Вернемся к тем связям, которые возникли как предельные случаи потенциалов (2.102) и (2.104). Рассмотрим виртуальные перемещения частиц $\delta \boldsymbol{x}_{i}$. Под виртуальными перемещениями мы будем понимать такие перемещения частиц, которые не нарушают кинематических соотношений. Найдем работу, совершаемую силами $F_{i}^{\prime}$, когда частицы совершают виртуальные перемещения. Мы убедимся, что в двух разобранных случаях виртуальная работа, совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю.

В трехмерном случае (2.107) в систему входят две частицы, и две силы, действующие в системе, $\boldsymbol{F}_{1}^{\prime}$ и $\boldsymbol{F}_{2}^{\prime}$, равны по величине, противоположны по направлению (третий закон Ньютона!) и направлены вдоль прямой, соединяющей эти частицы. Следовательно,
\[
F_{1}^{\prime}=-F_{2}^{\prime}=-a^{\prime}\left(x_{1}-x_{2}\right),
\]

где $a^{\prime}$ — скалярная величина. Связ (2.106) в трехмерном случае принимает вид (2.108):
\[
r_{12}^{2}=\left(x_{1}-x_{2} \cdot x_{1}-x_{2}\right)=l^{2},
\]

и виртуальные перемещения $\delta x_{1}$ и $\delta x_{2}$, не нарушающие уравнение связи (2.202), должны удовлетворять уравнению
\[
\left(x_{1}-x_{2} \cdot \delta x_{1}-\delta x_{2}\right)=0 .
\]

Виртуальная работа $\delta W$, совершаемая силами связи, определяется как
\[
\delta W=\left(F_{1}^{\prime} \cdot \delta x_{1}\right)+\left(F_{2}^{\prime} \cdot \delta x_{2}\right) .
\]

Используя выражения (2.201) и (2.203), мы получимı
\[
\begin{aligned}
\delta W=-a^{\prime}\left(x_{1}-\right. & \left.x_{2} \cdot \delta x_{1}\right)+a^{\prime}\left(x_{1}-x_{2} \cdot \delta x_{2}\right)= \\
& =-a^{\prime}\left(x_{1}-x_{2} \cdot \delta x_{1}-\delta x_{2}\right)=0,
\end{aligned}
\]

откуда и вытекает доказательство нашего утверждения.
В другом случае мы записываем уравнение связи (2.112)

в виде:
\[
(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{x})=d,
\]

где через $\boldsymbol{n}$ обозначен единичный вектор с направляющими косинусами $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Сила, действующая со стороны связи $\boldsymbol{F}^{\prime}$, направлена по нормали к плоскости (2.206), т. e.
\[
\boldsymbol{F}^{\prime}=k \boldsymbol{n},
\]

где $k$-скаляр; виртуальное перемещение удовлетворяет условию
\[
(\boldsymbol{n} \cdot \delta \boldsymbol{x})=0 .
\]

Объединяя (2.207) и (2.208), мы находим виртуальную работу $\delta W$, совершаемую силой $F^{\prime}$ :
\[
\delta W=\left(F^{\prime} \cdot \delta \boldsymbol{x}\right)=k(\boldsymbol{n} \cdot \delta \boldsymbol{x})=0,
\]

что и доказывает наше утверждение и в этом случае.
Теперь мы просто определим механическую систему как такую систему, в которой виртуальная работа, совершаемая силами связи, равна нулю. Это и есть принцип Д’Аламбера: «Виртуальная работа, совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю в любой механической системе». В последующем мы будем рассматривать исключительно механические системы.

