Главная > OCHOBЫ ГАМИЛЬТОНОВОЙ MEXAНИКИ (Д. тep Xaap)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Вернемся к тем связям, которые возникли как предельные случаи потенциалов (2.102) и (2.104). Рассмотрим виртуальные перемещения частиц δxi. Под виртуальными перемещениями мы будем понимать такие перемещения частиц, которые не нарушают кинематических соотношений. Найдем работу, совершаемую силами Fi, когда частицы совершают виртуальные перемещения. Мы убедимся, что в двух разобранных случаях виртуальная работа, совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю.

В трехмерном случае (2.107) в систему входят две частицы, и две силы, действующие в системе, F1 и F2, равны по величине, противоположны по направлению (третий закон Ньютона!) и направлены вдоль прямой, соединяющей эти частицы. Следовательно,
F1=F2=a(x1x2),

где a — скалярная величина. Связ (2.106) в трехмерном случае принимает вид (2.108):
r122=(x1x2x1x2)=l2,

и виртуальные перемещения δx1 и δx2, не нарушающие уравнение связи (2.202), должны удовлетворять уравнению
(x1x2δx1δx2)=0.

Виртуальная работа δW, совершаемая силами связи, определяется как
δW=(F1δx1)+(F2δx2).

Используя выражения (2.201) и (2.203), мы получимı
δW=a(x1x2δx1)+a(x1x2δx2)==a(x1x2δx1δx2)=0,

откуда и вытекает доказательство нашего утверждения.
В другом случае мы записываем уравнение связи (2.112)

в виде:
(nx)=d,

где через n обозначен единичный вектор с направляющими косинусами α,β и γ. Сила, действующая со стороны связи F, направлена по нормали к плоскости (2.206), т. e.
F=kn,

где k-скаляр; виртуальное перемещение удовлетворяет условию
(nδx)=0.

Объединяя (2.207) и (2.208), мы находим виртуальную работу δW, совершаемую силой F :
δW=(Fδx)=k(nδx)=0,

что и доказывает наше утверждение и в этом случае.
Теперь мы просто определим механическую систему как такую систему, в которой виртуальная работа, совершаемая силами связи, равна нулю. Это и есть принцип Д’Аламбера: «Виртуальная работа, совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю в любой механической системе». В последующем мы будем рассматривать исключительно механические системы.

Здесь мы использовали принцип Д’Аламбера таким образом, что определили механические системы как такие системы, для которых этот принцип справедлив. Другими словами, мы определили механические системы как такие системы, в которых силы, действующие со стороны связеї, не могут совершать виртуальной работы. Можно, конечно, иначе ввести этот принцип (по существу этот другой способ очень мало отличается от того, что мы только что сделали), считая его просто гипотезой, которая оказывается фактически оправданной. Следует, конечно, помнить, что этот принцип теряет силу, как только мы хотим учесть влияние трения.
Принцип Д’Аламбера выражается уравнением
i(Fiδxi)=0

при условии, что δxi удовлетворяют p уравнениям
l(δxiablaiGl)=0,l=1,2,,p,

где Gl — функции, входящие в кинематические соотношения (2.113). Уравнения (2.211) определяют виртуальные перемещения, т. е. такие перемещения, при которых xi+δxi, так же как xi, удовлетворяют соотношениям (2.113).

Используя (2.210) и (2.211), мы можем теперь уже найти еще 3Np соотношений, которые вместе с (2.116) и (2.113) позволяют нам полностью определить движение всей системы частиц. Если никаких ограничений на зиачения δxl нет, уравнения (2.210) совместны только с уравнениями Fi=0. Это в свою очередь приводит к исходным уравнениям движения ( mix¨i=Fi ) для того случая, когда на систему не наложены никакие кинематіческие соотношения. Уравнения Fi=0 как раз и претставляют нам недостающие 3N соотношений. Если же на систему наложены кинематические соотношения, тогда не все δxi являются независимыми, но они обязаны удовлетворять (2.211). Тогда мы можем выбрать произвольно всего лишь 3Np компонент δxi из их общего числа 3N, а оставшиеся p компонент найдутся уже из (2.211). Можно попытаться исключить p этих компонент из (2.210), добавив к ним p уравнений (2.211), умножив каждое нэ них на должным образом подобранный множитель λt. Тогда мы должны получить:
i(δxiFi+lλlablalGl)=0.

Множители λl мы выберем таким образом, чтобы коэффициенты при первых p компонетгах δx, обратилиск в нуль:
Fi+iλiablaiGl=0.

Уравнения (2.213) справедливы для p комнонсни и позволяют определить все λt. Подставляя полученныс множители λt в (2.212), мы видим, что сумма по i, которая вначале подразумевала суммирование 3N слагаемых ( i= =1,2,,N и три слагаемых в каждом скалярном про. изведении), свстась уже к сумме 3Np слагаемих. Ho теперь уже остав!ииеся 3Np компонент δxi независил: и (2.212) могут удовлетворяться только в том случае, есіл все коэффиниенты при δxi обрацаются в нуль, т. е. есін (2.213) справедливо для остающихся 3Np компонент. Именно это уравнение и позволяет нам, в принципе, найти решение ичтересующих нас уравнений движения. У ис есть теперь 3N уравнений (2.116), р уравнений (2.113) п 3N уравнений (2.213) для 3N зачений xi, для 3N пачений Fi и p значеннй λl.

Изложенный метод называстся методом неопрсіслепных множителей или методом множптелей Јагранжа. Сеїчас мы выясним физический смысл множителей Лаг. ранжа λl.

