В предыдущих главах формализм Лагранжа применялся к системам, состоящим из точечных частиц, и к твердым телам; формализм же Гамильтона использовался только для точечных частиц. В качестве одного из достоинств формализма Гамильтона было указано, что он открывает нам сравнительно простую возможность перехода к квантовой механике. Все системы, о которых шла речь до сих пор, описывались конечным числом переменных. Однако существует немало физических систем, которые должны описываться бесконечным числом переменных. Это обычно получается тогда, когда вместо переменных $q_{k}$, где $k=1,2, \ldots, s$, мы имеем одну (или более одной) совокупность переменных $Q(x)$; эти переменные $Q(x)$ являются фуикциями непрерывной переменной $x$, точно так же как величины $q_{k}$ следовало считать функциями дискретной переменной $k$. Такая ситуация возникает в двух существенно различающихся между собой случаях. Во-первых, имеются сплошные среды, такие, например, кдк газы или жидкости. Во-вторых, имеются поля. Мы рассмотрим примеры как для одного, так и для другого случаев.

Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо $Q(x)$ их фурье-коэффициенты в качестве обобщенных переменных.

Преимущества этого метода двоякие. Прежде всего, теперь мы имеем дело с функцией дискретной переменной $k$ (по крайней мере до тех пор, пока можно считать систему заключениой в конечный, пусть даже сколь угодно большой, объем), вместо того, чтобы рассматривать функции непрерывного аргумента $x$. Во-вторых, теория в ее канонической форме более удобна для квантования, а сами фурье-коэффициенты часто используются как операторы рождения и уничтожения. Наилучшим примером применения такого подхода может служить электромагнитное поле. Однако мы отложим обсуждение этого случая до следующего параграфа. Для электромагнитного поля возникают присущие только этому случаю трудности, связанные с налнчнем условия калибровки Лоренца, и поэтому в качестве основы для нашего подхода мы выберем продольные упругие волны в одномерной сплошной среде. На этом примере мы постараемся проиллюстрировать основные идеи метода.

Проблема, которая встала перед нами, может быть описана следующим образом. У нас есть совокупность уравнений двпжения (уравнения Максвелла в случае электромагнитного поля, волновое уравнение в случае звуковых волн и т. д.), описывающих интересующее нас явление вполне удовлетворительным образом. Мы предпочли бы, однако, записать эти уравнения движения в канонической форме; другими словами, нам хотелось бы подобрать новую совокупность переменных и гамильтониан, который был бы функцией этих переменных, таких, что уравнения движения могли бы быть написаны в канонической форме (5.108). Найдя как нужные переменные, так и гамильтониан, мы сведем задачу к тому, как ввести канонический формализм, если исходные переменные были функциями непрерывно изменяющейся переменной.

Одномерные продольные упругие волны описываются волновым уравнением
\[
\rho \ddot{\xi}-E \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}=0,
\]

где через $\xi(x, t)$ обозначено смещение среды в момент времени $t$ в точке $x$, через $\rho$ обозначена плотность среды, а через $E$ – модуль Юнга той же среды. Предполагается, что среда имеет конечную протяженность $L$. Мы можем потребовать, чтобы $\xi$ (или же $\partial \xi / \partial x$ ) обращалась в нуль на границах, и тогда $\xi(x, t)$ можно разложить в ряд Фурье:
\[
\xi(x, t)=\sum_{k} \xi_{k}^{\prime}(t) \sin k x,
\]

где $k$ принимает значения $n \pi / L(n=0,1,2, \ldots)$. Более удобно, однако, воспользоваться периодическими граничными условиями, наложенными на $\xi$ :
\[
\xi(x+L, t)=\xi(x, t),
\]

чем накладывать условие обращения в нуль $\xi$ (или $\partial \xi / \partial x$ ) на концах стержня. Следует подчеркнуть здесь, что очень мало можно сказать в оправдание предположения (8.103); оно используется в силу своего удобства, и, кроме того, обычно реальные граничные условия не оказывают влияния на решение задачи, так что их можно выбирать, сообразуясь с удобством, в частности, согласно (8.103). Надо добавить еще, что оказывается очень удобным пользоваться вместо разложения (8.102) рядом Фурье в комплексной форме:
\[
\xi(x, t)=L^{-1 / 2} \sum_{k} \xi_{k}(t) e^{i k x},
\]

где волновые числа $k$ могут уже принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если мы пользуемся разложением (8.104), то $\xi_{k}$ уже комплексны, тогда как $\xi^{\prime}$, входившие в (8.102), были действительными числами. Следствием этого будет то, что в гамильтонианө (8.112) и лагранжиане (8.110) вместо квадратов величин $\xi_{k}, \dot{\xi}_{k}$ появятся произведения вида $\xi_{k} \xi_{-k}$.

