Мы доказали в гл. 2, что принцип Д’Аламбера может быть выражен в форме (2.229), которая, если воспользоваться (2.232), эквивалентна выражению
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta(T-U) d t=\left[\sum_{i} m_{i}\left(\dot{\boldsymbol{x}}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{x}_{i}\right)\right]_{t_{1}}^{t_{2}} ;
\]

в (5.401) $\delta x_{i}$ – любые вариации $x_{i}$, совместимые с кинематическими соотношениями. Для того круга вопросов, к которому мы переходим, очень существенно подчеркнуть, что при выводе (5.401) рассматривались такие вариации, при которых время не варьировалось. Другими словами, сравнивались точки на исходной и новой траекториях в одни и те же моменты времени (точки $A_{n}$ и $B_{n}$ на рис. 25).

В гл. 2 мы убедились также в том, что если сравниваются две допустимые траектории при условии $\delta x_{i}=0$ как при $t=t_{1}$, так и при $t=t_{2}$, уравнение (5.401) эквивалентно соотношению
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta L d t=0
\]
– выражению, из которого совершенно непосредственно вытекают уравнения Лагранжа (2.308).

Теперь мы рассмотрим вариации орбит иного типа, а именно такие, когда сравниваются $x_{i}$ в момент $t$ с $x_{i}+\Delta x_{i}$ в момент $t+\Delta t$ (точки $A_{n}$ и $C_{n}$ на рис. 25). На рис. $25 A_{1}, A_{2}, \ldots$ – точки исходной траектории, ксюорые проходятся соответственно в моменты времени $t_{1}$, $t_{2}, \ldots ; B_{\mathbf{1}}, B_{2}, \ldots$ – точки на новой траектории, которые проходятся в те же самые моменты времени $t_{1}, t_{2}, \ldots$; $C_{1}, C_{2}, \ldots$ – точки на новой траектории, которые проходятся в варьированные моменты времени $t_{1}+\Delta t_{1}, t_{2}+\Delta t_{2}, \ldots$ Каждой точке $A_{n}$ исходной траектории сопоставляется точка $B_{n}$ в тот же самый момент времени на новой траектории на равных правах с точкой $C_{n}$ в варьированное время на новой траектории, так что можно записать:

Рис. 25. Вариация траекторнй.
\[
\begin{array}{l}
x_{i B}=x_{i A}+\delta x_{i}, \\
x_{i C}=x_{i A}+\Delta x_{i},
\end{array}
\]

где $\delta x_{i}$ и $\Delta x_{i}$ связаны соотношением
\[
\Delta x_{i}=\delta x_{i}+\dot{x}_{i} \Delta t .
\]

Уравнения (5.402) были получены для $A \rightarrow B$-вариации. Если нас интересует вариационный принцип для $A \rightarrow C$ вариации, нам следует принять во внимание, что теперь уже нужно варьировать также и пределы интегрирования.

Прежде всего мы определим интеграл действия уравнением
\[
I=\int_{t_{1}}^{t_{4}} 2 T d t .
\]

Его вариация запишется следующим образом!
\[
\begin{aligned}
\delta I=\delta \int_{t_{\alpha}}^{t_{1}} 2 T d t= & \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta(2 T) d t+\left.2 T \delta t\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}= \\
& =\int_{t_{4}}^{t_{2}} \delta(T+U) d t+\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta(T-U) d t+\left.2 T \Delta t\right|_{t_{1}} ^{t_{t_{1}},},
\end{aligned}
\]

или же
\[
\delta I=\int_{t_{1}}^{t_{1}} \delta E d t+\left.\sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i} \cdot \Delta x_{i}\right)\right|_{t_{1}} ^{t_{2}},
\]

где были использованы (5.401) и (5.404) и тот факт, что $\delta t \equiv \Delta t$; кроме того, мы применили основную формулу варьирования интеграла:
\[
\delta \int_{i}^{q} f(x) d x=\int_{p}^{q} \delta f d x+f(q) \delta q-f(p) \delta p .
\]

Причина, по которой мы можем воспользоваться (5.401) с $\delta \boldsymbol{x}_{i}$ (а не с $\Delta \boldsymbol{x}_{i}$ ), состоит в том, что вариация времени учтена в выражении $2 T \Delta t$ для двух граничных точек; иными словами: сначала сразниваются те части исходной и новой траекторий, для которых $t$ пробегает один и тот же интервал, а затем уже рассматривается вклад от сегментов на двух концах траекторий.

