В этом параграфе будет развнта последовательная теория получения решения гамильтоновских уравнений движения. Представим гамильтонин в вцде:
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1}+\lambda_{2}^{2} H_{2}+\ldots
\]

Обычно в правой части (7.201) стоит всего лишь один член, кроме $H_{0}$, как, например, во всех случаях, разбираемых в этой главе, тем не менее мы допускаем возможность наличия членов высшего порядка, что символически отмечено включением члена $\lambda^{2} H_{2}$.

Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных действие-угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона – Якоби с разделяющимися переменными (см. §6.2). В целях простоты ограничимся здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы. Переменные действие – угол, соответствующие невозмущенной системе с гамильтонианом $H_{0}$, обозначим через $J_{0}$ и $w_{0}$. Уравнения движения решаются методом Гамильтона – Якоби, а функция Гамильтона – Якоби ищется в виде степенного ряда по параметру $\lambda$,
\[
S=S_{0}+\lambda S_{1}+\lambda^{2} S_{2}+\ldots
\]

Эта функция Гамильтона – Якоби порождает преобразование от невозмущенных $w_{0}$ и $J_{0} \mathrm{~K}$ возмущенным переменным $\boldsymbol{\text { и }} J$, определяемое уравнениями:
\[
J_{0}=\frac{\partial S}{\partial w_{0}}, w=\frac{\partial S}{\partial J}, S=S\left(w_{0} J\right) .
\]

Исходная координата $q$ – известная функция $w_{0}$ и $J_{0}$, так как мы предполагаем, что невозмущенная задача может быть решена путем введения переменных действие – угол. Если параметр $\lambda \rightarrow 0$, мы возвращаемся к невозмущенной задаче, так что $S_{0}$ должно соответствовать тождественному преобразованию; следовательно, эта функция должна быть вида [ср. (5.224)]
\[
S_{0}=w_{0} J .
\]

Тогда из соотношений (7.203) мы получим:
\[
\begin{aligned}
J_{0} & =J+\lambda \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}+\lambda^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{0}}+\ldots, \\
\omega & =w_{0}+\lambda \frac{\partial S_{i}}{\partial J}+\lambda^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial J}+\ldots
\end{aligned}
\]

Функции $S_{1}, S_{2}, \ldots$ зависят от $w_{0}$ и $J$, но можно воспользоваться (7.205), чтобы найти $J_{0}$ и $w_{0}$ в виде степенных рядов по $\lambda$, причем каждый из членов ряда зависит от $\omega$ и $J$ :
\[
\begin{array}{l}
J_{0}=J+\lambda\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}\right)_{w_{0}=w}+\lambda^{2}\left[\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial w_{0}}\right)_{w_{0}=w}-\left(\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial w_{0}^{3}} \frac{\partial S_{1}}{\partial J}\right)_{w_{0}=w}\right]+\ldots ; \\
w_{0}=w-\lambda\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial J}\right)_{w_{0}=w}+\lambda^{2}\left[-\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial J}\right)_{w_{0}=w}+\right. \\
\left.+\left(\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial J \partial w_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial J}\right)_{w_{0}=w}\right]+\ldots
\end{array}
\]

Когда мы приступали к решению задачи, $H_{0}, H_{1}$, $H_{2}, \ldots$ были функциями $p$ и $q$, но уже после первого преобразования Гамильтона – Якоби, благодаря которому были введены переменные $w_{0}$ и $J_{0}$ и одновременно решалась невозмущенная задача, мы получаем:
\[
H=H_{0}\left(J_{0}\right)+\lambda H_{1}\left(w_{0}, J_{0}\right)+\lambda^{2} H_{2}\left(w_{0}, J_{0}\right)+\ldots
\]

Новое уравнение Гамильтона – Якоби, которое следует решать для нахождения функции $\mathcal{S}$, имеет вид:
\[
H_{0}\left(\frac{\partial S}{\partial w_{0}}\right)+\lambda H_{1}\left(w_{0}, \frac{\partial S}{\partial w_{0}}\right)+\lambda^{2} H_{2}\left(w_{0}, \frac{\partial S}{\partial w_{0}}\right)+\ldots=E(J) .
\]

