Существует немало задач, когда нас интересует устойчивость не только положення равновесия, но также п устойчивость равновесного (устойчивого) движения. Эти проблемы вышли на первый план при исследовании орбит частиц в ускорителях.

Здесь мы займемся простым двумерным случаем*) частицы, движущейся по круговой орбите под действиел центрального потенциала $U(r)$, задаваемого формулой
\[
U=-A r^{-\alpha},
\]

где $A$ и $\alpha$-постоянные, а $r$-расстояние от центра. Нас нитересует вопрос, насколько устойчиво такое движение пю окружности радиуса $r_{0}$. Лагранжиан системы имеет вид:
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\theta}^{2}\right)+A r^{\alpha},
\]

где через $\theta$ обозначен полярный угол, а уравнения Лагранжа имеют вид:
\[
m \ddot{r}-m r \dot{\theta}^{2}+\alpha A r^{-\alpha-1}=0, \quad m r^{2} \ddot{\theta}+2 m r \dot{r} \dot{\theta}=0 .
\]

Если мы имеем дело с движением по кругу, то $\dot{r}=0$; поэтому из второго уравнения следует, что $\dot{\theta}=$ const. Положим $\dot{\theta}=\omega_{0}$. Тогда из первого уравнения мы получим:
\[
m r_{0} \omega_{0}^{2}=\alpha A r_{0}^{-\alpha-1} .
\]

Теперь мы рассмотрим колебания около этого равновесного движения, характеризуемого величинами $r_{0}$ и $\omega_{0}$, связанными между собой соотношением (3.504). Дія
*) Г. Голдспейн, Қлассическая механика, Гостехнздат, 1957.

исстедования копебапий голожим:
\[
r=r_{0}+q_{1}, \quad \dot{\theta}=\omega_{0}+q_{2} .
\]

Подставляя (3.505) в (3.503) и пренебрегая членами второго порялка относительно $q_{i}$, мы получим (члень нулевого порядка сокрашаются в силу (3.504)):
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{q}_{1}-m \omega_{0}^{2} q_{1}-2 m r_{0} \mathrm{\omega}_{0} q_{2}-\alpha(\alpha+1) A r_{0}^{\alpha-2} q_{1}=0, \\
m r_{1}^{2} \dot{q}_{2}+2 m r_{0} \omega_{0} \dot{q}_{1}=0 .
\end{array}
\]

Если мы предполоким телерь, что $q_{1}$ п $q_{2}$ периодичны во времени с одной н той же частотой,
\[
q_{1}=A_{1} e^{i \omega t}, \quad q_{2}=A_{2} e^{i(\omega t},
\]

аиалогично (3.116), то ми придем к следуюпему секулярному уравнению для $\omega:$
\[
\left|\begin{array}{cc}
m\left(-\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)-\alpha(\alpha+1) A r_{0}^{-\alpha}-2 & -2 m r_{0} \omega_{0} \\
2 m r_{0} \omega_{0} \omega & m r_{0}^{\omega} \omega
\end{array}\right|=0 . \quad(3508)
\]

Мз этого уравнения найдется однн нулевой корень, соответствюций слегка смеценной равновесной круговой орбите, где $\left(r_{0}+A_{1}\right)$ и $\left(\omega_{0}+A_{2}\right)$ удовлетворяют тому же уравнению, которому раньше удовлетворяли величины $r_{0}$ и $\omega_{0}$, т. е. уравнению (3.504). Уравненне, которому удовлетпорют остальные корни, имеет внд:
\[
\omega^{2}=(2-\alpha)(\omega)_{0}^{2} .
\]

Отсюда видно, что при условии $\alpha<2$ орбита будет устойчнвой.

Обратим внимание на то, что секуиярное уравнение (3.508) куда более сложно, чем (3.121), поскольку здесь $\omega$ пхоит не только через $\omega^{2}$, но и в первой степени. Это не уднвнетьно, поскольку мы занимаемся уже не полокельям раниоссия, а равновесным движением.