В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого тела, мы выберем три координаты центра масс $X, Y$ и $Z$ и три угла $\theta, \varphi$ и $\psi$, характеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы выбираем три координатные оси $X, Y$ и $Z$ жестко связанными с телом, тогда как через $x, y, z$ обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис. 18). Угол $\theta$ определяется просто как угол между осями $z$ и $Z$. Угол $\varphi$-это угол между осью $x$ и линией узлов, которая определяется как линия пересечения двух плоскостей: oxy и $O X Y$. Наконец, угол $\psi$ представляет собой угол между линией узлов и осью $X$. Введенные таким образом углы называются углами Эйлера.

Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в определении, ни в обозначении углов Эйлера. Использованное здесь определение – наиболее распространенное, но если вам приходится сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно следует проверить определение углов Эйлера.

Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из осей $x, y, z$ и одной из осей $X, Y, Z$. Эти выражения легко получаются из рис. 18 , или же в компнентах, если воспользоваться (4.121):
\[
\begin{array}{l}
A \dot{p}+(C-B) q r=\mathscr{M}_{1}, \\
B \dot{q}+(A-C) p r=\mathscr{M}_{2}, \\
C \dot{r}+(B-A) p q=\mathscr{M}_{3} .
\end{array}
\]

Эти уравнения и называются уравнениями Эйлера.
Начнем с того, что рассмотрим случай $\overrightarrow{\mathscr{A}}=0$, т. е. случай, когда нет вращательных моментов (моментов сил). Мы еще раз напомним, что поступательное движение, описываемое (4.107), не рассматривается. Когда $\overrightarrow{\mathscr{A}}=0$, мы получим вместо (4.206):
\[
\begin{array}{l}
A \dot{p}+(C-B) q r=0, \\
B \dot{q}+(A-C) p r=0, \\
C \dot{r}+(B-A) q p=0,
\end{array}
\]

где точки над буквами относятся к производным по времени в системе $X Y Z$. Теперь становится ясным преимущество использования уравнений движения в системе $X Y Z$ : выбрав однажды оси координат вдоль главных осей тензора инерции, мы можем быть уверены в том, что они всегда будут совпадать с этими осями. Но это было бы совсем не так, если бы мы работали в системе $x y z$. Два интеграла движения системы (4.207) могут быть найдены немедленно. Умножая каждое из уравнений (4.207) на $p, q$ и $r$ соответственно и складывая их, мы найдем:
\[
\frac{1}{2} \cdot A p^{2}+\frac{1}{2} B q^{2}+\frac{1}{2} C r^{2}=\text { const; }
\]

этот интеграл – интеграл энергии [ср. (4.123)].
Умножая уравнения (4.207) на $A p, B q$ и $C r$ соответственно и затем складывая их, мы получим:
\[
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=\text { const; }
\]

это равенство показывает, что абсолютная величина полного момента импульса является интегралом движения. Воспользовавшись двумя полученными интегралами движения (4.208) и (4.209), можно выразить общее решение уравнений (4.207) через эллиптические интегралы. Но мы не станем этого делать, а вместо этого рассмотрим несколько частных сіучаев.

Прежде всего мы отметим, что можно найти решение уравнений (4.207) в форме
\[
p=\text { const }=p_{0}, \quad q=0, \quad r=0
\]

или же в виде
\[
q=\text { const }=q_{0}, \quad p=0, \quad r=0,
\]

а также в виде
\[
r=\text { const }=r_{0}, \quad p=0, \quad q=0 .
\]

Эти решения соответствуют вращениям с постоянной угловой скоростью вокруг трех главных осей. Можно показать, что (4.210) определяют те единственные случаи, когда (4.207) при трех неравных главных моментах инерции имеют решение
\[
\omega=\text { const },
\]

или же
\[
p=p_{0}, \quad q=q_{0}, \quad r=r_{0} .
\]

Чтобн убедиться в этом, подставляем (4.211) в (4.207) и обнаруживаем, что эти уравнения можно решить, если по крайней мере две из трех величин $p_{0}, q_{0}$ и $r_{0}$ обращаются в нуль. Мы напомним в этой связи наше замечание об источниках происхождения термина «момент девиации» в предыдущем параграфе.

