В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования: а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона – Якоби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных «действие – угол» значительно хитрее. Н действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. Мы определим адиабатические инварианты как такие величины, которые остаются инвариантными, если параметры, входящие в гамильтониан, медленно изменяются. Мы дадим более количественное определение адиабатических инвариантов чуть позже и покажем, что переменные действия на самом деле являются адиабатическими инвариантами.

Нам хотелось бы сказать несколько слов о значении адиабатических инвариантов и о тех причинах, по которым они были введены в старую квантовую механику. В свое время Эренфест показал, что если необходимо найти величины, нодходящие для квантования, то эти величины должны быть адиабатическими инвариантами. Обоснования этого утверждения состоят в следующем.

Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его фурье-разложений оказываются только частоты ниже определенного значения, скажем $v_{0}$, которое меньше, чем любая частота, соответствующая боровским условиям для квантовых переходов, то за время изменения параметра никакие квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане, не могут изменяться квантовые числа; тем более не могут изменяться квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для квантования; фактически именно для них были предложены правила квантования Вильсона-Зоммерфельда.

Причина, по которой такие медленные изменения были названы адиабатическими, состоит в том, что из статистической механики вытекает следующее утверждение: энтропия системы определяется распределением образующих систему частей по возможным энергетическим состояниям. Поскольку никаких переходов в другие состояния во время адиабатического изменения параметров быть не может, энтропия должна оставаться неизменной; такое положение дел соответствует термодинамическому определению адиабатического изменения. Стоит заметить здесь, что адиабатические инварианты играют также важную роль и в современной квантовой механике; соответствующее утверждение звучит в этом случае так: система, находящаяся в стационарном состоянии, будет продолжать находиться в этом состоянии даже при наличии адиабатических процессов.

Совсем недавно вновь вспыхнул интерес к адиабатическим инвариантам, поскольку они играют важную роль в теории ускорителей и теории движения заряженных частиц в магнитном поле, весьма существенной для проблемы управляемого термоядерного синтеза.

Ради простоты мы докажем адиабатическую инвариантность переменных действия только для одномерного случая; можно заметить, что аналогичное доказательство справедливо также и для случая с бо́льшим числом степеней свободы, если не существует соотношения типа
\[
\sum_{i} v_{i} k_{i}=0
\]

где $k_{i}$ – положительные или отрицательные целые числа, а частоты $v_{i}$ определены согласно (6.218). Система, для которой удовлетворяется хотя бы одно соотношение вида (6.301), называется вырожденной. Такие системы в этом параграфе мы рассматривать не будем, хотя они нередко встречаются в природе. В задаче Кеплера мы как раз столкнулись с такой системой: мы уже указывали в предыдущем параграфе, что из (6.227) следовало, что $v_{1}=v_{2}=v_{3}$.

Мы займемся теперь системой, описываемой гамильтонианом
\[
H=H(p, q ; a(t)),
\]

где через $a(t)$ обозначен параметр, меняющийся со временем. В пределе, когда
\[
\dot{a}(t) \rightarrow 0,
\]

мы говорим, что имеем дело с адиабатическим изменением. Для осуществления преобразования от переменных $p, q$ к переменным «действие – угол» $J$, $w$ мы используем производящую функцию вида (5.220a) $W(q, w, a)$, которая зависит теперь уже от времени через параметр $a(t)$. Преобразование задается уравнениями
\[
p=\frac{\partial W}{\partial q}, J=-\frac{\partial W}{\partial \omega} .
\]

Поскольку в этом случае гамильтониан зависит от времени, нам нужно действовать с осторожностью. Мы используем то обстоятельство, доказанное в $\S 5.4$, что канонические уравнения движения эквивалентны вариационному принципу (5.425). Это значит, что из уравнения
\[
\delta \int_{1}^{2}[p \dot{q}-H(p, q, a)] d t=0
\]

должно следовать уравнение
\[
\delta \int_{1}^{2}[J \dot{w}-\bar{H}(J, w, a)] d t=0,
\]

поскольку преобразование (6.304) является каноническим. Далее мы получаем:
\[
p \dot{q}-H(p, q, a)=J \dot{w}-\bar{H}(J, w, a)+\frac{d}{d t} V(q, w, a),
\]

и, принимая во внимание (6.304) и сравнивая коэффициенты при $\dot{q}$ и $\dot{w}$ в обеих частях этого уравнения, мы обнаруживаем, что
\[
V \equiv W,
\]

а также и что
\[
\bar{H}(J, w, a)=H(J, a)+\frac{\partial W}{\partial t},
\]

где учтено, что после преобразования гамильтониан $H$ не будет содержать переменную $ю$. Уравнения движения для $w$ и $J$ приобретут теперь вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{w}=\frac{\partial \vec{H}}{\partial J}=\frac{\partial H}{\partial J}+\frac{\partial}{\partial J} \frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial J}+\frac{\partial}{\partial J}\left(\frac{\partial W}{\partial a} \dot{a}\right), \\
\dot{J}=-\frac{\partial \dot{H}}{\partial w}=-\frac{\partial H(J, a)}{\partial w}-\frac{\partial}{\partial w} \frac{\partial W}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial W}{\partial a} \dot{a}\right) .
\end{array}
\]

