим:
$$p_k=\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_k^{-}},{\dot{p}}_k=\frac{\partial R}{\partial q_k},k=1,\dots ,s-1,$$

или
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial R}{\partial q_k}=0,k=1,\dots ,s-1.$$

Можно решить уравнення (2.408), и когда все $p_k$ и $q_k$ для $k=1,\dots ,s-1$ будут найдены, можно воспользоваться уравнением
$${\dot{q}}_s=-\frac{\partial R}{\partial p_s},$$

чтобы получить $q_s$ в зависимости от времени. Отметнм, что уравнения (2.408) по форме совпадают с уравнениями Лагранжа (2.308), но их на одно уравнение меньше; точно так же (2.407) по форме совпадают с (2.310) и (2.311).

Если циклических координат не одна, а несколько, мокно всех их игнорировать одновременно, составив функцию Рауса
$$R=L-\sum _i{p}_i{\dot{q}}_t$$

ге суммирование ведется по всем игнорируемым степеням свнободы,

Мы продемонстрируем применение функции Рауса на примере игнорирования степеней свободы, связанных с нентром масс. Рассмотрим систему из $N$ частнц с координатами ${\mathit{x}}_i(i=1,\dots ,N)$, потенциальная энергия которых зависит только от относительного расстояния между частнцами:
$$U=U\left(|x_i-x_j|\right).$$

Введем координаты центра масс
$$MX=\sum _i{m}_i{x}_i,M=\sum _i{m}_l$$

и координаты относительно шентра масс
$$x_i^{\prime }=x_i-X,$$

которых остается всего лишь $3N-3$, поскольку они должны удовлетворять равенствам
$$\sum _i{m}_i{x}_i^{\prime }=0,$$

как это сразу же вытекает из (2.412) и (2.413).
Кинетическую энергию системы можно представить в виде:
$$\begin{array}{rl}T=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i({\dot{x}}_i\cdot {\dot{x}}_i)& =\frac{1}{2}M(\dot{X}\cdot \dot{X})+\sum _i{m}_i({\dot{x}}_i^{\prime }\cdot \dot{X})+\\ & +\frac{1}{2}\sum _i{m}_i({\dot{x}}_i^{\prime }\cdot {\dot{x}}_i^{\prime })=T_1+T_2,\end{array}$$

где мы воспользовались (2.414) и где через $T_1$ и $T_2$ обозначены соответєтвенно кинетическая энергия, связанная с движением центра масс, и кинетическая энергия, свяванная с движением частиц относительно центра масс:
$$T_1=\frac{1}{2}M(\dot{\mathit{X}}\cdot \dot{\mathit{X}}),T_2=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i({\dot{\mathit{x}}}_i^{\prime }\cdot {\dot{\mathit{x}}}_i^{\prime }).$$

Из (2.411) вытекает, что потенциальная энергия зависнт только от $x_i^{\prime }$, так что лагранжнан
$$L=T-U=T_1+T_2-U$$

не содержит координат центра масс, которые оказываются, таким образом, игнорируемыми. Введем функцию Рауса
$$R=L-(P_1\cdot \dot{X}),$$

где
$${\mathit{P}}_1=\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}=M\dot{X}$$

предстаныле собой вектор полного импульса. Функция Рауса превращается тогда в
$$R=-T_1+T_2-U,$$

и уравнения (2.408) дают уравнения относительного движения, тогда как (2.409) описывает равномерное и прямолинейное двизкение центра масс.

В заключение этого параграфа мы коротко остановимся на одном вопросе, который в наше время почти полностью утратил актуальность, но вызывал огромный интерес на заре развития классической механики. Вернемся к маятнику Томсона — Тэта, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Там оказалось, что угол $\phi$ был игнорируемой координатой. Мы обнаружили, что переменную $\phi$ можно нсключить и получить уравнение движения (2.333) для оставшейся координаты $\theta$. Конечно, то же самое уравненне можно было бы получить, если ввести функцию Рауса и игнорировать переменную $\phi$ способом, который мы только что описали. Если взглянуть на полученное дифференциальное уравнение (2.333), то видно, что хотя никакой потенциальной энергии у системы нет, уравнение (2.333) имеет в точности такой же вид, как уравнение одномерного движения в потенциальном поле. Обратив внимание на такие случаи, Гери пришел к выводу, что в сущности никакой потенциальной өнергии не существует: она появляется только тогда, когда мы рассматриваем незамкнутую систему. Такая точка зрения уже неприемлема в наше время; действительно, можно подойти к этому вопросу с несколько другой стороны, как мы убедились в этом в самом начале өтой главы: мы показали, что кинематические соотношения могут быть получены предельным переходом из подходящим образом выбранной потенциальной энергии.

В этой связи говорят иногда о скрытых массах; такие скрытые массы, как это предполагалось, вызывают посредством кинематических соотношений псевдопотенциальную энергию такого типа, с каким мы столкнулись в (2.333). Разберем очень простой пример, в котором и в самом деле скрытая масса создает такую псевдопотенциальную энергию (рис. 10). Две массы $m_1$ и $m_2$ связаны невесомой нитью длины $l$. Масса $m_2$ может свободно перемещаться по горизонтальной плоскости, ннть может двигаться без трения через отверстие в плоскости, а масса $m_1$ движется вертикально. Система обладает двумя степенями свободы, и за обобщенные координаты мы примем величины $x$ и $\phi$ (см. рис. 10). Лагранжиан системы запишется в виде:
$$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}{m}_2(l-x{)}^2{\dot{\phi }}^2+m_{1}gx.$$

Координата $\phi$-игнорируемая, и мы можем ее проиг. норировать, составив функцию Рауса:
$$R=L-p_{\phi }\dot{\phi }=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot{x}}^2-\frac{p_{\phi }^9}{2m_2(l-x{)}^2}+m_{1}gx.$$

Исходная система свелась к одномерной, вместе с тем появился «псевдопотенциал» $U^{\prime }$ :
$$U^{\prime }(x)=\frac{p_{\dot{\phi }}^{\stackrel{\varrho }{q}}}{2m_2(l-x{)}^2}.$$