Интересно выяснить устойчивость вращения (4.210). Это можно сделать тем же самым способом, каким мы пользовались, исследуя малые колебания в предыдущей главе; итак, мы положим:
\[
p=p_{0}+\pi, \quad q=\xi, \quad r=\rho,
\]

подставим эти выражения в (4.207) и отбросим цлены, квадратичные по $\pi$, $\xi$ и $\rho$. В результате получим:
\[
\begin{aligned}
A \dot{\pi} & =0, \\
B \dot{\xi}+(A-C) p_{0} \rho & =0, \\
C \dot{\rho}+(B-A) p_{0} \xi & =0 .
\end{aligned}
\]

Первое уравнение приводит к малым колебаниям нулевой частоты и к решению $\pi=$ const, $\xi=0, \rho=0$, т. е. к решению, которое снова имеет вид (4.210a), но теперь уже со слег ка изменившейся угловой скоростью вращения вокруг оси $X$. Последние два уравнения системы (4.213) дают для частоты малых колебаний $\omega$ уравнение
\[
B C \omega^{2}=(A-C)(A-B) p_{0}^{2},
\]

из которого мы заключаем, что решение (4.210a) устойчиво при условии, если $A$ будет наибольшим или наименьшим из трех главных моментов инерции. Вращения вокруг двух главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему моментам инерции, являются, таким образом, устойчивыми равновесными вращениями, тогда как вращение вокруг третьей главной оси, с которой связан промежуточный главный момент инерции, является неустойчивым равновесным движением.

Второй частный случай, который нас интересует, – это случай, когда $A=B
eq C$. Последнее уравнение (4.207) становится совсем простым:
\[
\dot{C} \dot{r}=0, \text { или } r=\text { const }=r_{0} .
\]

Полагая $A=B$ в первых двух уравнениях, понучим:
\[
\begin{array}{l}
A \dot{p}+(C-A) q r_{0}=0, \\
A \dot{q}+(A-C) p r_{0}=0 .
\end{array}
\]

Решения (4.216) имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
p=p_{0} \cos \left[(C-A) r_{0} t / A\right] . \\
q=q_{0} \sin \left[(C-A) r_{0} t / A\right] .
\end{array}
\]

Полученное решение дает прецессию вектора $\omega$ вокруг оси $Z$. Это можно усмотреть также, записав уравнение движения в виде:
\[
\dot{\omega}=-[\Omega, \omega],
\]

где $\boldsymbol{\Omega}$ – вектор с компонентами 0,0 и $(C-A) r_{0} / A$.
Земля дает нам хороший пример тела, для которого $A=B$. Для Земли $(C-A) / A$ составляет около $1 / 300$, а $r_{0}$ имеет порядок 1 сутки $^{-1}$. Таким образом, период прецессии составляет около одного года.

Теперь мы займемся некоторыми случаями, когда уже есть моменты сил. Первый из них – тяжелый симметричный волчок. Имеется в виду тело, у которого $A=B$, а одна из точек оси симметрии закреплена. Если обозначить через $l$ расстояние между точкой закрепления и центром масс волчка, через $m$-массу волчка, потенциальная энертия волғка запинется в виде:
\[
U=W \cos \theta, \quad W=m g l,
\]

где $g$-ускорение силы тяжести (которое в этой задаче считается константой) и где ось $z$ направлена по вертикали, так что $\theta$ будет одним из эйлеровских углов.
Кинетиџеская энергия волчка запишется в форме:
\[
T=\frac{1}{2} A\left(p^{2}+q^{2}\right)+\frac{1}{2} C r^{2},
\]

или же, если воспользоваться (4.103),
\[
T=\frac{1}{2} A\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{1}{2} C(\dot{\varphi} \cos \theta+1)^{2} .
\]

Лагранжиан задачи теперь уже выглядит так:
\[
L=\frac{1}{2} A\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{1}{2} C(\dot{\varphi} \cos \theta+\psi)^{2}-W \cos \theta,
\]

и мы сразу обнаруживаем в нем две цикличесиие координаты $\varphi$ и $\psi$, так что
\[
\begin{array}{l}
p_{\psi}=\text { const }=C(\dot{\varphi} \cos \theta+\psi), \\
p_{\varphi}=\text { const }=A \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta+C \cos \theta(\dot{\varphi} \cos \theta+\psi) .
\end{array}
\]

Первое из этих уравнений эквивалентно равснству $\mathrm{Cr}=\mathrm{const}$, которое следует из последнего уравнения Эйлера, поскольку $A=B$ и $\mathscr{H}_{3}=0$.