Представляя $S$ в виде ряда (7.202), раскладывая энергию $E(J)$ в ряд по степеням $\lambda$,
\[
E(J)=E_{0}(J)+\lambda E_{1}(J)+\lambda^{2} E_{2}(J)+\ldots,
\]

принимая во внимание (7.204), (7.205), мы получим из (7.209):
\[
\begin{array}{c}
H_{0}(J)+\lambda \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}+\lambda^{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{0}}+\frac{1}{2} \lambda^{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{0}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}\right)^{2}+\ldots \\
\ldots+\lambda H_{1}\left(w_{0}, J\right)+\lambda^{2} \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}+\ldots+\lambda^{2} H_{2}\left(w_{0}, J\right)+\ldots= \\
=E_{0}(J)+\lambda E_{1}(J)+\lambda^{2} E_{2}(J)+\ldots
\end{array}
\]

Собирая все члены, соответствующие одной и той же степени $\lambda$, имеем:
\[
\begin{array}{c}
H_{0}(J)=E_{0}(J), \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}+H_{1}\left(w_{0}, J\right)=E_{1}(J) \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{\mathbf{2}}}{\partial w_{0}}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{0}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}\right)^{2}+ \\
+\frac{\partial H_{1}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}+H_{2}\left(w_{0}, J\right)=E_{2}(J), \ldots
\end{array}
\]

У равнение (7.213) определяет $S_{1}$ и $E_{1}$, уравнение (7.214) $-S_{2}$ и $E_{2}$, и т. д. Чтобы показать, как это практически делается, вспомним, что $p$ и $q$ являются периодическими функциями от $w_{0}$ с периодом, равным единице (см. §6.2). Это остается в силе и сейчас, хотя переменная $w_{0}$ уже не будет линейной функцией времени. Поскольку $p$ и $q$ периодичны относительно $w_{0}$, то же самое относится и к $H_{1}, H_{2}, \ldots$ Поэтому все эти величины можно разложить в ряды Фурье:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\sum_{n} H_{n}^{(1,}\left(J_{0}\right) \exp \left(2 \pi i n w_{0}\right), \\
H_{2}=\sum_{n} H_{n}^{\prime \prime \prime}\left(J_{0}\right) \exp \left(2 \pi i n w_{0}\right), \ldots
\end{array}
\]

Удобно также разложить в ряд Фурье и величины $S_{1}$, $S_{2}, \ldots$ :
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=\sum_{n} S_{n}^{1}(J) \exp \left(2 \pi i n w_{0}\right), \\
S_{2}=\sum_{n} S_{n}^{(2)}(J) \exp \left(2 \pi i n w_{0}\right), \ldots
\end{array}
\]

Из (7.217) и (7.218) вытекает, что в рядах Фурье для $\partial S_{1} / \partial w_{0}$ и $\partial S_{2} / \partial w_{0}$ нет членов с $n=0$ и что, следовательно, средние за период от $\partial S_{1} / \partial w_{0}$ и $\partial S_{2} / \partial w_{0}$ равны нулю. С другой стороны, если вычислять среднее за пєриод от $H_{1}, H_{2}, \ldots$ или их производных по $J_{0}$, то там окажется член, соответствующий $n=0$. Поэтому, если вычислять среднее от уравнений (7.213) и (7.214) за период (это среднее мы обозначаем чертой над соответствующими величинами), мы получим:
\[
\begin{array}{l}
E_{1}(J)=\breve{H}_{1}, \\
E_{2}(J)=\bar{H}_{2}+\frac{1}{2} \overline{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{0}^{2}}\left(\frac{\partial \mathcal{S}_{1}}{\partial w_{0}}\right)^{2}}+\overline{\frac{\partial H_{1}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}}, \ldots \\
\end{array}
\]

