Мы начнем с того, что займемся одномерной системой. Допустим, что движение периодическое. Периодическое движение может осуществляться двумя различными путями. Либо различным значениям $q$ соответствуют различные состояния системы и обе функции $p$ и $q$ являются периодическими функциями времени: спустя период $\tau$ обе функции $p$ и $q$ возвращаются к тем же самым значениям (либрация; см. рис. 29, ); либо всякий раз, когда координата $q$ возрастает на определенную постоянную величину $q_{0}$, повторяется то же самое состояние системы: через период $\tau$ величина $p$ принимает то же самое значение, но величина $q$ возрастает на $q_{0}$ (вращение; см. рис. 29,6 ). В одной и той же системе могут осуществляться и либрация, и вращение. Простой маятник, например, совершая малые колебания, обнаруживает либрацию; однако если энергия, сообщенная маятнику, достаточна, чтобы он перекидывался через верхнюю точку, он будет вращаться. Вообще говоря, первый случай обычно имеет место тогда, когда
система движется между двумя состояниями, в каждом из которых кинетическая энергия обращается в нуль; во втором же случае всегда можно за координату $q$ выбрать угол и так выбрать ее масштаб, чтобы $q_{0}$ было равно $2 \pi$.

Допустим, что решение уравнения Гамильтона — Якоби дия нашей системы найдено и что $\alpha$ и $\beta$, возникающие в результате решения, — новые канонические координаты.
Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в) траекторни простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.

Мы знаем, что в этом случае $\beta$ должно быть линейной функцией времени $t$ [см. (6.102)]:
\[
\beta=\gamma\left(t-t_{0}\right) .
\]

Тогда у нас открываются две возможности:
либрация:
\[
q(\beta+\gamma \tau)=q(\beta)
\]

вращение: $\quad q(\beta+\gamma \tau)=q(\beta)+2 \pi$.
Тогда можно совершить преобразование от $\alpha$ и $\beta$ к новой совокупности канонических переменных $J$ и $w$, таких, чго
\[
w=\beta / \gamma \tau
\]

Уравнения (6.203) представляют собой «точечные» преобразования типа (5.221, IV) или (5.203) и соответствуют, таким образом, каноническому преобразованию. Действительно, оно порождается функцией
\[
S^{\prime}=J \beta / \gamma \tau,
\]

из которой следует (6.203) и равенство
\[
J=\alpha \gamma \tau .
\]

Мы можем записать теперь (6.202) через переменную w:
либрация: $\quad q(w+1)=q(w)$,
(6.206 a)

вращение: $\quad q(w+1)=q(w)+2 \pi$.
Каноническое преобразование от $p$ и $q$ к $J$ и $ш$ является преобразованием Гамильтона — Якоби; поскольку преобразуемый гамильтониан был функцией только $\alpha$ и поскольку $J$ не содержит $\beta$, преобразованный гамильтониан $\bar{H}$ будет функцией только от $J$. Пусть $\bar{S}(q, J)$ будет функцией Гамильтона — Якоби, порождающей это преобразование, так что
\[
p=\frac{\partial \bar{S}}{\partial q}, \omega=\frac{\partial \vec{S}}{\partial \bar{J}} .
\]

Из этих уравнений вытекает:
\[
\frac{\partial w}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial J} \frac{\partial \vec{S}}{\partial q}=\frac{\partial p}{\partial J},
\]

или же
\[
\frac{\partial}{\partial J} \oint p d q=\frac{\partial}{\partial J} \oint \frac{\partial \bar{S}}{\partial q} d q=\oint \frac{\partial w}{\partial q} d q=\oint d w=1,
\]

где знак $\oint$ указывает на интегрирование по полному периоду и где использовано то обстоятельство, что выбрано так, что оно увеличивается ровно на единнцу за период [см. (6.206)]. Из (6.209) вытекает, что
\[
J=\oint p d q,
\]

а из первого уравнения (6.207) и (6.210) мы видим, что $J$ представляет собой увеличение $\bar{S}$ за период. Мы замечаем также, что $J$-это в точности интеграл действия, взятый за один период. Поскольку размерность $J$ совпадает с размерностью момента импульса, размерность w совпадает с размерностью угла; отсюда можно понять, почему $d$ и w называются переменными «действие — угол».

Гамильтониан оказывдется теперь функцией только $J$, т. е. $E=E(J)$, и из канонических уравнений движения можно получить:
\[
J=\text { const } \quad \text { и } \quad \boldsymbol{v}=\frac{\partial E}{\partial J}=v,
\]

แли
\[
\omega=v\left(t-t_{0}\right) .
\]

Учитывая, что ш за период увеличивается на единицу, мы имеем:
\[
\Delta w=1=v \tau, \text { или } v=1 / \tau,
\]

так что $v=\partial E / \partial J$ является частотой движения. Отсюда ясно, что мокно получить частоту (или период) движения, как только мы нашли гамильтониан как функцию переменной действия $J$, даже не решая уравнений движения [ср. (5.409)].