В задачу входят три степени свободы, и следует ожидать щесть постоянных интегрирования. Две из них мы уже пашли, это $p_{\psi}$ и $p_{\varphi}$, а третьей будет энергия $E$ :
\[
E=\frac{1}{2} A\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{1}{2} C(\dot{\varphi} \cos \theta+\psi)^{2}+W \cos \theta \text {. }
\]

С помоцью (4.223) монно исключить $\dot{\varphi}$ и $\psi$ :
\[
E=\frac{1}{[2} A \dot{\theta}^{2}+\frac{\left(p_{\varphi}-p_{\psi} \cos \theta\right)^{2}}{2 A \sin ^{2} \theta}+\frac{p_{\psi}^{2}}{2 C}+W \cos \theta .
\]

Последнее уравнение может быть проинтегрировано:
\[
t=\int_{z(0)}^{z(t)}[f(z)]^{-1 / 2} d z
\]

где введены обозначения
\[
\begin{array}{l}
f(z)=\left(1-z^{2}\right)(\alpha-a z)-(\beta-b z)^{2} \\
C A \alpha=2 C E-p_{\psi}^{2}, A \beta=p_{\varphi}, A a=2 W, A b=p_{\psi},
\end{array}
\]

a Takye
\[
z=\cos \theta .
\]

В принипе из уравнения (4.226) можно пай 0 в зависимости от времени. Из (4.223) мы пожем уже пайти $\varphi$ и $\psi$ как функции времени. Все три угла выражаются через элиитическне интегралы. Не так ук интересно обсуждение полного решения во всех деталях, по фнзичский смысл решения можно понять из (4.226). Функция $f(z)$ представляет собой кубический нолином относнтельно $z$. и ее поведение вндно на рис. 20. Из (4.228) следует, что зичения $z$ лежат в интервале между -1 н +1 . В этих точках функция $f(z)$ не полокительна [см, 4.227)].

Из (4.226) следует, что (z) не может быть отриатыт ной с физической точки зрения. Но это занит, что значения $z$ лекат между значенями $z_{1}$ и $z_{2}$ нли что зичения $\theta$ заключены в соответствуюши прелетах $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ : ось волчка обнаруживает нырацию. Физически возможные пределы изменения $z$ часто оказығаются еце более ограниченными, чем это предполагалось до сих пор во всех наших рассуждения. Если, например, мы нмеем дето с. обынным волчком на столе, то угол о всегда должен быть меньше $\pi / 2$ и $z$ должно быть полокительним.

В общем случае $\dot{\varphi}$ не равно нулю; это соответствует прецессии волчка. Возможное движение иллюстрируется на рис. 21 . Пересечение оси волчка со сферой, пентр которой находится в точке закрепления волчка, описывает пекоторую кривую типа изображенного на рис. 21 . Окружность $A B C$ соответствует углу $\theta=0_{2}$, а окружность $D E F-$ углу $\theta=\theta_{1}$.

Ось Земли обнаруживает и нутацию, и прецессию. В этом случае врацательные моменты, действующие на земную ось, обусповлены силами притяжения со стороны Солнан II Пуны. Для натата мы рассмотрим тотыко влияинс Сонна, Ренение задачи удобно проводить, исходя
из уравнения движения, промежуточного между уравнениями Эйлера (4.207) и уравнениями (4.112). Вместо того чтобы пользоваться системой координатных осей, неподвижных в пространстве, (4.112), или же жестко связанных с Землей, (4.207), мы воспользуемся несколько иной системой (см. рис. 22): ось $\zeta$ направляется вдоль оси Земли, ось $\xi$-вдоль линии узлов, т. е. пересечения экваториальной плоскости Земли с плоскостью орбиты Земли при ее движении вокруг Солнца (эта плоскость, называемая плоскостью эклиптики, конечно, в той же степени является и плоскостью солнечной орбиты при движении Солнца вокруг Земли; для обсуждаемой темы удобнее

Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.
Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. $E$-центр Земли, $S$ – некоторое положение Солнца на его орбите вокруг Земли, $E \Omega$ – линия узлов.

именно последняя точка зрения). Что касается оси $\eta$, то она выбирается так, чтобы оси $\xi, \eta$, $\xi$ составляли правую тройку ортогональных осей.
Уравнения движения запишутся теперь так:
\[
\dot{J}+\left[\omega_{0}, J\right]=\vec{e},
\]

где через $\omega_{0}$ обозначен вектор угловой скорости осей $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ (компоненты этого вектора в системе $\xi, \eta, \zeta$ мы обозначим через $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}$ и $\omega_{\xi}$ ). Поскольку ось $\zeta$ направлена по оси симметрии Земли, справедливо соотношение (4.120), и можно написать:
\[
J_{\xi}=A p, \quad J_{\eta}=A q, \quad J_{\zeta}=C r,
\]

где мы считаем, что $B=A$, а $p$, q и $r$-компоненты угловой скорости Земли.