Обратим внимание на то, что хотя $\overline{\partial S_{1} / \partial \tilde{w}_{0}}=0$, два последних члена в правой части уравнения (7.220) вовсе не обязательно обращаются в нуль. Уравнения (7.219) и (7.220) определяют $E_{1}$ и $E_{2}$.
Если произвольную функцию $G$ от $w_{0}$ записать в внде
\[
\hat{G}=G-\bar{G},
\]
т. е. обозначить волнистой чертой чисто периодическую часть функции от $w_{0}$, мы получим из (7.213), (7.214),

(7.219) и (7.220) следуюшие уравнения, из которых мы можем найти $S_{1}$ и $S_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S_{1}}{\partial \omega_{0}}=\frac{-H_{1}(\hat{J})}{v}, \\
\frac{\partial S_{2}}{\partial w_{0}}=\frac{1}{v}\left[-\hat{H}_{2}-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \tilde{H}_{0}}{\partial J_{0}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{0}}\right)^{\hat{2}}-\frac{\partial \hat{H}_{1}}{\partial J_{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{1}^{\prime}}\right],
\end{array}
\]

где мы положили [ср. (7.212) и (6.211)]
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{11}}=v \text {. }
\]

Можно выразить $S_{1}$ и $S_{2}$ через коэффициенты Фурье $H_{n}^{(1)}$ и $H_{n}^{21}$ разложений (7.215) и (7.216), но мы не станем здесь этого делать.

Прежде чем переходить к обобщению теории на многомерные системы, мы применим только что изложенную одномерную теорию к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Переходя к ангармоническому осциллятору, прежде всего следует вспомнить решенне Гамильтона- Якоби для невозмущенной задачи. Из (7.136) видно, что координата $q$, выраженная через переменные $\varkappa_{0}$ и $J_{0}$, определяется равенством
\[
q=\left(J_{0} / \pi m \omega\right)^{2} / \sin 2 \pi w_{0} .
\]

Гамильтониан, выраженный через $\mathfrak{w}_{\eta}$ и $J_{0}$, примет вид:
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1},
\]

где
\[
H_{0}=v J_{0}, \quad H_{1}=\left(J_{0} / \pi m \omega\right)^{3 / *} \sin ^{3} 2 \pi \omega_{n},
\]

а $v$-величина, определяемая согласно (7.133), т. е. равенством $v=\omega / 2 \pi$ [ср. также (7.224)].
Из (7.219) и (7.222) получаем:
\[
\begin{array}{c}
E_{1}=0, \\
\frac{\partial S_{1}}{\partial \pi r_{0}}=-\frac{1}{v}\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{1 / t} \sin ^{3} 2 \pi w_{0},
\end{array}
\]

или же
\[
S_{1}=\frac{1}{2 \pi
u}\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{1 / 6}\left[\frac{3}{4} \cos 2 \pi \omega_{0}-\frac{1}{12} \cos 6 \pi \dot{\varkappa}_{0}^{1}\right],
\]

откуда мы имеем с точностью до членов, линейных по $\lambda$ :
\[
q=\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{1 / 4} \sin 2 \pi w-\frac{\lambda}{2 m \omega^{2}} \frac{J}{\pi m \omega}(3+\cos 4 \pi \omega)
\]

в соответствин с выражением (7.136).
ins

Из (7.220) мы получим теперь!
\[
E_{\mathrm{\Omega}}=-\frac{15 \mathrm{~J}^{2}}{16 \pi^{2} \mathrm{~m}^{3} \omega^{4}}
\]

в соответствии с выражением (7.133).
С помощью (7.223) можно найти $\partial S_{8} / \partial w_{0}$ и, следовательно, $S_{2}$. В результате получим:
\[
S_{2}=\frac{3 J^{2}}{4 \pi^{3} m^{3} \omega^{4}}\left[-\frac{15}{32} \sin 4 \pi \omega_{0}+\frac{3}{32} \sin 8 \pi \omega_{0}-\frac{1}{96} \sin 12 \pi \omega_{0}\right] .
\]