Мы могли бы ввести $J$ согласно (6.210) без того, чтобы предварительно обсуждать уравнения (6.202), и могли бы таким способом фактически доказать, что величина то изменяется за пернод на единиц. Именно такой подход мы используем, переходя к системам с многими степенями свободы. Едииственные системы, которыми мы станем заниматься, — это системы, обладающие многократной периодичностью, другими словами — периодичные относительно каждой своей координаты $q_{i}$ и для которых уравнение Гамильтона — Якоби может быть решено разделением переменных, так что
\[
S(q, \alpha)=\sum_{i} S_{i}\left(q_{i} ; \alpha_{k}\right) .
\]

Новые переменные (действия) $J_{i}$ вводятся согласно уравнениям
\[
J_{i}=\oint p_{i} d q_{i},
\]

где каждый из интегралов распространяется по периоду соответствующей $q_{i}$; эти нериоды, конечно, вовсе не должны быть одинаковыми. Заметим, что все $J_{i}$ имеют размерность момента импульса или действия. Отметим также, что в том случае, когда $q_{l}$ — циклическая координата, так что соответствующий параметр $p_{i}$ будет константой [см. (2.402)], из (6.215) немедленно следует, что $J_{i}=2 \pi p_{i}$.

Интегрирование в (6.215) ведется по $q_{i}$; но координата $q_{t}$ — единственная из всех координат $q_{k}$, которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому $J_{i}$ будут функциями только $\alpha_{k}$ и не будут содержать $\beta_{k}$. Это означает, что преобразование от $p_{k}$ и $q_{k}$ к $J_{i}$ и $w_{i}$ будет преобразованием Гамильтона — Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану $H$, который будет функцией только $J_{l}$. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона — Якоби $\bar{S}$. Из того, что исходное уравнение Гамильтона — Якоби допускало разделение переменных, и из того, что $J_{i}$ зависят лишь от $\alpha_{k}$, следует, что $\mathcal{S}$ можно записать в виде!
\[
S(q, J)=\sum_{i} S_{i}\left(q_{i} ; J_{k}\right) ;
\]

затем, используя первое из уравнений преобразования,
\[
p_{i}=\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \bar{S}_{l}}{\partial q_{l}}, \quad w_{i}=\frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{i}},
\]

мы видим из (6.215), что $J_{i}$ равны просто возрастанию $S_{i}$ за период.
Из канонических уравнений движения мы получим:
\[
\dot{w}_{i}=\frac{\partial H}{\partial J_{l}}=v_{l}\left(J_{1}, \ldots, J_{s}\right), \text { или } \omega_{i}=v_{i} t+\delta_{i} .
\]

Докажем сейчас, что $v_{i}$ действительно являются частотами движения. Пусть координата $q_{j}$ проходит свой период, тогда как все остальные координаты $q$ остаются неизменными. Тогда мы получаем для приращения $w_{i}$ (индекс $j$ при $\Delta$ и $\delta$ указывает на то, что меняется только $q_{j}$ ):
\[
\begin{aligned}
\Delta_{j} w_{i}=\oint \delta_{j} w_{i}=\oint \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} d q_{j} & =\oint \frac{\partial^{2} \bar{S}}{\partial q_{j} \partial J_{l}} d q_{j}= \\
& =\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint p_{j} d q_{j}=\frac{\partial J_{j}}{\partial J_{i}}=\delta_{i j} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если через $\tau_{i}$ обозначен период, соответствующий координате $q_{i}$, мы с помощью (6.218) и (6.219) получим:
\[
\Delta_{i} w_{i}=v_{i} \tau_{i}=1,
\]

что и доказывает наше утверждение.

В заключение этого параграфа мы рассмотрим два примера: одномерный гармонический осциллятор и задачу Қеплера. Из (6.118), (6.121) и (6.210) мы имеем:
\[
\begin{array}{l}
J=\oint\left[2 m \alpha-m a q^{2}\right]^{1 / 2} d q= \\
=2 \alpha(m / a)^{1 / 2} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta d \theta=2 \pi \alpha(m / a)^{1 / 2}, \\
\end{array}
\]

где мы воспользовались подетановкой $q=\left(2 \alpha_{i}^{\prime} a\right)^{1 / 2} \sin \theta$.
Из (6.221) и (6.115) вытекает, что
\[
E=\alpha=(J / 2 \pi)(a / m)^{1 / 2},
\]

и из (6.211) — что
\[
v=\partial E / \partial J=(2 \pi)^{-1}(a / m)^{1 / 2} .
\]

Мы и в самом деле нашли частоту движения, не прибегая к решению уравнений движения.