Компоненты момента силы $\overrightarrow{\text { ett }}$ :омно иейт по формуле
\[
\vec{A}=[X, F] \text {, }
\]

где $X$-радиус-вектор Солнц, записаний в спетеме $\xi$, $\eta, \zeta$ (его компонентам будут $X, Y, Z$ ), а $F$-сню, действующая со стороны Солнца на Землю. Lля того чтобы опредепить $F$, мы заменаем, цто она может бй запнсана в виде:
\[
F=V_{X} U(X),
\]

где $U$-гравитацюниый потенцил, создаваемый Землей, а $
abla_{X}$ – вектор градиента с компонентами $\frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial Y}, \frac{\partial}{\partial Z}$. Запсывая (4.232), мы пспользовани третий закон Ньютона. Потенциал $U$ определяетея нитегралом:
\[
U(X)=-G M: \int \frac{\rho(x) d^{3} x}{|x-X|},
\]

где $\rho(x)$ – плотность вещества в тогке $x$ где-то внутри Земли, $G$-гравітационная постоянная, а $M_{3}$ – масса Солица. Разлагая модуль $: \boldsymbol{x}-\left.\boldsymbol{X}\right|^{-1}$ по степеням $\boldsymbol{x} / X^{\prime}$, мил получим с точностью до членов порядка $R^{-3}\left(R=X_{1}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
U=-\frac{G M M_{2}}{R}+ \\
+\frac{G M}{R^{3}}\left[-\left(\alpha+\frac{1}{2} \gamma\right)+\frac{3}{2} \frac{\chi^{2}+\gamma^{2}}{R^{2}} \alpha-\frac{3}{2} z^{2} \gamma\right] \\
\end{array}
\]

пе через $M$ обозначена масса Зぇли, а коэфриценги о и $\gamma$ опрецеляются по формулам
\[
\alpha=\int \rho x^{2} d^{2} x^{4}=\int \rho j^{2} d^{3} x, \quad \gamma=\int \rho z^{2} d^{3} x .
\]

Испоизуя соотноиения
\[
A=B=\alpha+\gamma, \quad C=2 \alpha,
\]

мы полущин:
\[
U=-\frac{G M M_{i}}{R}-G M_{3}(C-A) \frac{X^{2}+Y^{2}-2 Z^{2}}{2 R^{5}} .
\]

Первий член не дает вклада в $\overrightarrow{\mathscr{A l}}$, а из второго чдена с помощьо (4.231), (4.232) и (4.237) монно полуиить:
\[
\mathscr{A}_{t}=\frac{3 O M_{2}(C-A) Y Z}{R^{2}}, \quad \mathscr{H}_{\eta}=\frac{3 G M_{2}(A-C) X Z}{R^{3}}, \quad \mathscr{H}_{\xi}=0 .
\]

Обозначим через $\chi$ угол между $E S$ и осью $\xi$ (т. е. сол нечную долготу; см. рис. 22), а через $\delta$ – угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью. Тогда, принимая во внимапие (4.101), можно написать:
\[
X=R \cos \chi, Y=R \sin \chi \cos \delta, Z=R \sin \chi \sin \delta . \text { (4.239) }
\]

Эти формулы поясняются на рис. 23 ; последний рисунок аналогичен рис. 18 , если на рис. 18 считать $\theta=\delta$, $\psi=\chi$ и $\varphi=0$; следует, конечно, помнить, что оси $X Y Z$ на рис. 18 жестко связаны с твердым телом, тогда как теперь только ось $\zeta$ жестко связана с Землей, а линия узлов вращается в $\xi \eta$-плоскости; сами же оси $\xi, \eta$ поворачиваются относительно Земли.
Полагая
\[
K=3 G M_{\circlearrowleft}(C-A) / R^{3},
\]

Рис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Земли определястся углами $\delta$ (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и $\chi$ (солнечная долгота).

