Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Теорема Эйлера (к главам 2, 5). Функция $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ называется однородной порядка $s$, если она удовлетворяет условию: для любого $\lambda$ справедливо тождество Дифференцируя левую и правую части этого тождества по $\lambda$, получим: Полагая в этом равенстве $\lambda=1$, мы приходим к теореме Эйлера: отличен от нуля, система имеет единственное решение — нулевое, т. е. $x_{1}=0, x_{2}=0, \ldots, x_{n}=0$. Если же определитель системы $D$ равен нулю, то система имеет бесчисленное множество ненулевых решений, т. е. решений, отлич ных от нулевого. Напомним, что если сои́рать все члены определителя, содержащие определенный элемент $a_{i k}$, и вынести этот элемент за скобки, то в скобках окажется выражение, называемое адъюнктой элемента $a_{i k}$. Адъюнкта элемента $a_{i k}$ обозначается через $A_{i k}$. Если из определителя $D$ вычеркнуть $i$-ю строку и $k$-й столбец, т. е. вычеркнуть строку и столбец, в которые входит элемент $a_{i k}$, то, сохранив расположение оставшихся строк и столбцов, мы получим определитель ( $n-1$ )-го порядка, называемый минором определителя $D$. Этот минор соответствует вычеркиванию элемента $a_{i k}$, и поэтому минор обозначается через $M_{i k}$. Приведем схему образования минора: Если $D=0$, а хотя бы одна из адъюнкт отлична от нуля, то из системы (*) можно найти единственное решение для отношений $\frac{x_{1}}{x_{n}}, \frac{x_{2}}{x_{n}}, \ldots, \frac{x_{n-1}}{x_{n}}$, если, например, адъюнкта $A_{n n} Пусть существует решение однородной системы ( $D=0$ ) в виде значепий удовлетворяющих системе (*); тогда все остальные решения найдутся чз условий которые можно переписать так: Отсюда видно, что решения определены с точностью до одной постоянной, скажем $\alpha_{n}$; чтобы получить все решения системы (*), достаточно знать лишь одно из решений. Можно доказать, что в качестве решения можно выбрать адъюнкты какой-либо строки определителя (**). Следовательно, одно из решениї системы (*) будет а все остальные найдутся из равенств Ясно, что одному из нензвестных может быть приписано произво.тьное значение.
|
1 |
Оглавление
|