Из (2.213) п (2.116) мы приходнм к ураенения.и донжения Лагранжа первого рода
mix¨i=Fil=1pλiriGi

совместно с p кннематическими соотношениями (2.113). Мы хотели бы, однако, подчеркнуть, что, говоря об уравнениях Лагранжа, практически всегда подразумевают не уравнения (2.214), а уравнения Лагранжа второго рода, о которых речь будет идти в следующем параграфе.

Из (2.213) непосредственно видно, что λl тесно связаны с силами, возникающими из-за наличия связей. Мы покажем это на нескольких простых примерах. Возможно, простейинм прилером будет паличие свлзи (2.206), которая ограничивает движенте частицы плоскостью. В этом стучае имеется всего лишь одно кинематическое соотношение и соответствнюая фупкция G дается уравнением
G(x)=(nx)d,

так что из (2.213) мы получаем:
F=λn

Мы обнаруживаем, что в этом случае 2 — это просто абсолютная геличина силы, обусловленной наличием связи.

Интересно отметить, что из (2.110) мы получаем для компоненты силы Fn, нормальной плоскости (2.112), в том случае, когда c имеет еще конечное значение:
Fn=m(x¨n)=c[(nx)d].

Множитель λ оказывается просто предельным зиачением выражения, стоящего в правой части (2.217).

Аналогичная ситуация возннкает и в машине Атвуда, состоящей из двух масс m1 и m2, связанных между собой невесомой нитью за-

Рис. 8. Машина Атеуг: данной длиы; нить перекинута через невесомый блок, вращающийся без трения (рис. 8). Запишем уравнение связи для этого случая:
G(z1,z2)z1+z2l=0.

Согласно (2.213) мы получнм сейчас:
F1=λ,F2=λ.

Уравнения же движения запишутся так:
m1z¨1=m1gλ,m2z¨2=m2gλ,

где g — ускорение силы тяжести. Из этих уравненнй видно, что λ-это просто натяжение нити. Решить уравнения движения можно с помощью (2.218), и мы найдем, что более тяжелая масса, скажем, m1, движется вниз с постоянным ускорением a, величнна которого определяется по формуле
a=m1m2m1+m2g,

а натяжение нити λ равно
λ=2m1m2m1+m2g.

Реяультат (2.221) интуитивно очевиден: «движущая» сила равна разности сил m1g и m2g, тогда как инерциальные свойства системы описываются суммой масс m1 и m2.

В качестве последнего примера мы рассмотрим двухатомную молекулу (гантель), центр инерции которой ограничен в своем движении плоскостью. Уравнений связи в этом случае уже два:
G1(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2l2=0,G2(m1x1+m2x2n)d=0.

Из (2.213) мы получим:
F1=2λ^1(x1x2)λ2m1n,F2=2λ1(x1x2)λ2m2n.

Из этих уравнений следует, что возникающие из-за наличия связи силы направлены вдоль оси молекулы. Силы эти пропорционалыны λ1 и подчиняются третьему закону Ньютона (действие равно противодействию). Возникают также силы связей, пропорциональные λ2. Если мы составим их результирующую, действующую на центр инерции молекулы, мы получим:
Fц. и. м. =λ2(m1+m2)n.

Это выражение полностью аналогично силе связи, определяемой согласно (2.216), но теперь уже оно относится к центру инерции молекулы, а не к отдельной частице.

Вернемся теперь к обсуждению общего случая. Объединив (2.210) и (2.116), мы можем придать принципу Д’Аламбера вид:
i(mix¨iFiδxi)=0,

где δxi удовлетворяют уравнениям (2.211). Рассмотрим теперь две возможные траектории системы. Это значит, что мы рассматриваем две траектории, для которых выполняются кинематические соотношения. Пусть, далее, одна
из этих траекторий, а именно xi(t), соответствует действительному движению системы. Вторая возможная траектория описывается уравнением xi(t)+δxi(t). Мы рассматриваем возможные траектории, достаточно близкие к действительной, и поэтому можем считать δxi(t) малыми величинами. Для вариаций δx˙i скоростей мы найдем:
δx˙i=ddt(xi+δxi)ddtxi=ddtδxi,

обнаружив при этом важную особенность варианионного исчисления: переставимость варьирования и дифференцирования. Если рассмотреть две траектории, проходимые в промежутке времени от t1 до t2, мы найдем из (2.226):
iit1i(mix¨iFiδxi)dt=0,

поскольку подинтегральное выраженне тождественно равно нулю в любой момент времени. С помощью (2.227), ннтегрируя первый член по частям, мы получим:
0=imi(x˙iδxi)t1t2i1t2[δT+i(Fiδxi)]dt,

где через T обозначена по.тная кинетическая энергия:
T=12imix˙i9.

Если же ограничиться системами, в которых силы Fi получаются из потенциальной энергии U,
Fi=ΓiU

так что
i(Fiδxi)=δU,

и такими варнациями δxi, что
δxi=0 при t=t1 и при t=tg,

то из (2.229),(2.232) и (2.233) мы получим:
t1t4(δTδU)dt=δt1t1(TU)dt=δt1t2Ldt=0,

где через L обозначена функция Лагранжа (или лагранжиан), определяемая согласно равенству
L=TU

Уравнение (2.234) носит название вариационного принципа Гамильтона; оно годится в том случае, когда концы траекторий остаются без изменений, т. е. не варьируются. Принцип Гамильтона эквивалентен как принципу Д’Аламбера, так и исходным ньютоновским уравнениям движения, если только траектории, по которым движутся частицы, удовлетворяют кинематическим соотношениям. Преимущество принципа Гамильтона над двумя вышеупомянутыми формулировками законов движения состоит в том, что он не зависит от выбора координат, с помощью которых описывается система.

1
Оглавление
email@scask.ru