Силы, действующие во многих физических системах, имеют одну характерную особенность – это центральные силы. Центральными силами называются такие силы, которые действуют вдоль линии, соединяющей тело, на которое действует сила, с телом, которое порождает действующую силу. Если ограничиться случаем одной частицы во внешнем поле сил, то центральным полем сил будет такое поле, в котором сила, действующая на частицу, всегда направлена по линии, соединяющей рассматриваемую частицу и некоторую фиксированную точку, называемую центром силового поля. Если выбрать начало координат в центре поля сил, то сила $F$, действуюшая на частицу, будет иметь вид:
\[
\boldsymbol{F}=f(x, y, z) \boldsymbol{x} .
\]

Вообще говоря, такое поле сил вовсе не обязано быть консервативным. Если же оно консервативно, то функция $f$, входящая в (1.201), должна зависеть только о? расстояния от начала координат, т. е. от $r$ :
\[
\boldsymbol{F}=f(r) \boldsymbol{x} .
\]

В этом можно убедиться с помощью соотношения (1.114), справедливого для поля консервативных сил, рассматривая компоненты $\boldsymbol{F}$. Имеем:
\[
F_{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}, F_{y}=-\frac{\partial U}{\partial y}, \quad F_{z}=-\frac{\partial U}{\partial z} ;
\]

с другой стороны, поскольку должно выполняться условие (1.201), мы получим в сферических координатах $r, \theta, \varphi$ выражения
\[
\left.\begin{array}{l}
-\frac{\partial U}{\partial x}=f r \sin \theta \cos \varphi, \quad-\frac{\partial U}{\partial y}=f r \sin \theta \sin \varphi, \\
-\frac{\partial U}{\partial z}=f r \cos \theta,
\end{array}\right\}
\]

из которых следует, что
\[
\frac{\partial U}{\partial r}=-f r, \quad \frac{\partial U}{\partial \theta}=0, \quad \frac{\partial U}{\partial \varphi}=0 .
\]

Из двух последних равенств следует, что функция $U$ зависит только от $r$; из первого равенства мы обнаруживаем, что условие (1.202) будет соблюдено, если определить $U$ в виде:
\[
U(x)=U(r)=-\int^{r} r f(r) d r .
\]

Частными примерами задач с центральной силой являются изотропный гармонический осциллятор и кулоновское или гравитационное поле сил. В первом случае потенциал дается выражением
\[
U=\frac{1}{2} a r^{2},
\]

а во втором – уравнением
\[
U=-k / r .
\]

Если константа $k$, входящая в (1.208), положительна, то мы имеем дело с силой притяжения; если же она отрицательна – с силами отталкивания. Потенциал (1.208) приводит, конечно, к силе, обратно пропорциокальной квадрату расстояния от начала координат.

Орбита (траектория) частицы, на которую действует сила вида (1.201), оказывается плоской, т. е. лежацей в некоторой плоскости. Это видно из следующих соображений (см. рис. 1). Согласно второму закону Ньютона ускорение частицы направлено по той же прямой, по которой направлена действующая на нее сила. Следовательно, как ускорение, так и скорость частицы-в начальный момент и все остальные моменты времени – будут оставаться в плоскости, проходящей через начало координат и начальную скорость частицы. Этот же самый результат можно выразить другими словами: никогда не может появиться компонента ускорения, перпендикулярная плоскости, проходящей через начало координат и скорость частицы, так что частица никогда не выйдет из этой плоскости. Эта плоскость называется орбитальной.
Можно доказать, что орбита частицы, движущейся в поле центральной силы, плоская, рассматривая также момент импульса частицы. Момент импульса частицы относительно начала координат – мы будем обозначать его буквой $M$-определяется соотношением
\[
M=[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}]=[\boldsymbol{x}, m \dot{x}] .(1.209)
\]

Рис. 1. Центральное силовое поле. $O$-центр силового поля; $P$ – точка, где находится частица; $\dot{x}$ – вектор скорости частицы; $\boldsymbol{F}$ – сила, действующая на частицу.

Иногда величину $\boldsymbol{M}$ называют угловым моментом. Этот термин естественно возникает при введении обобщенных координат, о которых речь пойдет в следующей главе.

