Нередко бывает так, что какие-то координаты сами в лагранжиан не входят, а входят лишь их производные по времени. В предшествующих параграфах мы встречались с такими случаями; например, в лагранжиан (2.314) не входил полярный угол $\varphi$, а в лагранжиан (2.329) не входил угол $\varphi$, имеющий, правда, иной смысл. Такие координаты принято называть циклическими (или реже игнорируемыми). Появление первого термина связано с тем, что очень часто такими координатами оказываются углы (как это и было в двух приведенных примерах); что касается второго термина, то его происхождение станет ясным чуть позже.

Пусть $q_{s}$ – игнорируемая координата. Тогда из (2.308) и (2.310) мы найдем, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{s}}=\frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0=\frac{d p_{s}}{d t},
\]

или же
\[
p_{s}=\text { const. }
\]

Равенство (2.402) можно использовать для того, чтобы исключить (игнорировать) степень свободы, связанную с обобщенной коордннатой $q_{s}$. Делается это следующим образом. Равенство (2.402) определяет связь между $\dot{q}_{1}$, $\dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{s-1}, \dot{q}_{s}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s-1}$ и постоянной величнной $p_{s}$. Это равенство можно рассматривать как уравнение и разрешить его относительно $\dot{q}_{s}$, выразив эту величину через остальные переменные:
\[
\dot{q}_{s}=\dot{q}_{s}\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{s-1}, q_{1}, \ldots, q_{s-1} ; p_{s}\right),
\]

где мы не должны забывать о том, что $p_{s}$ – постоянная величина. Введем теперь так называемую функцию Рауса, определив ее следующим образом:
\[
R=L-p_{s} \dot{q}_{s} .
\]

Если воспользоваться теперь (2.402) и (2.403), мы най дем, что
\[
R=R\left(\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{s-1}, q_{1}, \ldots, q_{s-1}, p_{s}\right) .
\]

Чтобы написать уравнения движення через функцию Рауса, составим вариацию
\[
\begin{aligned}
\delta L=\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k} & +\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}= \\
& =\sum_{k=1}^{s-1} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k}+\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+p_{s} \delta \dot{q}_{s}+\frac{\partial L}{\partial q_{s}} \delta q_{s},
\end{aligned}
\]

откуда непосредственно вытекает выражение для $\delta R$ :
\[
\begin{aligned}
\delta R=\delta\left(L-p_{s} \dot{q}_{s}\right)= & \delta L-p_{s} \delta \dot{q}_{s}-\dot{q}_{s} \delta p_{s}= \\
& =\sum_{k=1}^{s-1} p_{k} \delta \dot{q}_{k}+\sum_{k=1}^{s-1} \dot{p}_{k} \delta q_{k}-\dot{q}_{s} \delta p_{s},
\end{aligned}
\]

причем мы использовали д.т $p_{k}$ их выражение через (2.310), а также (2.401). Из (2.406) находим:
\[
p_{k}=\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{k}^{-}}, \quad \dot{p}_{k}=\frac{\partial R}{\partial q_{k}}, \quad k=1, \ldots, s-1,
\]

или
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial R}{\partial q_{k}}=0, \quad k=1, \ldots, s-1 .
\]

Можно решить уравнення (2.408), и когда все $p_{k}$ и $q_{k}$ для $k=1, \ldots, s-1$ будут найдены, можно воспользоваться уравнением
\[
\dot{q}_{s}=-\frac{\partial R}{\partial p_{s}},
\]

чтобы получить $q_{s}$ в зависимости от времени. Отметнм, что уравнения (2.408) по форме совпадают с уравнениями Лагранжа (2.308), но их на одно уравнение меньше; точно так же (2.407) по форме совпадают с (2.310) и (2.311).

Если циклических координат не одна, а несколько, мокно всех их игнорировать одновременно, составив функцию Рауса
\[
R=L-\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{t}
\]

ге суммирование ведется по всем игнорируемым степеням свнободы,

Мы продемонстрируем применение функции Рауса на примере игнорирования степеней свободы, связанных с нентром масс. Рассмотрим систему из $N$ частнц с координатами $\boldsymbol{x}_{i}(i=1, \ldots, N)$, потенциальная энергия которых зависит только от относительного расстояния между частнцами:
\[
U=U\left(\left|x_{i}-x_{j}\right|\right) .
\]

Введем координаты центра масс
\[
M X=\sum_{i} m_{i} x_{i}, \quad M=\sum_{i} m_{l}
\]

и координаты относительно шентра масс
\[
x_{i}^{\prime}=x_{i}-X,
\]