Первый вывод, следующий из (5.406), относится к случаю двух периодических орбит, каждая из которых является допустимой орбитой; это означает, что полная энергия $E$ является интегралом движения и, следовательно, не варьируется на траектории. Если обозначить через $\tau$ период движения по орбите, мы получим:
\[
\delta I=\int_{t_{1}}^{t_{1}+\tau} \delta E d t+\left.\sum_{l} m_{i}\left(\dot{x}_{i} \cdot \Delta x_{i}\right)\right|_{t_{1}} ^{t_{1}+\tau}=\delta E \int_{t_{i}}^{t_{1}+\tau} d t=\tau \delta E,
\]

или же
\[
\tau=\frac{\partial l}{\partial \bar{E}},
\]

где через $I$ обозначен интеграл действия, распространенный на полную орбиту. Проинтегрированный член обращается в нуль, поскольку мы имеем дело с двумя периодическими орбитами, так что выражения на верхнем и нижнем пределах оказываются равными.

Соотношение (5.409) представляет интерес даже в одномерном случае, когда можно вместо $2 T$ написать $p \dot{q}$ [ср. (2.302) и (2.310)], так что для $I$ мы получим:
\[
I=\int_{t_{3}}^{i_{1}+\tau} p \dot{q} d t=\int_{t_{s}}^{t_{1}+\tau} p d q=\oint p d q,
\]

где знак $\oint$ указывает на интегрирование по полному перноду. Согласно старой квантовой теории интеграл в правой части (5.410) должен быть проквантован; его нужно считать равным $n h$ ( $h$ – постоянная Гланка). Тогда
\[
I=n h,
\]

и если мы применим (5.408) к конечным изменениям $I$ и $E$, т. е. к $\Delta I$ н $\Delta E$, мы получим:
\[
\Delta I=h \quad \text { и } E=h \omega,
\]

где
\[
\omega=1 / \tau \text {. }
\]

Здесь нужно сослаться также на обсуждение вопроса o переменных действие – угол, которое можно найти B $\S 6.2$.

Второй случай, когда использование (5.406) оказывается удобным, возникает тогда, когда сравниваются две траектории, соответствующие одной и той же энергии $(\delta E=0)$, обладающие одной и той же начальной и конеч. ной точками $\left[\Delta \boldsymbol{x}_{i}=0, t=t_{1}\right.$ или $t=t_{2}$; обратите внимание на то, что две эти конечные точки достигаются вовсе не в одно и то же время на исходной и новой траекториях: сравните рассуждения, связанные с формулой (5.406)]. В этом случае мы приходим к принципу наименьшего действия:
$\delta I=0$, если $\delta E=0 \quad$ и $\quad \Delta x_{i}=0$ дия $\quad t=t_{1} \quad$ и $\quad t=t_{2}$. $(5.414)$
Мы пришли к выводу, что если сравнить две чуть-чуть отличающиеся траектории с теми же самыми конечными точками, то возникают две возможности:
(I) если время не варьируется, то
\[
\delta \int L d t=0 ;
\]
(II) если энергия не варьируется, то
\[
\delta \int 2 T d t=0 .
\]

Мы уже видели, как получаютея уравнения Лагранжа из первого вариационного принципа; сейчас мы обнаружим связь между вторым вариационным принципом и каноническими уравнениями движения.

Для выявления этой связи мы покажем, что канонические уравнения движения эквивалентны вариационному принципу:
\[
\delta \int_{1}^{2} \sum_{k} p_{k} d q_{k}=0\left(\delta q_{k}=0, \delta p_{k}=0 \text { в конечных точках }\right),
\]

прн условии
\[
\delta H=0 \text { в любой точке траектории. }
\]

Отличие от принципа наименьшего действия состоит сейчас в том, что рассматриваются такие вариации, при которых все $2 s$ переменных $p_{k}, q_{k}$ являются независимыми.