Производная момента импульса по времени определяется равенством
\[
\dot{M}=[\dot{x}, m \dot{x}]+[x, m \ddot{x}]=0+[x, f(x, y, z) x]=0,
\]

причем мы учли в выкладках соотношения (1.105) и (1.201).
Таким образом, мы обнаружили, что для центрального поля вектор $M$ представляет собой интеграл движения. Поскольку $\boldsymbol{M}$ – это вектор, фактически мы обнаружили три интеграла движения: три компоненты $M$. Но поскольку вектор $\boldsymbol{M}$ постоянен, то из (1.209) ясно, что вектор $\boldsymbol{x}$ всегда лежит в плоскости, перпендикулярной $\boldsymbol{M}$, в это и означает, что орбита частицы плоская.

Запача о движении частицы в поле центральной силы ножет быть, следовательно, ведена к двумерной (плоской) задаче. Решения исходных уравнений движения – трех дифференциальных уравнений второго норядка – должны содеркать шесть ностоянных интегрирования. За две из них могут быть выбраны направляюцие косинусы вектора $\boldsymbol{M}$; этими косинусами определяется нормаль к орбитальной плоскости. В остаюцейся двумерной задаче у нас возникают четыре постоянных интегрирования, которые вместе с деумя использованными направляющими косинусами и обеспечивают шесть необходимых констант движения в исходной задаче. Одной из четырех оставшихся констант будет, конечно, абсолютная величина вектора $M$.

Все то, что говорилось до сих пор, имеет совершенно общий характер и справедливо также и для сил, не являющихся консервативными. Но если снловое поле консервативно (а впредь мы будем это всегда предполагать), то одна из трех последних констант движения – это полная энергия, а две остальные возникают в результате интегрирования уравнений движения; эта операция всегда осуществима в случае центрального консервативного поля.

Направим ось $z$ декартовой системы координат вдоль сохраняющегося вектора $M$, а в плоскости $x y$ введем полярные координаты $r$ и $\theta$. Таким образом в орбитальной плоскости вводится система координат
\[
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta .
\]

Уравнения движения, записанные в координатах $x, y$, имегот вид:
\[
m \ddot{x}=-\frac{x}{r} \frac{d U}{d r}, \quad m \ddot{y}=-\frac{y}{r} \frac{d U}{d r},
\]

где потенциал $U$ задан согласно (1.206), а сила определяется по (1.202).

Если через $M$ обозначить абсолютную величину момента импульса, а через $E$-полную энергию частицы, то в соответствии с (1.209) и (1.117) можно записать:
\[
M=m(x \dot{y}-y \dot{x}), \quad E=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+U(r) .
\]

Соотношения (1.213) могут быть, конечно, получены и непосредственно интегрированием (1.212).

Воспользовавшись полярными координатами, мы можем переписать (1.213) в виде:
\[
\begin{array}{c}
M=m r^{2} \dot{\theta}, \\
E=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} m r^{2} \dot{\theta}^{2}+U(r) .
\end{array}
\]

Соотношение (1.214) выражает так называемый закон площадей. Мы уже знаем, что $M$ – постоянная величина. Чтобы выяснить физический смысл правой части (1.214), обратимся к рис. 2. Допустим, что частица сместилась за интервал времени $t, t+d t$ от точки $P$ к точке $Q$. Из рис. 2 очевидно, что за время $d t$ радиус-вектор, направленный к частице, «ометает» площадь \”треугольника», равную $\frac{1}{2} r^{2} d \theta$. Площадь, ометаемая радиус-вектором частицы в единицу времени, называется секторной скоростью точки. Мы получили, что секторная скорость частицы, во-первых, равна $\frac{1}{2} r^{2} \dot{\theta}$, а во-вторых, обнаружили ее постоянство согласно (1.214). Это обстоятельство иногда отмечают следующим образом: радиус-вектор части-

Рис. 2. Закон площадей. $O$-центр силового поля; $P$ – положение движущейся частиды в момент времени $t ; Q$ – положение частицы в момент $t+d t$. Через $\theta$ обозначен полярный угол. «Tреугольник» $O P Q$ определяет площадь, кометаемуюз радиус-вектором, проведенным из $O$ к движущейся частице.