После утомительных вычислений можно найти выражения для $J_{0}, w_{0}$ и $q$ с точностью до $\lambda^{2}$, выраженные через $J$ и $w:$
\[
\begin{array}{l}
J_{0}=J+\frac{\lambda}{v}\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{0 / 4}\left(\frac{1}{4} \sin 6 \pi \omega-\frac{3}{4} \sin 2 \pi \omega\right)+ \\
+\frac{3 \lambda^{2} J^{2}}{2 v^{2}(\pi m \omega)^{3}}\left(-\frac{1}{8} \cos 8 \pi \omega-\frac{1}{2} \cos 4 \pi \omega+\frac{5}{16}\right)+\ldots,(7.233) \\
\omega_{0}=w+\frac{3 \lambda}{2 \omega J}\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{1 / 4}\left(\frac{1}{12} \cos 6 \pi \omega-\frac{8}{4} \cos 2 \pi \omega\right)+ \\
+\frac{3 \lambda^{2} J}{2 v \omega(\pi m \omega)^{3}}\left(\frac{9}{64} \sin 4 \pi \omega+\frac{3}{32} \sin 8 \pi \omega-\frac{1}{192} \sin 12 \pi \omega\right)+\ldots, \\
q=\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{1 / 2} \sin 2 \pi \omega-\frac{\lambda}{2 m \omega} \frac{J}{\pi m \omega}(3+\cos 4 \pi \omega)+ \\
+\frac{\lambda^{2}}{m^{2} \omega^{4}}\left(\frac{J}{\pi m \omega}\right)^{2 / 2}\left(-\frac{3}{16} \sin 6 \pi \omega+\frac{11}{8} \sin 2 \pi \omega\right)+\ldots
\end{array}
\]

Отметим, что, отвлекаясь от неограниченно возрастающего члена, выражение $q^{(2)}$, определяемое согласно (7.117), совпадает с коэффициентом при $\lambda^{2}$ в выражении (7.235), если считать $\alpha=11 / 8$. Стоит подчеркнуть, что каноническая теория возмущений быстро приводит к результату, если нужно получить добавок к энергии, но она же требует весьма утомительных вычислений, если требуется найти изменение координат. Однако она в обоих случаях работает быстрее, чем второй метод, изложенный в предыдущем параграфе. Следует помнить, что окончательное выражение для энергии оказывается зависящим только от $J$, так что w будет линейной функцией времени.

В заключение этого параграфа мы коротко рассмотрим случай задачи с многими степенями свободы, оставив, однако, то ограничение, что невозмущенная задача допускает решение методом разделения переменных, если ввести переменные действие – угол; другими словами, мы рас-
\[
7 *
\]

сматриваем многократно периодические системы. Пусть w’ н $J_{k}(k=1,2, \ldots, s ; s$ – число степеней свободы $)$ будут переменными действие-угол для невозмущенной системы. Все координаты $q_{k}$ будут периодическими функциями $w_{k}$, точно так же как и $H_{1}, H_{2}, \ldots$ в (7.201). Tеперь мы повсюду используем разложение в ряды Фурье, о котором шла речь в начале этого параграфа, и по аналогии с (7.215) и (7.216) запишем:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\sum_{n_{1}, n_{2}, \ldots} H_{n_{1}, n_{2}, \ldots}^{(1}\left(J_{1}^{0 !}, \ldots\right) \exp 2 \pi i \sum_{k} n_{k} w_{k}^{\prime 0 !}, \\
H_{2}=\sum_{n_{1}, n_{2}, \ldots} H_{n_{1}, n_{2}, \ldots}^{2 !}\left(J_{1}^{0 \prime}, \ldots\right) \exp 2 \pi i \sum_{k} n_{k} w_{k}^{\prime 0 !},
\end{array}
\]

где разложение Фурье ведется уже по всем переменным.
Будем искать $S_{1}, S_{2}, \ldots$ в виде рядов Фурье:
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=\sum_{n_{1}, n_{2}, \ldots} S_{n_{1}, n_{2}, \ldots}^{1_{2}, \ldots}\left(J_{1}, \ldots\right) \exp 2 \pi i \sum_{k} n_{k} w_{k}^{(0)}, \\
S_{2}=\sum_{n_{1}, n_{2}, \ldots} S_{n_{1}, n_{2}}^{2 .}, \ldots\left(J_{1}, \ldots\right) \exp 2 \pi i \sum_{k} n_{k} w_{k}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Вместо (7.213) мы получим теперь:
\[
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}^{\prime \prime \prime}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{(j)}}+H_{1}\left(w_{k}^{\prime n !}, J_{k}\right)=E_{1}\left(J_{k}\right)
\]