Допустим, что можно ввести параметр $u$, определяющий положение точки на траектории, так что $\delta q_{k}$ и $\delta p_{k}$ окажутся функциями $u$. Вариацию (5.415) можно будет записать тогда в виде:
\[
\begin{aligned}
\delta \int \sum_{k} p_{k} d q_{k} & =\int\left(\sum_{k} \delta p_{k} d q_{k}+\sum_{k} p_{k} \delta d q_{k}\right)= \\
& =\int \sum_{k}\left(\delta p_{k} d q_{k}-\delta q_{k} d p_{k}\right)+\left.p_{k} \delta q_{k}\right|_{1} ^{2}= \\
& =\int \sum_{k}\left(\delta p_{k} \frac{d q_{k}}{d u}-\delta q_{k} \frac{d p_{k}}{d u}\right) d u .
\end{aligned}
\]

Вариацию (5.416) можно переписать так:
\[
\sum_{k}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \delta p_{k}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \delta q_{k}\right)=0,
\]

причем полученное соотноиение справедливо в любой точке траектории, другими словами, для любого значення $u$. Воспользовавшись методом множителей Лагранжа, мы получим:
\[
\int \sum_{k}\left[\delta p_{k}\left(\frac{d q_{k}}{d u}-\lambda(u) \frac{\partial H}{\partial p_{k}}\right)-\delta q_{k}\left(\frac{d p_{k}}{d u}+\lambda(u) \frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right)\right] d u=0,
\]

илн же
\[
\frac{d q_{k}}{d u}=\lambda(u) \frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \frac{d p_{k}}{d u}=-\lambda(u) \frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Эти выражения определяют направление траектории в $2 s$-мерном фазовом пространстве. Если ввести переменную $t$ согласно соотношению
\[
\left.d t=\lambda(u) d u, \text { или } t=\int^{u} \lambda u\right) d u,
\]

выражения (5.420) превратятся в канонические уравнения движения:
\[
\frac{d q_{k}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \frac{d p_{k}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Связь с принципом наименьшего дсйствия становится даже еще более прозрачной, если мы напишем [ср. (5.109)]:
\[
\sum_{k} p_{k} d q_{k}=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k} d t=2 T d t .
\]

Мы завершим эту главу, рассказав, как можно ввести время и энергию (с отрицательным знаком) в качестве канонически сопряженных переменных. Для этих рассуждений нам придется отбросить то ограничение, которого мы до сих пор придерживались, а именно считать, что гамильтониан уже может содержать время $t$ явно. Нетрудно убедиться, что в этом случае канонические уравнения движения (5.108) по-прежнему справедливы, но что вместо (5.111) мы получим теперь:
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{k}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}\right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Наиболсе удовлстворитсльный способ введения врсмсни в качестве одной из координат $q$ состоит в использовании вариационного принципа Гамильтона в форме (5.215). Этот вариационный принцип выглядел следуюшим образом:
\[
\delta \int_{1}^{2} L d t=\delta \int_{1}^{2}\left[\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(p_{k}, q_{k}, t\right)\right] d t=0
\]

где теперь уже $p_{k}$ и $q_{k}$ образуют совокупность $2 s$ независимых переменных. Мы введем сейчас функцию $p_{0}$, а также изменим переменную интегрирования, перейдя от $t$ к $u$ : через $u$ обозначена любая функция времени, которая определяет положение изображающей точки на траектории в фазовом пространстве. Мы приходим тогда к вариационному принципу:
\[
\delta \int_{1}^{2}\left(\sum_{k=1}^{s} p_{k} q_{k}^{\prime}+p_{0} q_{0}^{\prime}\right) d u=0,
\]

с дополнительным условием
\[
p_{0}=x-H\left(p_{k}, q_{k}, q_{0}\right) .
\]

IIтрихи в (5.426) указывают на дифференцирование по $u$; iроме того, мы заменили явно входящую временну́ю координату через $q_{0}$ :
\[
q_{k}^{\prime}=\frac{d q_{k}}{d u}, \quad q_{0}=t, \quad q_{0}^{\prime}=\frac{d t}{d u} .
\]

Сотношение (5.427) можно переписать еще и так:
\[
\mathscr{H} \equiv p_{0}+H=0, \text { или } \delta \mathscr{H}=0 .
\]
13 (5.426) и (5.429) мы получим уразнения
\[
\frac{d p_{k}}{d u}=-\lambda \frac{\partial \mathscr{H}^{\prime}}{\partial q_{k}}, \frac{d q_{k}}{d u}=\lambda \frac{\partial \mathscr{P}}{\partial p_{k}}
\]