Рис. 2. Закон площадей. $O-1$ силовго поля; $P$ – положение жущейся частицы в момент мени $t ; Q$ положение части момент $t+d t$. Через $\theta$ обозн полярный угол. «реугольник» определяет площадь, «ометае радиус-вектором, проведенным к движущейся частице.
цы ометает равные площади за равные промежутки времени. Для случая, когда рассматривается гравитационное поле (1.208), этот результат известен под названием втоporо закона Кеплера, но мы только что выяснили, что он справедлив для любой центральной силы, в том числе и неконсервативной.

Соотношение (1.215) определяет полную энергию частицы в полярных координатах; мы видим, что кинетическая энергия в полярных координатах имеет вид:
\[
T=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} m r^{2} \dot{\theta}^{2},
\]

где два слагаемых в правой части относятся соответственно к радиальному движению частицы и к ее движению по окружности.

Исключая $\dot{\theta}$ из соотнонений (1.214) и (1.215), мы приходим к выражению:
\[
E=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+U(r)+\frac{M^{2}}{2 m r^{2}} .
\]

Последний член в правой части этого соотношения может быть назван центробежной потенциальной энергией. Абсолютное значение силы $F_{\text {иб }}$, соответствующей sтому члену, определяется равенством
\[
F_{\text {цб }}=-\frac{d}{d r} \frac{M^{2}}{2 m r^{2}}=\frac{M^{2}}{m r^{3}}=\frac{m v_{\perp}^{2}}{r},
\]

где через $v_{\perp}$ обозначена компонента скорости, перпендикулярная радиус-вектору, т. е. направленная по касательной к соответствуюцей координатной окружности $\left(M=m r v_{\perp}\right)$. Выражение (1.218) представляет собой известное выражение для центробежной силы, действующей на частицу (см. формулу (4.302)). Обратите внимание на то, что центрсбежная сила возникает только при переходе к неинерциальной системе отсчета.

По своему общему виду (1.217) совпадает с выражением (1.118), которое было написано для одномерного случая, только теперь эквивалентная потенциальная энергия имеет вид $U(r)+M^{2} / 2 m r^{2}$, т. е. представляет собой сумму потенциальной энергии и центробежной потенциальной энергии. Уравнение (1.217) может быть, в точности так же, как и (1.118), решено в квадратурах, причем мы получим:
\[
t-t_{0}=\int_{r_{0}}^{t} \frac{d r}{\left[\frac{2 F}{m}-\frac{2 U(r)}{m}-\frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}}\right]^{1 / 2}},
\]

где через $r_{0}$ обозначено значение $r$ в момент $t_{0}$. Используя (1.214), можно переписать (1.219) так:
\[
\theta-\theta_{0}=\int_{t_{0}}^{t} \frac{M d t}{m r^{2}}=\int_{r_{0}}^{r} \frac{M d r}{r^{2}\left\{2 m[E-U(r)]-M^{2} r^{-2}\right\}^{1 / 2}} .
\]

Последнее уравнение определяет зависимость $\theta$ от $r$, т. е. дает уравнение траектории частицы. Две оставшиеся постоянные интегрирования теперь уже определены: ими будут значения $\theta$ и $r$ в момент $t_{0}$.

Прежде чем переходить к количественному рассмотрению траекторий частицы, соответствующих определенному Рис. 3. Качественное исскедиание траекторий при двпжении в центральном потенциальном поле.
a) Зависимость потенциальной энергии, центробежной өнергии и кинетической энергии от расстолния от центра силового поля. Кривая $\dot{r}^{2}$ имеет в точюостн такой же еид, что и кривая $-(2 / m) U(r)-M^{2} / m^{2} r^{2}$, но с осью абсцисс, исходящей соответственно нз точек $A, B$ или $C$, вместо точки $O$. Положение оси абсцисс определяется значением $E$, а именно: $A$ соответствует $E_{1}<0 ; B$ соответствует $E_{2}>0$, точке $C$ соответствует круговая орбита $E_{3}<0$.

Рис. 3. б) Радиальная скорость $户$ как функция расстояния от нентра снлового поля.