которых остается всего лишь $3 N-3$, поскольку они должны удовлетворять равенствам
\[
\sum_{i} m_{i} x_{i}^{\prime}=0,
\]

как это сразу же вытекает из (2.412) и (2.413).
Кинетическую энергию системы можно представить в виде:
\[
\begin{aligned}
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\dot{x}_{i} \cdot \dot{x}_{i}\right) & =\frac{1}{2} M(\dot{X} \cdot \dot{X})+\sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{\prime} \cdot \dot{X}\right)+ \\
& +\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{\prime} \cdot \dot{x}_{i}^{\prime}\right)=T_{1}+T_{2},
\end{aligned}
\]

где мы воспользовались (2.414) и где через $T_{1}$ и $T_{2}$ обозначены соответєтвенно кинетическая энергия, связанная с движением центра масс, и кинетическая энергия, свяванная с движением частиц относительно центра масс:
\[
T_{1}=\frac{1}{2} M(\dot{\boldsymbol{X}} \cdot \dot{\boldsymbol{X}}), \quad T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{\boldsymbol{x}}_{i}^{\prime} \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_{i}^{\prime}\right) .
\]

Из (2.411) вытекает, что потенциальная энергия зависнт только от $x_{i}^{\prime}$, так что лагранжнан
\[
L=T-U=T_{1}+T_{2}-U
\]

не содержит координат центра масс, которые оказываются, таким образом, игнорируемыми. Введем функцию Рауса
\[
R=L-\left(P_{1} \cdot \dot{X}\right),
\]

где
\[
\boldsymbol{P}_{1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}=M \dot{X}
\]

предстаныле собой вектор полного импульса. Функция Рауса превращается тогда в
\[
R=-T_{1}+T_{2}-U,
\]

и уравнения (2.408) дают уравнения относительного движения, тогда как (2.409) описывает равномерное и прямолинейное двизкение центра масс.

В заключение этого параграфа мы коротко остановимся на одном вопросе, который в наше время почти полностью утратил актуальность, но вызывал огромный интерес на заре развития классической механики. Вернемся к маятнику Томсона – Тэта, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Там оказалось, что угол $\varphi$ был игнорируемой координатой. Мы обнаружили, что переменную $\varphi$ можно нсключить и получить уравнение движения (2.333) для оставшейся координаты $\theta$. Конечно, то же самое уравненне можно было бы получить, если ввести функцию Рауса и игнорировать переменную $\varphi$ способом, который мы только что описали. Если взглянуть на полученное дифференциальное уравнение (2.333), то видно, что хотя никакой потенциальной энергии у системы нет, уравнение (2.333) имеет в точности такой же вид, как уравнение одномерного движения в потенциальном поле. Обратив внимание на такие случаи, Гери пришел к выводу, что в сущности никакой потенциальной өнергии не существует: она появляется только тогда, когда мы рассматриваем незамкнутую систему. Такая точка зрения уже неприемлема в наше время; действительно, можно подойти к этому вопросу с несколько другой стороны, как мы убедились в этом в самом начале өтой главы: мы показали, что кинематические соотношения могут быть получены предельным переходом из подходящим образом выбранной потенциальной энергии.

В этой связи говорят иногда о скрытых массах; такие скрытые массы, как это предполагалось, вызывают посредством кинематических соотношений псевдопотенциальную энергию такого типа, с каким мы столкнулись в (2.333). Разберем очень простой пример, в котором и в самом деле скрытая масса создает такую псевдопотенциальную энергию (рис. 10). Две массы $m_{1}$ и $m_{2}$ связаны невесомой нитью длины $l$. Масса $m_{2}$ может свободно перемещаться по горизонтальной плоскости, ннть может двигаться без трения через отверстие в плоскости, а масса $m_{1}$ движется вертикально. Система обладает двумя степенями свободы, и за обобщенные координаты мы примем величины $x$ и $\varphi$ (см. рис. 10). Лагранжиан системы запишется в виде:
\[
L=\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} m_{2}(l-x)^{2} \dot{\varphi}^{2}+m_{1} g x .
\]

Координата $\varphi$-игнорируемая, и мы можем ее проиг. норировать, составив функцию Рауса:
\[
R=L-p_{\varphi} \dot{\varphi}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \dot{x}^{2}-\frac{p_{\varphi}^{9}}{2 m_{2}(l-x)^{2}}+m_{1} g x .
\]

Исходная система свелась к одномерной, вместе с тем появился «псевдопотенциал» $U^{\prime}$ :
\[
U^{\prime}(x)=\frac{p_{\dot{\varphi}}^{\stackrel{\varrho}{q}}}{2 m_{2}(l-x)^{2}} .
\]