Рассматривается система из $N$ частиц; $\boldsymbol{x}_{l}$ – радиус-вектор, проведенный к $i$-й частице $(i=1,2, \ldots, N)$. Обозначим через $F_{i}$ силу, действующую на $i$-ю частицу. Полная сила, действующая на частицу, может быть разбита на две части: первая часть, $\boldsymbol{F}_{i}^{\mathrm{int}}$, создается частицами, входящими в систему, вторая, $F_{i}^{\text {ext }}$, обусловлена действием внешнего поля сил:
\[
F_{i}=F_{i}^{\text {int }}+F_{i}^{\text {ext }} \text {. }
\]

Рассматриваемая система имеет $3 N$ степеней свободы, и если известны все $F_{i}^{\text {int }}$ и $F_{i}^{\text {ext }}$, то в принципе возможно решить все уравнения движения. Часто, однако, невозможно задать заранее все $F_{i}^{\text {int }}$ и $F_{i}^{\text {ext }}$. Более того, часть этих сил может иметь такую природу, что фактически число степеней свободы уменьшается и становится меньше, чем $3 N$. Чтобы понять, как такое может случиться, обратимся к трем частным случаям, когда потенциальная энергия задается соответственно в внде:
\[
\begin{array}{c}
U_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{2} a\left(x_{1}-x_{2}-l\right)^{2} ; \\
U_{2}(x)=0, \quad|x|<\frac{1}{2} L ; \\
U_{2}(x)=\frac{2 x-L}{b^{2} L}, \quad \frac{1}{2} L \leqslant|x| \leqslant \frac{1}{2} L(1+b), \\
U_{2}(x)=\frac{1}{b}, \quad \frac{1}{2} L(1+b)<|x| ; \\
\left.U_{3}(x, y, z)=\frac{1}{2} c(\alpha x+\beta y+\gamma z-d)^{2},\right\} \\
\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 .
\end{array}
\]

Первый потенциал относится к одномерной системе, состоящей из двух частиц; второй – к одиночной частице, движущейся в одном измерении; третий – к одной частице, движущейся в трех измерениях. Мы будем исходить из того, что в рассматриваемых случаях действуют силы, обусловленные только этими потенциалами.

В первом случае, когда потенциал определен согласно (2.102), мы вводим в качестве новых переменных относительную координату $x_{1}-x_{2}$ и координату центра инерции $\left(m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$. Как мы видели в $\S 1.2$, координата центра инерции описывает равномерное и прямолинейное движение системы, а для относительной координаты мы имеем [ср. с (1.122)]:
\[
x_{1}-x_{2}=l+\sqrt{\frac{\bar{E}}{a}} \sin \sqrt{\frac{a}{\mu}}\left(t-t_{0}\right),
\]

где через $E$ обозначена энергия относительного движения, а через $\mu$-приведенная масса, вычисляемая согласно (1.251).

Перейдем теперь к пределу, когда $a$ стремится к бесконечности при постоянном значении $E$. Мы видим, что частота колебаний разности $x_{1}-x_{2}$ вокруг значения $l$ возрастает, а амплитуда уменьшается. В пределе мы находим:
\[
x_{1}-x_{2}=l ;
\]

это означает, что система ведет себя так, как если бы обе частицы находились на строго фнкснрованном расстоянии $l$ друг от друга. Если говорить на современном языке: степень свободы, соответствующая относительному движению, оказалась замороженной. Такое вымораживание степеней свободы имеет важное значение в тех случаях, когда используется квантовая механика. В классической же механике достаточно сказать, что на систему наложены связи;
Рис. 7. a) Потенциал $U_{2}$, соответствующий двум стенкам конечной высоты, равной $1 / b$.
6) Скорость частицы $v$ в зависимости от времени для случая стенок -конечной высоты.
в) Скорость частищы $v$ в зависимости от времени для бесконечно высоких стенок.

дтя той системы, которую мы только что исследовали, связь-задается уравнением (2.106).

Потенциал $U_{1}$ может быть следующим образом обобщен на три пространственных измерения:
\[
U_{1}^{\prime}=\frac{1}{2} a^{\prime}\left[\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}-l\right]^{2},
\]

и тогда связь (2.106) заменится уже на
\[
\left|x_{1}-x_{2}\right|=l \text {, }
\]

если $a^{\prime}$ стремится к бесконечности. Доказательство того, что возникает именно эта связь, довольно непосредственно и предоставляется читателю, С другим случаем связи мы сталкиваемся в системе, в которой действует потенциал $U_{2}$ (см. рис. $7, a$ ); этот случай соответствует физически двум стенкам высотой $1 / b$. Движение частицы одномерное, и с помощью (1.120) можно найти зависимость ее координаты от времени. Нетрудно показать, что если энергия частицы $E$ меньше, чем $1 / b$, она будет двигаться взад-вперед между двумя стенками, от которых она будет отражаться. Когда частица достигает точки, соответствующей отметке $A$ на рис. $7, a$ (скажем, в момент $t_{1}$ ), она замедляет свое движение до тех пор, пока ее скорость не обратится в нуль (допустим, в момент $t_{2}$-отметка $B$ на рис. $7, a$ ). Затем она начинает обратное движение, ускоряясь от $B$ к $A$, пока, наконец, ее скорость не достигает в точке $A$ первоначального значения, но уже в противоположном направлении.