и аналогичное соотношение для $E_{2}$. Отмечая теперь усредвеличиной, т. е.
\[
\overline{\mathrm{G}}=\int_{0}^{1} \ldots \int_{0}^{1} d w_{1}^{(0)} \ldots d w_{s}^{(0)} G,
\]

мы найдем из (7.240):
\[
E_{1}=\bar{H}_{1}=H_{00}^{1} \ldots .
\]

Тогда уже можно разрашить (7.240) относитетьно $S_{1}$, и мы найдем:
\[
S_{n_{1}, n_{2}}^{(1, \ldots}=\frac{-H_{n_{1}, n_{2}, \ldots}^{(1)},}{2 \pi i \sum_{k} n_{k} v_{k}^{\prime \prime}},
\]

где
\[
v_{k}^{(0)}=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}^{0,}} .
\]

Члены более высокого порядка в выражении для $S$ могут быть получены аналогичным путем. Из выражения

(7.243) видно, что нас ждут неприятности, если для полученного набора чисел $v_{k}^{\prime 0}$ можно подобрать такую совокупность целых чисел $n_{1}, \ldots, n_{s}$, не обращающихся одновременно в нуль, что удовлетворяется равенство
\[
\sum_{k} n_{k} v_{k}^{\prime \prime}=0 .
\]

Такой случай называется случаем вырождения системы. Если исключить этот случсй, можно еще найти такую комбинацию $n_{k}$, что сумма $\sum n_{k} v_{k}^{\prime \prime}$ будет сколь угодно малой. Это приводит к тому, что практически для всех возмущений $H_{1}$ ряды Фурье (7.238) и (7.239) расходятся, как это было показано IІуанкаре. Однако эти ряды являются полусходящимися, т. е., подходящим образом оборванные, эти ряды с высокой степенью точности могут предсказывать поведение системы в течение достаточно большого, но не произвольно большого периода времени.

Найдя $S^{\prime \prime}$ (кроме $S_{00}^{1 .} \ldots$, которое можно положить равным нулю) и, следовательно, из уравнений типа (7.206) и (7.207) новые переменные действие – угол, можно выразить координаты через новые переменные и тем самым предсказать поведение системы.

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные $w_{k}^{\prime \prime}$ и $J_{k}^{* !}$, которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из $p_{k}$ и $q_{k}$ каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые $v_{k}^{\prime \prime}$ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что $v_{1}=v_{2}=v_{3}$. В этом случае можно вместо величин $J$, определяемых соотношениями (6.224) (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на $2 \pi$ величины $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$, введенные нами в $\S 6.1$. Если обозначить умноженные на $2 \pi$ величины $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$ через $J_{1}^{\prime \prime}, J_{2}^{0}$ и $J_{3}^{0,}$, а канонически сопряженные переменные – через $w_{1}^{\prime \prime}$, $w_{2}^{\prime \prime}$ и $w_{3}^{\prime \prime}$, то мы придем к невозмущенной системе, для которой
\[
H_{0}=H_{0}\left(J_{1}^{0}\right)
\]

и для которой (невозмущенными) уравнениями движения будут
\[
\begin{array}{l}
J_{1}^{(0)}=0, \quad j_{9}^{(0)}=0, \quad J_{3}^{01}=0, \\
\dot{w}_{1}^{(0)}=v_{1}^{(0)}, \dot{\omega}_{9}^{\prime 0)}=0, \quad \dot{\omega}_{3}^{(0)}=0, \\
\end{array}
\]

где $v_{1}^{0}$ определяется согласно (7.244).
Если обратиться теперь к возмущенному гамильтониану
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1},
\]