выбору потенциала $U$, а именно потенциалу (1.208), мы остановимся на качественном исследовании траекторий в том случае, когда $U(r)$ зависит от $r$ по закону $r^{-1}$, для очень малых и очень болыших значений $r$; для этих двух предельных случаев коэффициенты пропорциональности могут быть разными. Потенциал такого типа представляет интерес в задачах атомной фнзики. Действительно, наиболее удаленный («последний») электрон в атоме с зарядом ядра $Z$, находясь на большом расстоянии от ядра, будет находиться в потенциальном поле типа ( $-e / r$ ), поскольку заряд ядра $Z e$ заэкранирован остальными
Pис. 3.в) Траектории частицы для отрицательных и шоложительных значений энергии E.O- пентр силового поля.
$(Z-1)$ электронами; если же электрон находится вблизи пра, т. е. все остальные электроны расположены дальше него, то он находится в потенциальном поле – Ze/r. На рис. За изображены графики функций $-2 U(r) / m$, – $M^{2} / m^{2} r^{2}$ и их сумма (пунктир), а также функция $\dot{r}^{2}$ в зависимости от $r$. Последнюю функцию можю получить в явном виде, переписав (1.217) так:
\[
\dot{r}^{2}=\frac{2 E}{m}-\frac{2 U(r)}{m}-\frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}} .
\]

Следуст заметнть, что на рис. За ось абсиисс разная для разных значений $E$, когда строится график зависимости $\dot{r}^{2}$ от $r$. На рис. Зб приведен график функшии $\dot{r}$ в зависимости от $r$ для двух значений энергии $E_{1}$ и $E_{2}$, одно из которых положительно, а другое отрицательно. Как из рис. За, так и из рис. Зб видно, что при отрицательных значениях $E$ траектория частицы не уходит на бесконечность и частица всегда находится между двумя значениями радиуса $r$, между $r_{1}$ и $r_{2}$. Вообще говоря, движение частицы будет происходить по розетке, общий вид которой изображен на рис. Зв. В предельном случае (соответствующем $E_{3}$ на рис. 3а), когда ось $r$ только касается кривой $\dot{r}^{2}(r)$, движение происходит по круговой орбите. Если же значения $E$ положительны, траектория становітся открытой (инфинитной): у частицы оказывается достаточный запас энергии, чтобы уйти на бесконечность. Это различие между открытыми и закрытыми (инфинитными и финитными) траекториями, определяемое знаком энергии $E$, вновь обнаружится, когда мы займемся потенциалом вида $1 / r$ (см. ниже исследование выражения (1.240)).

Во многих важных случаях уравнения движения существенно упрощаются, если ввести вместо $r$ обратную ей величину $\sigma=1 / r$. Эта замена составляет основу метода Бине, который особенно полезен в том случае, когда потенциал $U$ задан в виде (1.208).

Мы начнем с разложения силы $\boldsymbol{F}$, действующей на частицу в орбитальной плоскости, на две компоненты: $F_{11}$ – вдоль радиус-вектора $\boldsymbol{x}$ и $F_{\perp}$ – перпендикулярно ему. Если введены полярные координаты (1.211), то это соответствует отысканию компонент $F_{r}=F_{\|}$и $F_{\theta}=F_{\perp}$. Эти компоненты нужны нам для того, чтобы записать соответствующие проекции уравнения движения. Использование комплексных чисел очень упрощает задачу. Записав уравнение движения частицы в декартовых координатах
\[
m \ddot{x}=F_{x}, \quad m \ddot{y}=F_{y},
\]

умножим второе из этих уравнений на $i$ ( $i=\sqrt{-1}$ и почленно сложим; мы получим:
\[
m(\ddot{x}+i \ddot{y})=F_{x}+i F_{y} .
\]

Слева в (1.222) стоит вторая производная от комплексного числа $z=x+i y$, умноженная на $m$, а справа – комплексная сила $Z=F_{x}+i F_{y}=R e^{i \varphi}$. Переход к полярным координатам несложен; по формуле Эйлера
\[
z=r e^{i \theta}
\]

таким образом, комплексное число $z$ сводит координаты радиус-вектора точки (1.211) в одну формулу. Комплексная сила $Z$ приложена в том месте, где находится частица, поэтому ее нужно разлагать по осям локальной ортогональной декартовой системы. Нетрудно сообразить, что в точке, соответствующей комплексному числу $z$, эта локальная система представляет собой повернутую на угол $\theta$ исходную систему осей $(x, y)$; в этой новой системе координат комплексная сила выглядит уже как $Z^{\prime}=F_{r}+i F_{0}$. Но
\[
Z^{\prime}=R e^{i(\varphi-\theta)}=Z e^{i \theta},
\]