Здесь мы использовали принцип Д’Аламбера таким образом, что определили механические системы как такие системы, для которых этот принцип справедлив. Другими словами, мы определили механические системы как такие системы, в которых силы, действующие со стороны связеї, не могут совершать виртуальной работы. Можно, конечно, иначе ввести этот принцип (по существу этот другой способ очень мало отличается от того, что мы только что сделали), считая его просто гипотезой, которая оказывается фактически оправданной. Следует, конечно, помнить, что этот принцип теряет силу, как только мы хотим учесть влияние трения.
Принцип Д’Аламбера выражается уравнением
\[
\sum_{i}\left(F_{i}^{\prime} \cdot \delta x_{i}\right)=0
\]

при условии, что $\delta x_{i}$ удовлетворяют $p$ уравнениям
\[
\sum_{l}\left(\delta x_{i} \cdot
abla_{i} G_{l}\right)=0, \quad l=1,2, \ldots, p,
\]

где $G_{l}$ — функции, входящие в кинематические соотношения (2.113). Уравнения (2.211) определяют виртуальные перемещения, т. е. такие перемещения, при которых $x_{i}+\delta x_{i}$, так же как $\boldsymbol{x}_{i}$, удовлетворяют соотношениям (2.113).

Используя (2.210) и (2.211), мы можем теперь уже найти еще $3 N-p$ соотношений, которые вместе с (2.116) и (2.113) позволяют нам полностью определить движение всей системы частиц. Если никаких ограничений на зиачения $\delta \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{l}}$ нет, уравнения (2.210) совместны только с уравнениями $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}=0$. Это в свою очередь приводит к исходным уравнениям движения ( $m_{i} \ddot{\boldsymbol{x}}_{i}=F_{i}$ ) для того случая, когда на систему не наложены никакие кинематіческие соотношения. Уравнения $F_{i}^{\prime}=0$ как раз и претставляют нам недостающие $3 N$ соотношений. Если же на систему наложены кинематические соотношения, тогда не все $\delta \boldsymbol{x}_{i}$ являются независимыми, но они обязаны удовлетворять (2.211). Тогда мы можем выбрать произвольно всего лишь $3 N-p$ компонент $\delta \boldsymbol{x}_{i}$ из их общего числа $3 N$, а оставшиеся $p$ компонент найдутся уже из (2.211). Можно попытаться исключить $p$ этих компонент из (2.210), добавив к ним $p$ уравнений (2.211), умножив каждое нэ них на должным образом подобранный множитель $\lambda_{t}$. Тогда мы должны получить:
\[
\sum_{i}\left(\delta x_{i} \cdot F_{i}^{\prime}+\sum_{l} \lambda_{l}
abla_{l} G_{l}\right)=0 .
\]

Множители $\lambda_{l}$ мы выберем таким образом, чтобы коэффициенты при первых $p$ компонетгах $\delta \boldsymbol{x}$, обратилиск в нуль:
\[
F_{i}^{\prime}+\sum_{i} \lambda_{i}
abla_{i} G_{l}=0 .
\]

Уравнения (2.213) справедливы для $p$ комнонсни и позволяют определить все $\lambda_{t}$. Подставляя полученныс множители $\lambda_{t}$ в (2.212), мы видим, что сумма по $i$, которая вначале подразумевала суммирование $3 N$ слагаемых ( $i=$ $=1,2, \ldots, N$ и три слагаемых в каждом скалярном про. изведении), свстась уже к сумме $3 N-p$ слагаемих. Ho теперь уже остав!ииеся $3 N-p$ компонент $\delta x_{i}$ независил: и (2.212) могут удовлетворяться только в том случае, есіл все коэффиниенты при $\delta \boldsymbol{x}_{i}$ обрацаются в нуль, т. е. есін (2.213) справедливо для остающихся $3 N-p$ компонент. Именно это уравнение и позволяет нам, в принципе, найти решение ичтересующих нас уравнений движения. У ис есть теперь $3 N$ уравнений (2.116), р уравнений (2.113) п $3 N$ уравнений (2.213) для $3 N$ зачений $x_{i}$, для $3 N$ пачений $F_{i}^{\prime}$ и $p$ значеннй $\lambda_{l}$.

Изложенный метод называстся методом неопрсіслепных множителей или методом множптелей Јагранжа. Сеїчас мы выясним физический смысл множителей Лаг. ранжа $\lambda_{l}$.