то из него следуют уравнения движения:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\omega}_{1}^{\prime 0)}=v_{1}^{(0)}+\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{1}^{(0)}}, \quad j_{1}^{0 j}=-\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial w_{1}^{(0)}}, \\
\dot{w}_{q}^{(0)}=\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{2}^{(0)}}, \quad J_{q}^{\prime 0)}=-\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial w_{8}^{(0)}}, \\
w_{8}^{(0)}=\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{i}^{(0,}}, \quad j_{8}^{\prime \prime}=-\lambda \frac{\partial H_{1}}{\partial w_{8}^{(0)}} . \\
\end{array}
\]

Мы еще раз воспользуемся рядом Фурье и запишем $H_{1}$ в виде:
\[
H_{1}=\sum_{n_{1}, n_{1}, n_{s}=-\infty}^{+\infty} H_{n_{1}, n_{1}, n_{1}}^{i_{1},}\left(J_{l}^{\prime}\right) \exp 2 \pi i \sum_{k=1}^{s} n_{k} w_{k}^{\prime 01} .
\]

Отметив штрихом сумму по $n_{1}$, не включающую в себя член с $n_{1}=0$, мы запишем (7.250) в виде:
\[
H_{1}=F\left(J^{(0)} ; \omega_{9}^{(0)}, \omega_{8}^{(0)}\right)+G\left(J_{l}^{(0)} ; \omega_{1}^{(0)}, \omega_{8}^{(0)}, \omega_{3}^{\prime 0}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F=\sum_{n_{\mathbf{3}}, n_{3}} H_{0 n_{\mathbf{3}} n_{2}}^{(1)} \exp 2 \pi i\left(n_{2} w_{\mathbf{9}}^{(0)}+n_{8} w_{3}^{(0)}\right), \\
O=\sum_{n_{1}}^{\prime} \sum_{n_{1}, n_{4}} H_{n_{1} n_{3} n_{4}}^{(1)} \exp 2 \pi i\left(n_{1} w_{1}^{(0)}+n_{2} w_{9}^{\prime 0}+n_{3} w_{3}^{\prime 0}\right) . \\
\end{array}
\]

Теперь мы приступаем к решению уравнений движения методом последовательных приближений. Это овначает, что мы можем подставить в $H_{1}$ решения невозмущенных уравнений движения (7.247). Этими решениями будут: $w_{2}^{(0)}, w_{3}^{(0)}, J_{1}^{(0)}, J_{2}^{(0)}$ и $J_{3}^{\prime 0}$ – все постоянны, а $w_{1}^{(0)}-$ линейная функция времени. Таким образом, из (7.251) видно, что функция $F$ не зависит от времени вооще, а функция $G$ является периодической функцией времени. Фактически функция $F$-ято просто среднее по времени от $H_{1}$. Теперь заимемся возмущенными уравнениями движения, например, уравнением для $J_{9}^{0}$. Это уравнение может быть записано в видет
\[
j_{\mathrm{s}}^{(0)}=-\lambda \frac{\partial F}{\partial \omega_{\mathrm{Q}}^{(0)}}-\lambda \frac{\partial Q}{\partial w_{\mathrm{s}}^{(0)}} .
\]

Интегрируя его, мы получим:

Мы нашли две поправки к $J_{9}^{(0)}$ ! первая из них, связанная с $G$, является периодической и всегда остается ограниченной; однако вторая из них, обусловленная функцией $F$, представляет собой секулярный член, который линейно растет с течением времени. Решение (7.254) оказывается, таким образом, пригодным только для достаточно малого промежутка времени.

Аналогичная ситуация возникает также и для всех других переменных кроме переменной $J^{0}$, , поскольку $\partial F / \partial w_{1}^{(0)}=0$. Мы не станем обсуждать здесь вопрос о том, как нужно вести себя с системами, где есть и секулярные, и периодические возмущения, но мы должны указать, что, в противоположность квантовой механике, где сравнительно легко удается отделаться от секулярных членов, в классической механике это сделать совсем не просто. Дальнейшие подробности, касающиеся этого вопроса, можно найти в литературе, приведенной в конце книги.