На рис. 7,6 представлена скорость частицы как функция времени. Время $t_{1}$ соответствует координате частицы $x=1 / 2 L$, тогда как скорость частицы $v$ в этой точке равна $v_{0}=(2 E / m)^{1 / 2}$. В момент времени $t_{2}$ скорость $v=0$, а координата частицы равна $x=1 / 2 L+1 / 2 E b^{2} L$ (мы предполагаем, что $E<1 / b$, так что $1 / 2 L+1 / 2 E b^{2} L<1 / 2 L(1+b)$ ). В момент $t_{3}$, соответствующий возвращению в точку $A$, скорость $v=-v_{0}$, а координата снова равна $x=1 / 2 L$. В ремя $\tau$, проведенное частицей в «области стенки», определяемой неравенством $1 / 2 L \leqslant x \leqslant 1 / 2 L(1+b)$, можно получить из уравнения
\[
\tau=2\left(t_{2}-t_{1}\right)=2 \int_{1 / a L}^{1 / 2 L\left(1+E b^{2}\right)}\left[v_{0}^{2}+\frac{2}{m b^{2}}-\frac{4 x}{m b^{2} L}\right]^{-1 / 4} d x,
\]

упростив которое мы получим:
\[
\tau=m v_{0} b^{2} L \text {. }
\]

Из этих формул видно, что в пределе $b \rightarrow 0$ время $\tau \rightarrow 0$; частица просто отражается от стенки, а ее скорость меняется скачком, как это изображено на рис. $7, \varepsilon$. В этом предельном случае движенне частицы ограничено интервалом
\[
-\frac{1}{2} L \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} L ;
\]

другими словами, ее движение ограничено одномерным ящиком с упругими стенками.

Третий потенциал $U_{3}$ приводит к следующим уравне ниям движения:
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}=c \alpha(\alpha x+\beta y+\gamma z-d), \\
m \ddot{y}=c \beta(\alpha x+\beta y+\gamma z-d), \\
m \ddot{z}=c \gamma(\alpha x+\beta y+\gamma z-d) ;
\end{array}
\]

если умножить (2.110a) на $\alpha,(2.110 б)$ на $\beta,(2.110$ в ) на $\gamma$ и затем сложить полученные уравнения, мы найдем, что решением полученного дифференциального уравнения будет
\[
\alpha x+\beta y+\gamma z-d=\sqrt{\frac{\overline{2 E}}{c}} \sin \sqrt{\frac{c}{m}}\left(t-t_{0}\right),
\]

где через $E$ обозначена энергия, соответствующая движению частицы перпендикулярно плоскости
\[
\alpha x+\beta y+\gamma z=d .
\]

Если перейти к пределу $c \rightarrow \infty$, мы обнаружим, что движение частицы ограничено плоскостью, определяемой уравнением (2.112).

Подводя итоги, мы видим, что в трех разобранных случаях мы столкнулись со связями следующих типов: a) связи, которые фиксируют, расстояния между частицами, входящими в систему (первый случай); б) связи, которые требуют от частицы, чтобы она двигалась по заданной поверхности или вдоль заданной кривой (третий случай); в) связи, которые предписывают частице – или системе, состоящей из частиц, – движение в ограниченной области пространства (второй случай). Связи первых двух типов могут быть выражены в виде уравнений, которым должны удовлетворять координаты частицы (или частиц):
\[
G_{l}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{N}\right)=0 .
\]

Уравнения такого внда называются кинсматическими связями нли иногда голономными иинематическими связями. Связи последнего типа описываются неравенствами:
\[
G_{m}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{N}\right) \geqslant 0,
\]

и тогда связи называются уже неудерживающими. Есть еще один вид связей, которые могут быть выражены только в дифференциальной форме; они называются неинтегрируемыми; к этому случаю связей относится чистое качение сферы по плоскости. В дальнейшем мы ограничимся исключительно голономными связями; лишь в $\$ 2.5$ совсем кратко коснемся неинтегрируемых связей.

Один из способов наложкения связей на систему заключается в том, чтобы сказать, что рассматриваемая система обладает уже не $3 N$ степенями свободы, а только $s$ степенями, где число $s$ определяется равепством
\[
s=3 N-p,
\]

причем через $p$ обозначено число кинематических соотноџений (2.113), которые должны удовлетворяться. Эти кинематические соотношения ведут к появлению некоторых сил, действующих в системе и обеспечивающих выполнение этих соотношений. Если обозначить эти силы через $F_{i}^{\prime}$, то полную силу, действующую на $i$-ю частицу, можно представить в виде суммы, один член которой будет равен $F_{i}^{\prime}$, а другой член $F_{i}$ обязан действию всех иных источников. Тогда уравнение движения $i$-й частицы можно записать так [ср. (2.101)]:
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=F_{i}+F_{i}^{\prime} \text {. }
\]

Неизвестными величинами являются здесь $x_{i}$ и $F_{i}^{\prime}$, т. е. $6 N$ переменных, тогда как уравнений у нас всего $3 N+p$, а именно $3 N$ уравнений $(2.116)$ и $p$ уравнений (2.113). Нам необходимы еще дополнительные уравнения. Их можно получить, если воспользоваться принципом Д’Аламбера.