Допустим теперь, что $J$ принимает при $t=0$ заданное значение $J(0)$, и выясним, как изменяется эта величина в течение интервала времени $T$, за который параметр $a$ изменяется от своего исходного значения $a_{0}$ до значения $a_{0}+\delta a$. Для упрощения рассуждений будем считать, что $a$ нзменяется линейно; это означает, что производная $d$ (которая равна в нашем случае $\delta a / T$ ) постоянна, а также и то, что $\dot{a}$ стремится к нулю, если интервал $T$ стремится к бесконечности, причем произведение $\dot{a} T$ остается конечной величиной. Из выражения (6.311) для
приращения $J$ мы получаем!
\[
\begin{aligned}
J(T)-J(0) & =-\int_{0}^{T} \frac{\partial}{\partial w} \frac{\partial W}{\partial a} d t \\
& =-d \int_{0}^{T} \frac{\partial}{\partial w} \frac{\partial W}{\partial a} d t \\
& =-\dot{a} \int_{0}^{T} \sum_{k
eq 0} A_{k}(J, a) e^{2 \pi i k w} d t \\
& =-\dot{a} \int_{0}^{T} \sum_{k
eq 0}\left(A_{k}^{(0)}+A_{k}^{(1} d t+\ldots\right) \times \\
& =-d \int_{0}^{T}\left\{\sum_{k
eq 0} A_{k}^{\prime \prime} \exp \left[2 \pi i k\left(v_{0} t+\delta_{0}\right)\right] d t\right\}+ \\
& +\dot{a}^{2} \int_{0}^{T}(\ldots) d t+\ldots
\end{aligned}
\]

При переходе от (6.312а) к (6.312б) использовано наше предположение о том, что $d$ = const. У равнение (6.312в) следует из того, что рассматриваемая система – периодическая по $w$ с периодом, равным единице, так что величина $W$ может быть разложена в ряд Фурье. Переменная w не является уже, строго говоря, линейной функцией времени, но из (6.310) следует, что
\[
\begin{aligned}
w & =\frac{\partial H}{\partial I} t+\delta(J, a)=v(J, a) t+\delta(J, a)= \\
& =v_{0} t+\delta_{0}+\left(v_{1} t^{2}+\delta_{1} t\right) a+\ldots,
\end{aligned}
\]

где величина $\delta(J, a)$ была бы настоящей константой, если бы $a$ не менялось, и где мы разложили величины $v$ и $\delta$ в ряд по степеням $t$.

Перейдем теперь к пределу, когда $T \rightarrow \infty$. Поскольку модуль интеграла, стоящего в первом члене (6.312д), на верхнем пределе принимает конечное значение, равное
\[
\sum_{k
eq 0}\left[A_{i}^{n} / 2 \pi k v_{0}\right]
\]

то этот член стремится к нулю, если $d$ стремится к нулю. Второй член по порядку величины самое большее совпадает с величиной $\dot{a}^{2} T=(d T) \dot{a}$, которая также стремится к нулю, если $d \rightarrow 0$. Мы видим, что в предельном случае $d \rightarrow 0$ величина $J$ просто не меняется. Мы не хотим заниматься рассмотрением более общего случая, когда высшие производные от $a$ по времени отличны от нуля, отсылая читателя к соответствующей литературе *).

Полезно хотя бы кратко обратить внимание на связь между инвариантностью $J$ и теоремой Лиувилля в статистической механике. Эта теорема утверждает, что элемент объема в фазовом пространстве инвариантен. Для выявления этой связи в одномерном случае, который мы только что рассматривали, мы записываем:
\[
J=\oint p d q=\iint d p d q=\iint d \Omega,
\]

где через $d \Omega$ обозначен элемент фазового пространства.

В завершение этого параграфа мы рассмотрим два примера. Первый из них – математический маятник, причем мы ограничимся случаем малых колебаний, так что уравнение движе-
Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом изменении его длины от $l$ до $l-d l$; $P$ – точка подвеса маятника. ния маятника будет совпадать с уравнением линейного гармонического осциллятора. Второй пример – движение заряженной частицы в магнитном поле.

Пусть $l$ будет длиной математического маятника, $\theta$-угол его отклонения от вертикали, $q$-линейное смещение, а $v$-частота колебаний. Обозначим через $E$ энергию маятника; $m$ – масса шарика, $g$ – ускорение силы тяжести. Вопрос, на который мы хотим ответить, состоит в следующем: как изменится амплитуда $\theta_{0}$, если $l$ будет меняться адиабатически? Ответ на этот вопрос можно получить двумя путями. Первый путь состоит в том, что изменение механической системы при адиабатическом изменении длины маятника от $l$ до $l+d l$ рассматривается совершенно непосредственно. Второй путь – куда более быстрый – заключается в использовании адиабатической инвариантности $J$. Мы остановимся на обоих методах.