Мы обращаем внимание на то, что, поскольку $\xi(x, t)$ величина действительная, величины $\xi_{k}$ и $\xi_{-k}$ не являются двумя независимыми комплексными переменными (т. е. соответствующими четырем независимым переменным), ибо они должны удовлетворять равенству
\[
\xi_{k}=\xi_{-k}^{*} ;
\]

таким образом, мы имеем столько независимых переменных, сколько значений принимает $k$. Величины $\xi_{k}$ могут быть получены из $\xi(x)$ обычным образом:
\[
\xi_{k}=L^{-1 / 2} \int \xi(x) e^{-l k x} d x .
\]

Если нам нужно перейти к континууму значений $k$, мы устремляем $L$ к бесконечности и рассматриваем следующие пределы:
\[
\sum_{k} \rightarrow \frac{L}{2 \pi} \int d k, \quad \xi_{k} \rightarrow\left(\frac{2 \pi}{L}\right)^{1 / 2} \xi(k),
\]

которые в конце концов приводят нас к хорошо известным выражениям для интеграла Фурье:
\[
\begin{array}{l}
\xi(x, t)=(2 \pi)^{-1 / 2} \int \xi(k, t) e^{i k x} d k, \\
\xi(k, t)=(2 \pi)^{-1 / 2} \int \xi(x, t) e^{-i k x} d x .
\end{array}
\]

Переходя в уравнении (8.101) к компонентам Фурье, мы получим:
\[
\rho \ddot{\xi}_{k}+k^{2} E \xi_{k}=0,
\]

что и является уравнениями движения нашей системы системы с бесконечным числом степеней свободы.

Эти уравнения могут быть получены из следующего лагранжиана:
\[
L\left(\xi_{k}, \dot{\xi}_{k}\right)=\frac{1}{2} \rho \sum_{k} \dot{\xi}_{k} \dot{\xi}_{-k}-\frac{1}{2} E \sum_{k} k^{2} \xi_{k} \xi_{-k} .
\]

C пемощью уравнений движения Лагранжа (2.308), используя лагранжиан (8.110) и считая обсбщенными координатами $\xi_{k}$, мы действительно приходим к уравнениям движения (8.109). Любопытно заметить, что уравнения движения, в которые входят $\xi_{k}$, получаются из уравнений Лагранжа, написанных для $\xi_{-k}$.

Из лагранжиана (8.110) обычным путем можно найти и гамильтониан. Прежде всего мы вводим импульс $\pi_{k}$, содряженный с $\xi_{k}$, равенством [см. (2.310)]:
\[
\pi_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}_{k}}=\rho \dot{\xi}_{-k},
\]

где мы учли то обстоятельство, что в сумму по $k$ входят члены как с положительными, так и отрицательными $k$, и поэтому член $\dot{\xi}_{k} \dot{\xi}_{-k}$ встречается дважды. Из (5.104′); можно найти теперь и гамильтониан:
\[
H\left(\xi_{k}, \pi_{k}\right)=\sum_{k} \pi_{k} \dot{\xi}_{k}-L=\frac{1}{2 \rho} \sum_{k} \pi_{k} \pi_{-k}+\frac{1}{2} E \sum_{k} k^{2} \xi_{k} \xi_{-k} ;
\]

канонические уравнения движения (5.108) снова дают нам (8.109).

Мы знаем, что уравнения движения могут быть получены также и из вариационного принципа Гамильтона. Для рассматриваемого случая это означает, что уравнения (8.109) могут быть получены из вариационного принципа:
\[
\delta \int L d t=0,
\]

где $L$ определено согласно (8.110).
Теперь нам следует выяснить, как изменяются полученные нами формулы при переходе от $\xi_{k}$ к $\xi(x)$. Наша процедура должна быть такой, чтобы уравнения движения в конце концов сводились бы к (8.101). Нужный переход может быть проведен с помощью равенств (8.107) и (8.108), если считать, что протяженность системы $L$ стремится к бесконечности.