отсюда
\[
F_{x}+i F_{y}=\left(F_{r}+i F_{\theta}\right) e^{i \theta} .
\]

Таким образом, уравнение (1.222) можно записать в виде:
\[
m \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(r e^{i \theta}\right)=\left(F_{\| 1}+i F_{\perp}\right) e^{i \theta},
\]

или, производя дифференцирование в левой части,
\[
m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}+i r \dot{\theta}+2 i \ddot{r} \dot{\theta}\right) e^{i \theta}=\left(F_{\|}+i F_{\perp}\right) e^{i \theta} .
\]

Приравнивая действительные и мнимые части обеих частей (1.224), получим:
\[
\begin{array}{c}
F_{\perp}=m(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta})=\frac{m}{r} \frac{d}{d t} r^{2} \dot{\theta}=\frac{1}{r} \frac{d M}{d t}, \\
F_{||}=m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку в рассматриваемом случае сила центральная, $F_{\perp}$ обращается в нуль и (1.225) сразу же приводит I (1.214). Вместе с тем из (1.212) вытекает, что левая часть (1.224) равна $-(d U / d r) e^{i \theta}$, так что (1.226) можно переписать в виде:
\[
F_{i}=-\frac{d U}{d r}=m\left(\vec{r}-r \dot{\theta}^{2}\right) .
\]

Можно заметить, что из (1.225) вытекает обратная теорема: если величина $r^{2} \dot{\theta}$ постоянна, то компонента $F_{\perp}$ обращается в нуль и мы имеем дело с центральной силой.
Вычислим теперь $d^{2} \sigma / d \theta^{2}$. С помощью (1.214) находим:
\[
\frac{d \sigma}{d \theta}=\frac{d}{d \theta} \frac{1}{r}=\frac{d}{d t} \frac{1}{r} / \frac{d \theta}{d t}=-\frac{\dot{r}}{r^{2} \dot{\theta}}=-\frac{m \dot{r}}{M},
\]

и, следовательно, принимая во внимание (1.227),
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} \sigma}{d \theta^{2}}=\frac{d}{d t}( & \left.-\frac{m \dot{r}}{M}\right) / \frac{d \theta}{d t}=-\frac{m \dot{r}}{M \dot{\theta}}=\frac{1}{M \dot{\theta}}\left[\frac{d U}{d r}-m r \dot{\theta}^{2}\right]= \\
& =-\sigma+\frac{1}{M \dot{\theta}} \frac{d U}{d r}=-\sigma+\frac{d U}{d \sigma} \frac{d \sigma}{d r} \frac{m}{M^{2} \sigma^{2}}=-\sigma-\frac{m}{M^{2}} \frac{d U}{d \sigma} .
\end{aligned}
\]

илн же
\[
\frac{d^{2} \sigma}{d \sigma^{2}}+\sigma=-\frac{m}{M^{2}} \frac{d U}{d \sigma} .
\]

До сих пор мы не делали никаких предположений по поводу конкретного вида $U(r)$. Теперь мы займемся уже частным случаем, когда $U(r)$ задана в виде (1.208). В этом случае $U(\sigma)=-k \sigma$ и соотношение (1.229), представляющее собой дифференциальное уравнение траектории, приобретает совсем простой вид:
\[
\frac{d^{2} \sigma}{d \theta^{2}}+\sigma=\frac{m k}{\bar{M}^{2}} .
\]

Рис. 4. Геометрическое место точек $P$ является коническим сечением, если отношение $|\overrightarrow{O P}|$ к $|\overrightarrow{P R}|$ постоянно. Здесь $O$-центр силового поля; $P$ – по. ложение частицы. Углы $F Q O, P R S$ и $R S Q$ – прямые. Вектор $\boldsymbol{B}$ – постоянная интегрирования уравнения (1.236).
Решение этого уравнения можно написать сразу:
\[
\begin{array}{l}
\sigma=\frac{1}{r}=\frac{m k}{M^{2}}+ \\
+A \cos \left(\theta-\theta_{0}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, траектория представляет собой коническое сечение (см. рис. 4). На рис. 4 длина отрезка $O S$ равна $A^{-1}$. Нетрудно видеть, что
\[
|\overrightarrow{O Q}|=r \cos \left(\theta-\theta_{0}\right), \quad|\overrightarrow{P R}|=\left[1-\operatorname{Arcos}\left(\theta-\theta_{0}\right)\right] / A,
\]

