1. Воспользовавшись уравнением Гамильтона – Якоби, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала $U=\mu / r$, описывая движение в координатах $u=r+x$, $v=r-x$.
2. Используя уравнение Гамильтона – Якоэи, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала $U=\frac{1}{2} \alpha r^{2}$, описывая движение в координатах $u$ и $v$, определяемых формулами $x=\operatorname{ch} u \cdot \cos v, y=\operatorname{sh} u \cdot \sin v$.
3. С помощью уравнения Гамильтона-Якоби и эллиптических координат описать движение заряженной частицы в поле, создаваемом двумя зарядами, закрепленными на конечном расстоянии друг от друга.
4. Воспользовавшись уравпением Гамильтона – Якоби, показать, что траектория частицы, движение которой описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{3}^{2}\right)\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{-1}+\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{-1},
\]
будет коническим сечением в плоскости $q_{1} q_{2}$.
5. Исходя из уравнения Гамильтона – Якоби, рассмотреть эффект Штарка в атоме водорода, используя параболические координаты. Разложить полученное решение в степенной ряд по напряженности электрического поля и сравнить с результатами, приведенными в §7.3.
6. В некоторой системе с двумя степенями свободы одним из интегралов движения является энергия $H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}, t\right)=h$, а другим $F\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=c$.
*) С,, например, Northrop and Teller, Phys. Rev. 117, 215 (1960).
Показать, что в этом случае существует функция $\psi\left(q_{1}, q_{2}, h, c\right)$, такая, что
\[
p_{i}=\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}, \quad p_{\mathrm{z}}=\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}},
\]
и что остающимися интегралами движения будут:
\[
\frac{\partial \psi}{\partial c}=\text { const, } \frac{\partial \psi}{\partial h}-t=\text { const. }
\]
Убедиться в том, что если
\[
H=q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}+a p_{1}^{2}-a p_{2}^{3},
\]
то имеет место также интеграл движения
\[
p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}-2 a p_{1} p_{2}=\text { const; }
\]
завершить полностью решение задачи.
7. Частица, масса которой равна $m$, а энергия $E$, движется в плоскости $x y$ в поле потенциала $U$. Пусть $w=\varphi+i \psi$-аналитическая функция комплексной переменной $z=x+i y$, такая, что
\[
\left|\frac{d w}{d z}\right|^{2}=2 m(E-U) .
\]
Показать, что полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби имеет вид:
\[
S=\varphi \cos \alpha_{1}+\psi \sin \alpha_{1}+\alpha_{2} .
\]
где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ – постоянные интегрирования.
Определить траектории частиц, идущих из бесконечности, где их энергия $E=0$, в потенциальное поле
\[
U=-\frac{\lambda^{2} O P^{2}}{A P^{2} \cdot B P^{2}},
\]
где $A, B, O$ и $P$-точки с координатами $(a, 0),(-a, 0),(0,0)$ и $(x, y)$, а $\lambda$-некоторая постоянная.