Из (2.213) п (2.116) мы приходнм к ураенения.и донжения Лагранжа первого рода
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=F_{i}-\sum_{l=1}^{p} \lambda_{i} r_{i} G_{i}
\]

совместно с $p$ кннематическими соотношениями (2.113). Мы хотели бы, однако, подчеркнуть, что, говоря об уравнениях Лагранжа, практически всегда подразумевают не уравнения (2.214), а уравнения Лагранжа второго рода, о которых речь будет идти в следующем параграфе.

Из (2.213) непосредственно видно, что $\lambda_{l}$ тесно связаны с силами, возникающими из-за наличия связей. Мы покажем это на нескольких простых примерах. Возможно, простейинм прилером будет паличие свлзи (2.206), которая ограничивает движенте частицы плоскостью. В этом стучае имеется всего лишь одно кинематическое соотношение и соответствнюая фупкция $G$ дается уравнением
\[
G(\boldsymbol{x})=(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{x})-d,
\]

так что из (2.213) мы получаем:
\[
F^{\prime}=-\lambda n \text {. }
\]

Мы обнаруживаем, что в этом случае 2 — это просто абсолютная геличина силы, обусловленной наличием связи.

Интересно отметить, что из (2.110) мы получаем для компоненты силы $F_{n}$, нормальной плоскости (2.112), в том случае, когда $c$ имеет еще конечное значение:
\[
F_{n}=m(\ddot{\boldsymbol{x}} \cdot \boldsymbol{n})=c[(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{x})-d] .
\]

Множитель $\lambda$ оказывается просто предельным зиачением выражения, стоящего в правой части (2.217).

Аналогичная ситуация возннкает и в машине Атвуда, состоящей из двух масс $m_{1}$ и $m_{2}$, связанных между собой невесомой нитью за-

Рис. 8. Машина Атеуг: данной длиы; нить перекинута через невесомый блок, вращающийся без трения (рис. 8). Запишем уравнение связи для этого случая:
\[
G\left(z_{1}, z_{2}\right) \equiv z_{1}+z_{2}-l=0 .
\]

Согласно (2.213) мы получнм сейчас:
\[
F_{1}^{\prime}=-\lambda, \quad F_{2}^{\prime}=-\lambda .
\]

Уравнения же движения запишутся так:
\[
m_{1} \ddot{z}_{1}=-m_{1} g-\lambda, \quad m_{2} \ddot{z}_{2}=-m_{2} g-\lambda,
\]

где $g$ — ускорение силы тяжести. Из этих уравненнй видно, что $\lambda$-это просто натяжение нити. Решить уравнения движения можно с помощью (2.218), и мы найдем, что более тяжелая масса, скажем, $m_{1}$, движется вниз с постоянным ускорением $a$, величнна которого определяется по формуле
\[
\boldsymbol{a}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g,
\]

а натяжение нити $\lambda$ равно
\[
-\lambda=\frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g .
\]

Реяультат (2.221) интуитивно очевиден: «движущая» сила равна разности сил $m_{1} g$ и $m_{2} g$, тогда как инерциальные свойства системы описываются суммой масс $m_{1}$ и $m_{2}$.

В качестве последнего примера мы рассмотрим двухатомную молекулу (гантель), центр инерции которой ограничен в своем движении плоскостью. Уравнений связи в этом случае уже два:
\[
\begin{array}{l}
G_{1} \equiv\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-l^{2}=0, \\
G_{2} \equiv\left(m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2} \cdot n\right)-d=0 .
\end{array}
\]

Из (2.213) мы получим:
\[
\begin{array}{l}
F_{1}^{\prime}=-2 \hat{\lambda}_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)-\lambda_{2} m_{1} n, \\
F_{2}^{\prime}=2 \lambda_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)-\lambda_{2} m_{2} n .
\end{array}
\]

Из этих уравнений следует, что возникающие из-за наличия связи силы направлены вдоль оси молекулы. Силы эти пропорционалыны $\lambda_{1}$ и подчиняются третьему закону Ньютона (действие равно противодействию). Возникают также силы связей, пропорциональные $\lambda_{2}$. Если мы составим их результирующую, действующую на центр инерции молекулы, мы получим:
\[
\boldsymbol{F}_{\text {ц. и. м. }}^{\prime}=-\lambda_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \boldsymbol{n} .
\]

Это выражение полностью аналогично силе связи, определяемой согласно (2.216), но теперь уже оно относится к центру инерции молекулы, а не к отдельной частице.