так что с учетом (1.230) мы получим:
\[
\frac{|\overrightarrow{O P}|}{|\overrightarrow{P R}|}=\frac{r A}{1-A r \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)}=\frac{A M^{2}}{m k}=\text { const. }
\]

Геометрическое место всех точек $P$, удовлетворяющих (1.231), как раз и есть коническое сечение, что и доказывает наше утверждение. Немного позже мы выясним, при каких условиях траекторией частицы будут соответственно эллипс, парабола или гипербола. Конечно, уравнение (1.230) можно было бы получить непосредственно из (1.220), подставив в (1.220) вместо $U(r)$ выражение (1.208).

Желательно получить (1.230) еще и другим способом. Способ, о котором идет речь, использует векторное исчисление п, ч частности, очень удобен для потенциала $1 / r$. Уравнение движения (1.105) в этом случае имєет видт
\[
m \ddot{x}=-\frac{k x}{r^{3}},
\]

где мы использовали (1.114) и (1.208). Вспомнив о том, что момент импульса $M$, определенный согласно (1.209), представляет собой постоянный вектор, мы введем епе один вектор $\mathbf{Q}$, определив его следуюцим образом:
\[
Q=[M, \dot{x}] .
\]

Поскольку вектор $\boldsymbol{Q}$ пєрпендикулярен вектору $\boldsymbol{M}$, он лежит в орбитальной плоскости. Если принять во вниі мание 1.209), постоянство вектора $\boldsymbol{M}$, у равнение (1.232) и равенство $(\boldsymbol{x} \cdot \dot{\boldsymbol{x}})=\dot{r} \dot{r}$, которое вытекает из токцества $r^{2}=(x \cdot x)$, мы найдем нижеследующее выражение для производной по времени от $\boldsymbol{Q}$ :
\[
Q=[M, \ddot{x}]=-\frac{k}{r^{3}}[\{\dot{x}, x], x]=-k\left(\frac{\dot{x}}{r}-x \frac{\dot{r}}{r^{2}}\right)=-k \frac{d}{d t} \frac{x}{r},
\]
14.7н ке
\[
\dot{Q}=-k \dot{x}_{0},
\]

где через $\boldsymbol{x}_{0}$ обозначен единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора:
\[
x_{0}=\boldsymbol{x} / \boldsymbol{r} .
\]

Уравнение (1.234) можно проинтегрировать; в результате интегрирования получим:
\[
Q+k x_{0}=-B,
\]

где $\boldsymbol{B}$ – постоянный вектор.
Составив скалярное произведение обеих частей равенства (1.236) на $\boldsymbol{x}_{0}$, мы получим:
\[
-\frac{M^{2}}{m r}+k=-B \cos \left(\theta-\theta_{0}\right),
\]

причем $B=|\boldsymbol{B}|$; здесь предполагается, что вектор $\boldsymbol{B}$ образует угол $\theta_{0}$ с осью $x$ (в орбитальной плоскости), а вектор $\boldsymbol{x}_{0}$ – угол $\theta$ с той же осью $x$ (сравните (1.211) і рис. 2). Для получения (1.237) мы воспользовались преобразованием:
\[
\left(\boldsymbol{Q} \cdot x_{0}\right)=\left(\frac{x}{t} \cdot[M, \dot{x}]\right)=\frac{1}{t}(M \cdot[\dot{x}, x])=-\frac{M^{2}}{m r} .
\]

Уравнение (1.237) совпадает с уравнением (1.230), если положить $B=A M^{2} / m$.