В задаче Кеплера мы можем показать, что $J_{1}, J_{2}$ н $J_{3}$ являются линейными комбинациями $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$. Мь получим из (6.215), учитывая (6.139), (6.142) и (6.141):
\[
\begin{array}{l}
J_{3}=\oint p_{i \mathrm{q}} d \varphi=\oint \alpha_{3} d \varphi=2 \pi \alpha_{33}, \\
J_{2}=\int p_{0} d \theta=\int\left[\alpha_{2}^{2}-\left.\left(\frac{\alpha_{3}}{\sin \theta}\right)^{2}\right|^{1_{j} 2} d \theta=2 \pi\left(\alpha_{2}-\alpha_{3}\right),\right. \\
J_{1}=\oint p_{r} d r=\oint\left[2 m E+\frac{2 m e^{3}}{2 \pi \varepsilon_{0} r}-\frac{\alpha_{1}^{2}}{r^{2}}\right]^{1 / 2} d r= \\
=-2 \pi \alpha_{2}+\frac{Z e^{2}}{4 \varepsilon_{0}} \sqrt{\frac{2 m}{-E}}=2 \pi\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) . \\
\end{array}
\]

Из выражения (6.226) сгедует, что энергию $E$ можно выразить через величины $J_{1}$, $J_{2}$ и $J_{3}$ стелующим образом:
\[
E=\frac{-Z^{2} m e^{4}}{\varepsilon e^{2}\left(J_{1}+J_{2}+J_{3}\right)^{2}} .
\]

Мы видим, что в этом случае $v_{1}=v_{2}=v_{3}$. Ничего удивительного в этом нет, поскольку мы имеем дело с замкнутыми орбитами.

Из (6.226) можно усмотреть также одно из преимуществ использования $\alpha_{1}$ вместо $\alpha_{1}^{\prime}$. Все преимущества использования $J_{k}$ станут очевидными в следующем параграфе; здесь же мы обратим внимание только на то, что именно эти величины квантовались в старой квантовой теории по правилам Винсона-Зоммерфельда.

Уравнения (6.225) и (6.226) могут быть по чены прямым интегрированием, однако существуют уда более элегантные пути достижения тех же самых 1 зультатов. Простейший путь вычисления $J_{2}$ состоит в м, чтобы, вспомнив смысл выражения $p_{r} \dot{r}+p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\varphi} \dot{\varphi}$ кан удвоенной кинетической энергии частицы, разбить его на ‘ри части, соответствующие движениям в $r$-, $\theta$ — и $\varphi$-на эавлениях
Рис. 30. Контуры обхода особых точек в комплексной $r$-плоскости, используемые при вычислении интеграла $J_{1}$ в (6.231).

соответственно. Если разбить кинетическую энергию таким образом на три части, соответствующие радиальному движению, поперечному (трансверсальному) движению в плоскости орбиты и движению, перпендикулярному орбитальной плоскости (это движение не дает вклада в кинетическую энергию), то мы получим в ре зультате:
\[
p_{r} \dot{r}+p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\varphi} \dot{\varphi}=p_{r} \dot{r}+p_{\gamma} \dot{\chi}+0,
\]

где через $\chi$ снова обозначена истинная аномалия; поскольку $p_{\chi}$ представляет собой полный момент импульса $M$, мы получим:
\[
p_{\theta} \dot{\theta}=M \dot{\chi}-p_{\hat{\varphi}} \dot{\varphi}=\alpha_{2} \dot{\chi}-\alpha_{3} \dot{\varphi},
\]

откуда следует (6.225), если вспомнить, что траектория замкнутая; в свою очередь это означает, что когда угол $\theta$ проходит свой период, от значения $\pi / 2-i$ до значения $\pi / 2+i$ и обратно, то углы $\chi$ и $\varphi$ увеличиваются на $2 \pi$.

Чтобы вычислить $J_{1}$, можно ввести новую переменную $u$ согласно уравнению
\[
2 r=\left(r_{1}+r_{2}\right)+\left(r_{1}-r_{2}\right) u,
\]

где через $r_{1}$ и $r_{2}$ обозначены максимальное и минимальное значения $r$. Более изящный метод, которым мы обязаны Борну, с помощью которого можно вычислить $J_{2}$,
состоит в том, что интеграл по $r$ рассматривается как интеграл в комплексной плоскости (см. рис. 30). Подинтегральная функция $p_{r}$ двузначна, и поэтому необходимо ввести в $r$-плоскости разрез между двумя точками ветвления $r_{1}$ и $r_{2}$. На рис. 30 ветви выбраны так, что положительный квадратный корень располагается над действительной осью, а отрицательный — под ней. Тогда можно написать:
\[
J_{1}=\oint_{C_{1}} p_{r} d r .
\]

Контур $C_{1}$ охватывает разрез, но, деформируя его в два контура $C_{2}+C_{3}$, мы приходим к двум интегралам, каждый из которых может быть вычислен с помощью теоремы Коши о вычетах. У подынтегрального выражения два полюса $r=0$ и $r=\infty$, так что мы можем написать:
\[
\begin{aligned}
J_{1}= & \oint_{C_{\mathbf{2}}} p_{r} d r+\oint_{C_{s}} p_{r} d r= \\
& =2 \pi i[\operatorname{Res}(\text { при } r=0)+\operatorname{Res}(\text { при } r=\infty)] .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что первый вычет равен $i \alpha_{2}$, а вычислить второй можно, вводя новую переменную $r^{-1}$ и раскладывая в ряд подынтегральное выражение по $r^{\mathbf{1}}$; таким путем мы снова придем к выражению (6.226).