Вернемся теперь к обсуждению общего случая. Объединив (2.210) и (2.116), мы можем придать принципу Д’Аламбера вид:
\[
\sum_{i}\left(m_{i} \ddot{x}_{i}-F_{i} \cdot \delta x_{i}\right)=0,
\]

где $\delta \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ удовлетворяют уравнениям (2.211). Рассмотрим теперь две возможные траектории системы. Это значит, что мы рассматриваем две траектории, для которых выполняются кинематические соотношения. Пусть, далее, одна
из этих траекторий, а именно $x_{i}(t)$, соответствует действительному движению системы. Вторая возможная траектория описывается уравнением $\boldsymbol{x}_{i}(t)+\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}(t)$. Мы рассматриваем возможные траектории, достаточно близкие к действительной, и поэтому можем считать $\delta \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}(t)$ малыми величинами. Для вариаций $\delta \dot{x}_{i}$ скоростей мы найдем:
\[
\delta \dot{x}_{i}=\frac{d}{d t}\left(x_{i}+\delta x_{i}\right)-\frac{d}{d t} x_{i}=\frac{d}{d t} \delta x_{i},
\]

обнаружив при этом важную особенность варианионного исчисления: переставимость варьирования и дифференцирования. Если рассмотреть две траектории, проходимые в промежутке времени от $t_{1}$ до $t_{2}$, мы найдем из (2.226):
\[
\int_{i_{i}}^{t_{1}} \sum_{i}\left(m_{i} \ddot{x}_{i}-F_{i} \cdot \delta \boldsymbol{x}_{i}\right) d t=0,
\]

поскольку подинтегральное выраженне тождественно равно нулю в любой момент времени. С помощью (2.227), ннтегрируя первый член по частям, мы получим:
\[
0=\sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i} \cdot \delta x_{i}\right)_{t_{1}}^{\mid t_{2}}-\int_{i_{1}}^{t_{2}}\left[\delta T+\sum_{i}\left(F_{i} \cdot \delta x_{i}\right)\right] d t,
\]

где через $T$ обозначена по.тная кинетическая энергия:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\boldsymbol{x}}_{i}^{\mathrm{9}} .
\]

Если же ограничиться системами, в которых силы $F_{i}$ получаются из потенциальной энергии $U$,
\[
F_{i}=-\Gamma_{i} U
\]

так что
\[
\sum_{i}\left(F_{i} \cdot \delta \boldsymbol{x}_{i}\right)=-\delta U,
\]

и такими варнациями $\delta \boldsymbol{x}_{i}$, что
\[
\delta x_{i}=0 \text { при } t=t_{1} \text { и при } t=t_{\mathrm{g}},
\]

то из $(2.229),(2.232)$ и (2.233) мы получим:
\[
\int_{t_{1}}^{t_{4}}(\delta T-\delta U) d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{1}}\left(T-U^{\prime}\right) d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0,
\]

где через $L$ обозначена функция Лагранжа (или лагранжиан), определяемая согласно равенству
\[
L=T-U \text {. }
\]

Уравнение (2.234) носит название вариационного принципа Гамильтона; оно годится в том случае, когда концы траекторий остаются без изменений, т. е. не варьируются. Принцип Гамильтона эквивалентен как принципу Д’Аламбера, так и исходным ньютоновским уравнениям движения, если только траектории, по которым движутся частицы, удовлетворяют кинематическим соотношениям. Преимущество принципа Гамильтона над двумя вышеупомянутыми формулировками законов движения состоит в том, что он не зависит от выбора координат, с помощью которых описывается система.