Работа $d W$, совершаемая при изменении $l$, разбивается на две части-работу против силы тяжести и работу, совершаемую против центробежных сил:
\[
d W=-m g \overline{\cos \theta} d l-m \overline{\dot{\theta}^{2}} d l,
\]

где черта над величинами означает усреднение по промежутку времени, за который происходит изменение $l$. После того как длина маятника достигает своего нового, окончательного значения, можно подвести баланс энергии и записать:
\[
d W=-m g d l+d E,
\]

где через $d E$ обозначено изменение энергии маятника; что касается величины – $m g d l$, то она представляет собой изменение потенциальной энергии массы $m$ за счет изменения ее положения в поле тяжести. Объединяя (6.314) и (6.315) и полагая при этом $\cos \theta \approx 1-1 / 2 \theta^{2}$, получим:
\[
d E=\frac{1}{2} m g \overline{\theta^{2}} d l-m \overline{\hat{\theta}^{2}} d l .
\]

Поскольку длина меняется медленно, т. е. изменение длины занимает время несравненно большее, чем период колебаний маятника, можно написать
\[
\frac{1}{2} E=\frac{1}{2} m l^{2} \bar{g}^{2}=\frac{1}{2} m g l \overrightarrow{\theta^{2}}
\]

и переписать (6.316) уже так:
\[
d E=-(E / 2 l) d l .
\]

Отсюда следует, что величина $E^{2} l$ является инвариантом, а поскольку $E$ пропорционально $10^{\circ}$ [ср. (6.317)], где $\theta_{0}$ – амплитуда колебаний, то мы видим, что
\[
l^{3} \theta_{0}^{4}=\text { invariant. }
\]

Если же воспользоваться адиабатической инвариантностью $J$, доказательство $(6.319)$ совсем просто. Из (6.222) и (6.223) мы имеем:
\[
J=E / v,
\]

и поскольку $E$ пропорционально $l \theta_{0}^{2}$, то (6.319) следует отсюда немедленно, так как для математического маятника $v$ пропорционально $1 / \sqrt{ } \bar{l}$. Мы обращаем внимание на то обстоятельство, что, сочетая пропорциональность $v$ и $1 / \sqrt{l}$ с (6.318), мы сразу же получаем доказательство инвариантности отношения $E / v$, т. е. величины $J$ для данного примера.

Наконец, несколько слов о заряженной частице в магнитном поле. Мы остановимся только на самом важном из адиабатических инвариантов; кроме того, мы ограничимся простейшим случаем, когда магнитное поле однородно и направлено вдоль оси $z$; это означает, что векторный потенциал $\boldsymbol{A}$ такого поля имеет компоненты $-\frac{1}{2} B y,-\frac{1}{2} B x, 0$. Переменная действия, которую следует ввести, имеет вид:
\[
J_{\theta}=\oint p_{\theta} d \theta,
\]

где временно введены цилиндрические координаты $r, \theta, z$. Выразим лагранжиан системы в цилиндрических координатах [ср. (5.353)]:
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+\frac{1}{2} e B r^{2} \dot{\theta} .
\]

Из лагранжиана (6.322) мы получим выражение для $p_{\theta}$ :
\[
p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}+\frac{1}{2} e B r^{2} .
\]

Чтобы еще больше упростить задачу, мы рассмотрим случай, когда $\dot{z}=0$ и $\dot{r}=0$, т. е. случай, когда частица движется по окружности вокруг силовых линий магнитного поля с циклотронной частотой $\omega_{c}$,
\[
\omega_{c}=e B / m,
\]

так что $\dot{\theta}=\omega_{c}$. Из выражений $(6.321),(6.323)$ и (6.324) мы получим тогда:
\[
J_{\theta}=(6 \pi m / e)\left(m v_{\perp}^{\mathrm{s}} / 2 B\right)=(6 \pi m / e) \mu,
\]

где через $v_{\perp}$ обозначена поперечная скорость:
\[
v_{\perp}=r \hat{q},
\]

а через $\mu$-магнитный момент, соответствующий движению частицы,
\[
\mu=\frac{1}{2} e v_{\perp} r=e v_{\perp}^{2} / 2 \omega_{c}=m v_{\perp}^{2} / 2 B .
\]

Таким образом, для нашего частного, крайне упрощенного случая доказано, что магнитный момент $\mu$ является адиабатическим инвариантом. Этот результат остается справедливым и для более сложных движений заряженной частицы, причем поле вовсе не обязательно однородно. Кроме магнитного момента $\mu$ есть еще два других адиабатических инварианта. Для движения заряженной частицы в магнитных полях таких конфигураций, как земное магнитное поле или магнитное поле, используемое в термоядерных реакторах (магнитные зеркала), можно доказать*), что частица, однажды захваченная магнитным полем, навсегда останется в этом поле, если только не нарушатся условия адиабатической инвариантности (предполагая, что рассеяния нет, так как иначе возникает иной источник потерь частиц).