1. Теорема Эйлера (к главам 2, 5).

Функция $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ называется однородной порядка $s$, если она удовлетворяет условию: для любого $\lambda$ справедливо тождество
\[
f\left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots, \lambda x_{n}\right)=\lambda^{s} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Дифференцируя левую и правую части этого тождества по $\lambda$, получим:
\[
\frac{\partial f}{\partial\left(\lambda x_{1}\right)} x_{1}+\frac{\partial f}{\partial\left(\lambda x_{2}\right)} x_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial\left(\lambda x_{n}\right)} x_{n}=s \cdot \lambda^{s-1} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Полагая в этом равенстве $\lambda=1$, мы приходим к теореме Эйлера:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} x_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} x_{n}=s \cdot f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),
\]
т. с. сумма всех произведений первых произзодных однородной функции порядка $s$ на соответствующие переменные равна самой функции, умноженной на порядок однородности.
2. Теорема о решениях системы однородных уравнений (к 2.2. $3, \S 1)$.
Пусть задана система $n$ однородных уравнений с $n$ неизвестными:
Если определитель этой системы
\[
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdot \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|
\]

отличен от нуля, система имеет единственное решение – нулевое, т. е. $x_{1}=0, x_{2}=0, \ldots, x_{n}=0$.

Если же определитель системы $D$ равен нулю, то система имеет бесчисленное множество ненулевых решений, т. е. решений, отлич ных от нулевого.

Напомним, что если сои́рать все члены определителя, содержащие определенный элемент $a_{i k}$, и вынести этот элемент за скобки, то в скобках окажется выражение, называемое адъюнктой элемента $a_{i k}$. Адъюнкта элемента $a_{i k}$ обозначается через $A_{i k}$.

Если из определителя $D$ вычеркнуть $i$-ю строку и $k$-й столбец, т. е. вычеркнуть строку и столбец, в которые входит элемент $a_{i k}$, то, сохранив расположение оставшихся строк и столбцов, мы получим определитель ( $n-1$ )-го порядка, называемый минором определителя $D$. Этот минор соответствует вычеркиванию элемента $a_{i k}$, и поэтому минор обозначается через $M_{i k}$. Приведем схему образования минора:
Можно показать, что
\[
A_{i k}=(-1)^{i+k} M_{i k} .
\]

Если $D=0$, а хотя бы одна из адъюнкт отлична от нуля, то из системы (*) можно найти единственное решение для отношений $\frac{x_{1}}{x_{n}}, \frac{x_{2}}{x_{n}}, \ldots, \frac{x_{n-1}}{x_{n}}$, если, например, адъюнкта $A_{n n}
eq 0$.

Пусть существует решение однородной системы ( $D=0$ ) в виде значепий
\[
x_{1}=\alpha_{1}, x_{2}=\alpha_{2}, \ldots, x_{n}=\alpha_{n},
\]

удовлетворяющих системе (*); тогда все остальные решения найдутся чз условий
\[
\frac{x_{1}}{x_{n}}=\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{n}}, \frac{x_{2}}{x_{n}}=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{n}}, \ldots, \frac{x_{n-1}}{x_{n}}=\frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{n}},
\]

которые можно переписать так:
\[
x_{1}: x_{2}: \ldots: x_{n}=\alpha_{1}: \alpha_{2}: \ldots: \alpha_{n} .
\]

Отсюда видно, что решения определены с точностью до одной постоянной, скажем $\alpha_{n}$; чтобы получить все решения системы (*), достаточно знать лишь одно из решений.

Можно доказать, что в качестве решения можно выбрать адъюнкты какой-либо строки определителя (**). Следовательно, одно из решениї системы (*) будет
\[
x_{1}=A_{n 1}, x_{2}=A_{n 2}, \ldots, x_{n}=A_{n n} \quad\left(A_{n n}
eq 0\right),
\]

а все остальные найдутся из равенств
\[
x_{1}: x_{2}: \ldots: x_{n}=A_{n 1}: A_{n 2}: \ldots: A_{n n} .
\]

Ясно, что одному из нензвестных может быть приписано произво.тьное значение.