Мы начнем с того, что займемся гамильтонианом и лагранжианом, причем обе суммы, входящие в них, мы рассмотрим раздельно. Используя определения (8.111), мы обнаруживаем, что первая сумма в обоих случаях имеет вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \rho \sum_{k} \dot{\xi}_{k} \dot{\xi}_{-k} & =\frac{1}{2} \rho \int \dot{\xi}(k) \dot{\xi}(-k) d k= \\
& =\frac{1}{2} \rho(2 \pi)^{-1 / 2} \int d x \dot{\xi}(x) \int d k e^{-t k x} \dot{\xi}(-k)= \\
& =\frac{1}{2} \rho \int d x \dot{\xi}(x) \dot{\xi}(x)=\int \mathscr{T}(x) d x,
\end{aligned}
\]

rдe
\[
\mathscr{F}(x)=\frac{1}{2} \rho \dot{\xi}(x) \dot{\xi}(x)
\]

представляет собой плотность кинетической энергии, т. е. кинетическую энергию единицы объема.

Теперь мы вернемся ко второй сумме, для которой найдем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} E \sum_{k} k^{2} \xi_{k} \xi-k=\frac{1}{2} E \int k^{2} \xi(k) \xi(-k) d k= \\
=\frac{1}{2} E(2 \pi)^{-1 / 2} \iint d x d k \xi(x) k^{2} e^{-i k x} \xi(-k)= \\
=\frac{1}{2} E(2 \pi)^{-1 / 2} \iint d x d k \xi(x)\left(-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{-i k x}\right) \xi(-k)= \\
=\frac{1}{2} E(2 \pi)^{-1 / 2} \int d x\left[-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \xi(x)\right] \int d k e^{-i k x} \xi(-k)= \\
=\frac{1}{2} E \int d x\left[-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \xi(x)\right] \xi(x)= \\
=\frac{1}{2} E \int\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2} d x=\int u(x) d x,
\end{array}
\]

где
\[
u(x)=\frac{1}{2} E\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2}
\]

представляет собой плотность потенциальной энергии. Это следует из обычного определения плотности упругой (потенциальной) энергии, равной половине модуля упругости (у нас он обозначен через $E$ ), умноженной на квадрат соответствующей компоненты напряжения (в нашем случае эта компонента представляет собой удлинение, отнесенное к единице длины, т. е. $\partial \xi / \partial x)$.

Преобразование от $k$-представления к $x$-представлению в уравнениях движения (2.308) или (5.108) осуществить не так-то просто. Простейший путь состоит в том, чтобы вспомнить, что эти уравнения следуют самым непосредственным образом из (8.113). Если это верно тогда, когда в качестве переменных выбраны $\xi_{k}$, то это остается верным и тогда, когда вместо $\xi_{k}$ вводим $\xi(x)$. В лагранжиaне $L$, записанном уже через $\xi(x, t)$, мы обнаружим уже не только $\xi(x, t)$ и $\dot{\xi}(x, t)$, но также и $\partial \xi / \partial x$ [см. (8.117)], и вариация $L$ будет содержать вариации $\xi$, $\dot{\xi}$ и $\partial \xi / \partial x$, причем две последние вариации не будут независимыми от первой [ср. получение уравнений (2.308)]. Вводя 810
плотность лаеранжиана $\mathscr{L}$ согласно равенству
\[
\mathscr{L}=\mathscr{O}^{\mathscr{T}}-u,
\]

вариационный принцип (8.113) можно переписать в виде:
\[
\delta \iint \mathscr{L} d x d t=0 .
\]

Отметим, что в (8.119) пространственная и временная координаты входят на равных правах. Можно ожидать поэтому, что вариационный принцип, представленный в форме (8.119), будет особенно удобен для использования в релятивистском случае. Так оно на самом деле и есть.

Плотность лагранжиана $\mathscr{L}$ будет функцией $\xi, \dot{\xi}$ и $\partial \xi / \partial x$, и из (8.119) мы получим, учитывая, что $\delta \xi$ и $\delta \frac{\partial \xi}{\partial x}$ не являются независимыми вариациями:
\[
\begin{array}{l}
\delta \iint \mathscr{L} d x d t=\iint \delta \mathscr{L} d x d t= \\
= \iint\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi} \delta \xi+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}} \delta \dot{\xi}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial \xi / \partial x)} \delta \frac{\partial \xi}{\partial x}\right) d x d t= \\
= \iint\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial \xi / \partial x)}\right] \delta \xi d x d t+ \\
\quad+\int \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}} \delta \xi d x+\int \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial \xi / \partial x)} \delta \xi d t, \\
0= \iint\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial \xi / \partial x)}\right] \delta \xi d x d t
\end{array}
\]

где мы учли, что $\delta \xi$ обращается в нуль на границах как временно̀го, так и пространственного интервалов. Таким образом, мы получаем уравнения движения:
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial \xi / \partial x)}=0 .
\]

Нетрудно обнаружить, что для плотности гамильтониана $\mathscr{L}$, определяемой согласно (8.115), (8.117) и (8.118),
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2} \dot{\xi}^{2}-\frac{1}{2} E\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2},
\]

