1. Твердое тело, способное свободно вращаться около фиксированной точки $O$, находится в покое, когда на него действует импульсная пара сил ${ }^{*}$ ) с компонентами $\varepsilon, \varepsilon, 1$ вдоль главных осей инерции тела
*) Импульсной парой называется вращающий момент, действ ю. щий в течение бесконечно малого промежутка времени: вращающий момент $=$ постолнной $\times \delta\left(t-t_{0}\right)$, где через $t_{0}$ обозначен момент времени, когда прилагается вращающий момент.

в точке $O$; предполагаетел, что $\varepsilon-$ малая величнна. Предполагая, эо $C>B>A$, показать, что накпон мгиовенной оси вращения относптельно оси $C$ в постедующем движении с точностью до первого порлдка по в всегда меньше или равен $k \varepsilon$, где $k$ – число, зависящее только от отношений $C / A$ н $B / A$. Найти чисю $k$, если $C=3 A$ и $B=2 A$.
2. Главные моменты инерцин твердого тета относительно некоторой заданной тощки равны $A, B$ и $C \quad(A<B<C)$, а соответствуюние компоненты угловой скорости- $\omega_{1}$, $)_{2}$ и $\omega_{3}$. Гloказать, что выражения $A(C-A) \omega+B(C-B) \omega$ и $C(C-A) \omega+B(B-A) \omega$ являютя интегралами движенн. Допустив, что эти интегралы выражсиы через отношенне $C-B$ к $B-A$ и, кроме того, заланы начальные условия дпя $\omega_{1}: \quad \omega_{1}=\omega_{\mathrm{6}}$ н $\dot{\omega}_{1}=0$ прн $t=0$, найти завнсимость $\omega_{1}$ от времени.
3. Пользуяс функцней Рауса, исключить цктические коорди наты для случая симметричного волчка, врдцаюцегося вокруг неподвижной точки, и толучить диференцнальне уравненне, явлающееся уравпением движения дія нецнклических коорднит.
4. Пусть $T$-кинстическая эперия вращаюцегося твердого тела, а $J$-величина его момепта импульса [ср. выраженяя (4.208) и (4.209)]. Lоказть, что если $J^{2}=2 T C$ (1 – $-\varepsilon$ ), где $\varepsilon$– мылая величина, и если $A>B>C$, то $\omega_{1}$ н $\omega_{2}$ совершают простые гармонические колебания. Рассчитать пернод этого дннжения и найти поправку с точностью до чіенов, пропорциональных $\sqrt{\varepsilon}$, к амплитуде колебаний с частотой $\omega_{1}$.
5. Рассмотреть волдок массы $M$, центр масс которого при вертикальном положении волчка находится па высоте $h$; акспалыный момент нирции волчка равен $C$, поперечный момент инерции $A$; волчок врдщется на шероховатой плоскости, ось волчка направлена по вертикалн, $n$ – угловая скорость волчка.

Показать, что ести $C^{2} n^{2}<4 A M g h$, то возможным движением волизи вертикали будет двнжение, при котором проекция центра масс волчка на горизонтальную плоскость приблизительно описывается уравнением логарифмической спирали:
\[
r=r_{0} \exp \frac{\sqrt{4 A M g h-C^{2} n^{2}}}{C n} \theta .
\]
6. Твердый однородный прямой круговой конус массы $M$ и высотой $h$ пмеет при вершине угол полураствора $\alpha$. Конус свободно вранается вокруг своей оси симметрии. В некоторый момент времени одна из точек окружности основания конуса закреплястся. Доказать, что ось, вокруг которой будет еращаться конус, составляет угол $\beta$ с осью конуса, причем $\beta=5 \operatorname{tg} \alpha \cdot\left(2+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha\right)$.
7. На селеру радиуса $a$ и массы $M$ помещсны грузы так, что lентр масс системы по-прежнему совпадает с центром сферы, но главые моменты пнерции равны уже $A, A, C$. Показать, что воз. ஊожно устойчивое пвижение, при котором сфера катится по шероховатой горнзонаиыной поскостн, так что ось $C$ (т. е. та ось, котоpoí соотзетствует момент инерцин $C$ ) нактонена под постоянным углом $\alpha$ и с постолиной угловой скоростью прецессии $\omega$ описываст конус вокрут вертиканиой оси, ироходлщей на расстолни $c$ от центра сфєры. Найти компоненту угловой скорости $\omega$ вдоль осп $C$ для этого устойчивого движения.
8. Один конец оси симметрнчного волчка закреплен, а другой свободно скользит по легкому направляющему желобу, выполненному в форме окружности, лежащей в вертикальной плоскости с центром в точке, где находится закрєпленный конец оси; эта окружность может вращаться вокруг вертнкального днаметра, который неподвижен. Показать, что если жеюб врацается относительно своего неподвижного вертнкального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega$, ro $(K=$ const $)$
\[
A \dot{\theta}^{2}=K+2(C n \omega-M g h) \cos \theta-A \omega^{2} \cos ^{2} \theta .
\]

Здесь $C$-аксиальный момент инерции волчка; $n$-угловая скорость; $\theta$ – соответствующий угол Эйлера.