в точности так же, как из (5.415) и (5.416) следует (5.420). Вводя время с помощью соотношения (5.421), иы получим из (5.430):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p_{k}}{d t}=-\frac{\partial^{*} \mathcal{H}}{\partial q_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \quad \frac{d q_{b}}{d t}=\frac{\partial \eta \ell}{\partial p_{k}}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \\
k=1, \ldots, s \text {, } \\
\end{array}
\]
– выражения, которые являются канопческими уравнениями движения, и соотнонцсния
\[
\frac{d p_{0}}{d t}=-\frac{\partial f_{0}}{\partial q_{0}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{0}}, \frac{d q_{0}}{d t}=\frac{\partial \ell_{0}}{\partial p_{0}}=1 .
\]

Из второго уравнения (5.432) видно, что $q_{0}$ и в самом деле может быть отождествлено со временем, тогда как 113 (5.431) и (5.432) следует, что
\[
\frac{d \mathscr{H}}{d t}=\sum_{k=0}^{s}\left(\frac{\partial \mathscr{H}^{\prime}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial \mathscr{H}_{2}}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}\right)=0,
\]

пгскольку в этом выраженли уке нет явно входящего в емени $t$ (его место заняла координата $q_{0}$ ). Из (5.433) धілует, что
\[
\mathscr{H}=\text { const },
\]
:1 мы можем без всякой потери обинсти положить эту пстоянную равной нулю, так что $p_{0}=-H$. Так как гспичины $p_{0}, q_{0}$ выступают точно в таљой роли, как и ье остальные $p_{k}$ и $q_{k}$, мы видим, что на самом деле – $H\left(=p_{0}\right)$ является величиной, канонически сопряженной с $t\left(=q_{0}\right)$. Дла нерелятивнстской механики этот результат не очень существен, однако он имеет огромное знащение для релятивистской механики, где время выступает уже на равных правах с пространственными координатами.

Напоследок мы хотим обратить внимание читателей на то, что вместо функции Гамильтона $H$ мы перешли уже к уравнению Гамильтона $\mathscr{H}=0$. Левая часть этого уравнения Гамильтона попадалась нам в уравнениях движения (5.431) и (5.432). Следует заметить, что далеко не всегда непосредственное использование левой части заданного уравнения Гамильтона может привести к каноническим уравнениям движения. Для того чтобы функция $\mathscr{H}$, фигурируюшая в правых частях этих уравнений, была бы действительно той функцией, которая стоит в левой части уравнения Гамильтона, необходимо, чтобы $p_{0}$ входило в $\mathscr{H}$ линейно с коэффициентом, равным единице; иначе второе из уравнений (5.432) будет уже несправедливо и координата $q_{0}$ уже не будет временем. Для пояснения наших утверждений взглянем на уравнение Гамильтона для точечной заряженной частицы в электромагнитном поле – релятивистское соотношение между четырьмя компонентами 4-вектора энергии – импульса частицы в электромагнитном поле:
\[
0=\mathscr{H}^{\prime}=\left(p_{0}+e \varphi\right)^{2}-c^{2}\left[(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A})^{2}+m^{2} c^{2}\right],
\]

где $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$, как и раньше, – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. Составляя функцию $\mathscr{H}$, имеющую размерность энергии и содержашую $p_{0}$ линейно с коэффициентом единица, мы получаем новое уравнение Гамильтона:
\[
0=\mathscr{H}=p_{0}+e \varphi-c\left[(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A})^{2}+m^{2} c^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Предоставляем читателю доказать, что (5.431) и (5.432) с $\mathscr{H}$, определяемым (5.436), приводят к релятивистским уравнениям движения [ср. вывод уравнения (2.509)]:
\[
\frac{d}{d t} \frac{m \dot{x}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=e\{E+[\dot{x}, B]\}, v^{2}=(\dot{x} \cdot \dot{x}),
\]

где, так же как в гл. 2, $\boldsymbol{E}$-напряженность электричеокого поля и $\boldsymbol{B}$-магнитная индукция.