1. Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного упругого стержня, аппроксимируя эту систему дискретной системой точек равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо малой массы. Предполагается, что силы чисто гармонического характера (т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между точечными массами стремятся к нулю, и получить этим способом волновое уравнение (8.101).
2. Показать, что в предельном случае очень длинных волн распространение продольных волн вдоль бесконечной линии эквидистантно расположенных атомов, упруго взаимодействующих только с ближайшими соседями, с чередующимися массами $m$ и $M$, соответствует распространению продольных волн вдоль эквивалентной однородной линии.
8. Струна длиною $2L$ растянута до натяжения $T$ между двумя фиксированными точками $x=-L$ и $x=L$. Плотность струны в точкө $x$ определяется формулой $\frac{m}{(2L-|x|{)}^2}$. Найти уравнение, которому должна удовлетворять частота малых поперечных колебаний.
4. Однородная струна растянута до натяжения $T$ между точками $x=0$ и $x=l$. Небольшая переменная поперечная сила величиной $F(x,t)$, отнесенная к единице длины, приложена в момент $t$ в точке $x$. Найти поперечное смещение в зависимости от $x$ и $t$.

Участку струны $h-\delta <x<h+\delta$ молотком сообается поперечная скорость $v$, тогда как остальная часть струны в начальный момент времени остается в покое. Найти смещения точек струны в последующие моменты времени и рассмотреть специально случай, когда отношение $h/l$ является целочисленным.
б. Один из концов однородной гибкой цепи длиной $l$ прикреплен $\mathbf{x}$ вертикальному стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью $\mathrm{\Omega }$. Если пренебречь влиянием силы тяжести, то можно считать, что цепь описывает круг в горизонтальной плоскости. Используя вариационный принцип Гамильтона, получить волновое уравнение для малых поперечных колебаний; найти частоту основной (фундаментальной) моды колебаний.
\») Cu., например, H. A. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland Publishing Company, 1957, r.. 8.