Показать, что можно выбрать начальные условия таким образом, что $\theta$ монотонно уменьшается от своего начального значения $\alpha(>0$ ) и стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Найти $\theta$ как функцно времени для этого случая.
9. Симметрнчный водчок, масса коророго равна $M$, расстолиие центра масс от точки опоры $h$, акснальныї момент инерции $C$ и поперечный момент инерции $A$, вращается на шероховатой горизонтальной плоскости. Его ось составляет угол $\theta_{0}\left(\theta_{0}
eq 0\right)$ с вертикалью, ориентированной вверх. Задана угловая скорость волчка $n$ относительно его оси, причсм $C^{2} n^{2} \geqslant 4 A M g h$. Гоказать, что центр масс опускается вниз примерно на расстояние $2 M g h^{2} A \sin ^{2} \theta_{0} / C^{2} n^{2}$ и что наблюдается прецессия волчка с угловой скоростью
\[
\frac{M g h}{C n}\left(1-\cos \frac{C n t}{A}\right) \text {. }
\]
10. Круговой диск радиуса $a$ вращается на гладком столе вокруг вертикального диаметра. Найти условне устойчнвости движения.
11. Тонкий диск радиуса $a$ и массы $m$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг нормали, проходящей через его центр, который закреплен. Показать, что небольшое возмущение движения диска приведет к тому, что ось диска начнет прецессировать с частотой $\omega$ в системе отсчета, связанной с телом, и с частотой $2 \omega$ в лабораторной системе.

Допустив, џто движение возмущено конечным моментом импульса $J$ относительно диаметра, пайти макснмальный угол отклонения оси.
12. Тонкий круговой диск радиуса $a$ катится по шероховатому горизонтальному столу. Пусть $\theta$ п $\psi$-угловые координаты его оси, отнесенные к вертикали и заданной вертикальной плоскости, а $n-$ угловая скорость диска относительно его оси. Найти уравнения движения для величин $\theta, \psi$ и $n$.

Найти условия устойчивості движения диска, если диску сообщено вращение с угловой скоростью $\omega$ отиосительно вертнкального диаметра.

(5.102) и огределением (5.103), мы убедимся, что
\[
\delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial r_{k}} \delta r_{k}=\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\sum_{k} p_{k} \delta r_{k},
\]

так что
\[
\delta H=\sum_{k} r_{k} \delta p_{k}-\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}=\sum_{k} \dot{q}_{k} \delta p_{k}-\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k} .
\]

Отююда следует, что
\[
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Полученные уравнения движения называются уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения.

При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было возможно, совокупностью координат $q_{k}, r_{k}$, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы оперируем с набором $2 s$ независимых переменных. Очень часто, когда излагают теорию уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, на это обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и (5.106) можно увидеть:
\[
\begin{array}{c}
H=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-L, \\
\delta H=\sum_{k} p_{k} \delta \dot{q}_{k}+\sum_{k} \dot{q}_{k} \delta p_{k}-\delta L, \\
\delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k}=\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\sum_{k} p_{k} \delta \dot{q}_{k} .
\end{array}
\]

Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме того, мы повсюду предполагаем, что $L$ не зависит от времени явно; если это так, то это будет справедливо и по отношению к $H$.

Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104), (5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [или (2.410)], (2.406), (2.407) и (2.409) – д другой.

Выясним теперь физический смысл $H$. Еще раз допустим, что кинетическая энергия $T$-однородная квадратичная функция $\dot{q}_{k}$ и что потенциальная энергия $U$ совсем не зависит от $\dot{q}_{k}$. Из теоремы Эйлера об однородных функциях мы получим:
\[
2 T=\sum_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}=\sum_{k} p_{k} \phi_{k}
\]

19. Частица массы $m$ может свободно перемещаться по гладкому горизонтальному столу, закрепленному на поверхности Земли на широте $\lambda$. Движение пропсходит в потенциальном поле $U=\frac{1}{2} m p^{2} r^{2}$, где через $r$ обозначено расстояние от точки $O$. В момент времени $t=0$ частице, находя!ейся в точке $O$, сообщается скорость $u$. Показать, что при подходяцем выборе полярных координат уравнение траектерии частицы будет иметь вид:
\[
p r=u \sin \left(\frac{p \theta}{\omega \sin \lambda}\right),
\]

где пренебрежено квадратами отношения $\omega / p$; $\omega$-угловая скорость вращения Земли.
20. Исследовать движение ротора Фуко, представляющего собой твердый цитид, врашаюцйся вокруг своей оси и подвешенный за ось в точке, проходяцей через центр тяжести цилиндра. Ось ориентирована в направлении с востока на запад.
21. Гироскопитеский компис предстапляет собой гироскоп, врацающийся вокруг своей оси и способный свободіо поворачиваться в горизонтальной плоскости. Предполагая, что центр гироскопа покоится относительно врацающенся Земли, показать, что ось гироскопа, если она направлена на север, может сохранять свое положеиие относительно Земли.

Угловая скорость гироскопа отпосительно его оси равна $n$, угловая скорость Земли (), причем $n \gg($. Гоказать, что если ось слегка возмущена, то она будет колебаться относительно истинного направпения на север с периодом, приблизительно равным $2 \pi \sqrt{\operatorname{AlC} \cos \cos \lambda}$, где $A$ и $C$-поперечный и аксиальный моменты инерии гироскопа, а $\lambda$-шнрота точки, где находится гироскоп.