можно переписать уравнение (4.229) в компонентах следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
A \dot{p}+C r \omega_{\eta}-A q \omega_{5}=K \sin ^{2} \chi \sin \delta \cos \delta, \\
A \dot{q}+A p \omega_{5}-C r \omega_{5}=K \sin \chi \cos \chi \sin \delta, \\
C \dot{r}+A q \omega_{5}-A p \omega_{\eta}=0 .
\end{array}
\]

Чтобы найти компоненты $\boldsymbol{\omega}_{0}$, мы заметим, что единствениы различием между системой осей $\xi, \eta, \zeta$ и системой осей, жестко связанных с главными осями инерции Земли, будет то, что система $\xi \eta \zeta$ поворачивается вокруг оси $\zeta$ относительно второй системы. Но это значит, что
\[
\omega_{\xi}=p, \quad \omega_{\eta}=q, \quad \omega_{g}=r-\psi,
\]
т. е. $\omega_{g}
eq r$.
Из третьего уравнения (4.241) и равенств (4.242) следует:
\[
r=\text { const }=\Omega,
\]

где через $\Omega$ обозначена угловая скорость суточного вращения Земли.

На этой стадии разумно ограничиться приолиженными рсшениями уравнений (4.241). Это можно сделать, если вспомнить, что в первом приближении $\omega_{\zeta}=0, p=0$ и $q=0$ (положение земной оси по отношению к плоскости эклиптики меняется не слишком заметно), так что членами второго порядка от этих величин можно пренебречь. В том же самом приближении можно пренебречь первыми производными по времени от $p$ и $q$. Действительно, можно показать, что $\dot{p}$ и $\dot{q}$ меньше, чем $q$ илн $\omega_{2}$, на множитель порядка отношения периода обращения Солнца вокруг Земли к периоду обрацения Земли вокруг ее собственной оси [см., например, $A$. Вебстер, Механика материалыных точек, твердых, упругих и жидких тел, § 96, ГТТИ, 1933]. Пренебрегая всеми членами высшего порядка, мы получим из двух первых уравнений (4.241):
\[
\begin{array}{l}
p=-(K / C \Omega) \sin \chi \cos \chi \sin \delta, \\
q=(K / C \Omega) \sin ^{2} \chi \sin \delta \cos \delta .
\end{array}
\]

Из сопоставления рис. 18 и 23 и формул (4.103) следует, что, положив $\psi=0, \theta=\delta$,
\[
\begin{array}{l}
\dot{\delta}=-(K / C \Omega) \sin \chi \cos \chi \sin \delta, \\
\dot{\varphi}=(K / C \Omega) \sin ^{2} \chi \cos \delta .
\end{array}
\]

Правильная аппрокснация требует, чтобы мы записали для солнечной долготы $\chi$ :
\[
\chi=\lambda_{0}+\omega t,
\]

где $\omega$ соответствует периоду в один год. Заметим, что среднее по времени от велниниы да дае нуль: в нашем прибликении никакого секулярного вклада в нјтацию земной оси нет. Для секулярной прецессии мы получим выражение
\[
\overline{\dot{\varphi}}=K \cos \delta / 2 C \Omega,
\]

где мы заменили член $\sin ^{2} \chi$ его средним по времени, равным половине.

До сих пор мы учитывали только влияние Солнца. Аналогичные вычисления можно провести для действия Луны на Землю. Так как лунная орбита расположена практически в плоскости эклиптики, то в первом приближении можно просто заменить $K$ на $K^{\prime}$, где $K^{\prime}$ получается из (4.240), где $M_{\odot}$ п $R$ заменятся на массу Луны и расстояние от Земи до Луны соответственно. Масса Луны значительно меньше, чем масса Солнца, однако Луна расположена нампого ближе к Земле, так что величина $K^{\prime}$ почти вдвое превосходит $K$.
Найдем период прецессии согласно (4.247):
\[
\begin{array}{l}
\frac{K \cos \delta}{2 C \Omega}=\frac{G M}{R^{3}} \frac{1}{\Omega} \frac{C-A}{C} \frac{3 \cos \delta}{2}= \\
=\frac{3 \cos \delta}{2} \frac{\omega}{\Omega} \frac{C-A}{C} \omega \approx \frac{1}{80000}(\omega,
\end{array}
\]

где использован третий закон Кеплера (1.246) и следующие численные значения: $C /(C-A)=300, \Omega / \omega=365$, $\delta=23^{\circ}$. Различие между получаемым таким образом периодом (около 80000 лет) и наблюдаемым периодом (26000 лет) легко объясняется влиянием Луны.