уравнения (8.121) сводятся к волновому уравнению (8.101). Если ввести функциональные производньце $\delta / \delta \xi$ от функции,
\[
\frac{\partial f\left(\xi, \frac{\partial \xi}{\partial x}\right)}{\delta \xi}=\frac{\partial f}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial(\partial \xi / \partial x)},
\]

то можно записать (8.121) в виде:
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}}-\frac{\delta \mathscr{L}}{\delta \xi}=0 ;
\]

эти выражения формально тождественны с уравнениями движения Лагранжа (2.308). Следует подчеркнуть, однако, что в (8.124) входит плотность лагранжиана $\mathscr{L}$, а в (2.308) входит полный лагранжиан $L$.

Можно ввести плотность канонического импульса $\pi$, определив ее соотношением:
\[
\pi=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\xi}}
\]

а также плотность гамильтониана, определив ее соотношением [ср. $\left.\left(5.104^{\prime}\right)\right]$ :
\[
\mathscr{H}=\pi \dot{\xi}-\mathscr{L} .
\]

Из вариационного приципа (8.119) можно теперь найти:
\[
\iint \delta(\pi \dot{\xi}-\mathscr{H}) d x d t=0,
\]

а вспоминая, что $\mathscr{H}$ есть функция $\pi$, $\xi$ и $\partial \xi / \partial x$, мы получим способом, аналогичным тому, который был использован при выводе (8.121):
\[
\iint\left[\left(\dot{\xi}-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi}\right) \delta \pi-\left(\dot{\pi}+\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \xi}\right) \delta \xi\right] d x d t=0 .
\]

Из (8.128) сразу же получается:
\[
\dot{\xi}=\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \pi}, \quad \dot{\pi}=-\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \xi},
\]

где мы заменили $\partial \mathscr{\ell} / \partial л$ функциональной производной $\delta \mathscr{H} / \delta \pi$, чтобы получить симметричные выражения. Отметим, что уравнения (8.129) отличаются от канонических уравнений (5.108), полученных нами ранее, в трех отношениях: вместо обычных частных производных появились функциональные производные, вместо полного гамильтониана фигурирует плотность гамильтониана и, наконец, импульс сменился на плотность импульса.

Если этот канонический формализм использовать в случае одномерных упругих волн, мы найдем из (8.125):
\[
\pi=\rho \dot{\xi},
\]

а сравнивая полученное выражение с (8.111) и вспоминая 212

(8.106), мы обнаруживаем, что величины $\pi_{k}$ – это фурьекомпоненты плотности импульса $\pi$, соответствующие волновому числу $-k$. Из определения (8.126) для плотности гамильтониана получается выражение:
\[
\mathscr{H}=\frac{\pi^{2}}{2 \rho}+\frac{1}{2} E\left\langle\frac{\partial \xi}{\partial x}\right\rangle^{2}=\mathscr{T}+\mathcal{U},
\]

которое можно получить также из (8.112), используя равенства $(8.130),(8.115)$ и (8.117). Мы замечаем, что в этом случае плотность гамильтониана совпадает с плотностью полной энергии .
Из первого уравнения (8.129) получаем:
\[
\dot{\xi}=\pi / \rho \text {, }
\]

что совпадает с (8.130); второе уравнение (8.129) дает:
\[
\dot{\pi}=E \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}} .
\]

Волновое уравнение (8.101) сразу же получится, если рассмотреть совместно (8.132) и (8.133).

Обобщение теории, развитой здесь, на случай нескольких переменных и на трехмерные системы производится совершенно непосредственно. Например, для звуковых волн в трехмерной среде компоненты $\xi, \eta, \zeta$ вектора смещения $\xi(x)$ будут функциями $x, y, z$; лагранжиан будет функцией $\xi, \eta, \zeta, \dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \partial \xi / \partial x, \partial \xi / \partial y, \partial \xi / \partial z, \partial \eta / \partial x$, $\partial \eta / \partial y, \partial \eta / \partial z, \partial \zeta / \partial x, \partial \zeta / \partial y$ и $\partial \zeta / \partial z$. Для каждой из трєх компонент мы будем иметь уравнение Лагранжа вида (8.124), а функциональные производные будут уже определяться так:
\[
\frac{\delta f}{\delta \xi} \equiv \frac{\partial f}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial \frac{\partial \xi}{\partial x}}-\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial \frac{\partial \xi}{\partial y}}-\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial f}{\partial \frac{\partial \xi}{\partial z}} .
\]

В следующем параграфе мы используем как формализм функциональных производных, так и формализм, опираюцийся на компоненты Фурье.