Возведем в квадрат обе части равенства (1.236). Поскольку $\boldsymbol{M}$ перпендикулярен $\dot{\boldsymbol{x}}$, мы получим, что $\boldsymbol{Q}^{2}$ равно $M^{2} \dot{\boldsymbol{x}}^{2}$; следовательно,
\[
M^{2} \dot{x}^{2}+k^{2}-\frac{2 k M^{2}}{m r}=B^{2},
\]

где принято во внимание (1.238).
Уравнение (1.239) можно записать еще и в таком виде:
\[
E={ }_{2}^{1} m \dot{\boldsymbol{x}}^{2}-\frac{k}{r}=\frac{\left(B^{2}-k^{2}\right) m}{2 M^{2}} .
\]

Таким образом, мы получили еще одно выражение для энергии частицы. Из (1.240) видно, что если $k$ положительно, то знак $E$, а значит и характер траектории, определяется величиной $B$ (если же $k$ отрицательно, $E$ всегда положительно, а траектория всегда будет гипер-
Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. $O$ – центр силового поля.

болой). Если $B>k$, то частица может уйти на бесконечность с конечной скоростью; мы имеем дело с гиперболой (кривая 1 на рис. 5). Мы должны подчеркнуть в этом месте, что мы получили, конечно, только одну из двух ветвей гиперболы, поскольку $r$ у нас-сущест. венно положительная величина. Начало координат будет внутренним фокусом, если $k>0$, и внешним, если $k<0$. Если $B=k$, то скорость на бесконечности сбращается в нуль, а траекторией является парабола (кривая 2). Если $B<k$, траекторией будет эллигіс (кривая 3). Наконец, если $B=0$, энергия достигает наименьшего значения, совместимого с заданным значением $M$, и траектория превращается в окружность.

Воспользовавшись равенством $M^{2} A / m=B$, которое превращает (1.237) в (1.230), мы обнаруживаем, что условия $B>k, B=k$ и $B<k$ соответствуют отношению $|\overrightarrow{O P}|$ к $|\overrightarrow{P R}|$ в (1.231), большему, равному и меньшему единицы; это еще раз показывает, что эти условия соответствуют гиперболическим, параболическим и эллиптическим траекториям соответственно.

Из (1.237) видно, что значение расстояния $r$ для углов $\theta=\theta_{0} \pm \pi / 2$, часто называемое параметром $p$ конического сечения, не зависит от величины $B$, т. е. от энергии, а зависит только от момента импульса:
\[
p=\frac{M^{2}}{m k} \text {. }
\]

Этот факт играл важную роль в выводах старой квантовой теории.

Рассмотрим еще апоцентрическое и перицентрическое значения $r$ ( $r_{\max }$ и $\left.r_{\min }\right)$ для случая эллипса. Они достигаются при $\theta=\theta_{0}+\pi$ и $\theta=\theta_{0}$ соответственно. Мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
r_{\min }=\frac{M^{2}}{m(k+B)}, \\
r_{\max }=\frac{M^{2}}{m(k-B)} .
\end{array}\right\}
\]

Большая полуось $a$ удовлетворяет уравнению
\[
2 a=r_{\min }+r_{\max }=-\frac{k}{E}, \text { или } E=-\frac{k}{2 a} .
\]

Выразим теперь эксцентриситет эллипса $\varepsilon$ и период обрашения частицы по орбите $\tau$ через величины $E, k$ и $M$. Из (1.242) и (1.240) вытекает соотношение для $\varepsilon$ :
\[
\varepsilon=\frac{r_{\text {max }}-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}=\frac{B}{k}=\left[\frac{2 M^{2} E}{m k^{2}}+1\right]^{1 / 2} .
\]

Мы снова обнаруживаем, что условие $B / k<1$ соответствует условию $\varepsilon<1$, т. е. эллипсу. Условие $B=k$ соответствует $\varepsilon=1$, т. е. параболе. Наконец, условие $B / k>1$ соответствует $\varepsilon>1$, т. е. гиперболе. Используя равенство $\varepsilon=B / k$ и (1.241), мы можем переписать (1.237) в совсем привычном виде:
\[
\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \left(\theta-\theta_{0}\right) .
\]

Мы уже убедились в том, что второй закон Кеплера, с одной стороны, эквивалентен утверждению о том, что момент импульса $M$-величина постоянная; с другой стороны, он является просто законом площадей. Действительно, из (1.214) видно, что $M / 2 m$ – это просто секторная скорость. Полная площадь эллипса, которую ометает за полный период обращения частица, равна лаb, или же $л a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)^{1 / 8}$, где через $b$ обозначена малая полуось эллипса. Поэтому мы можем написать:
\[
\pi a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)^{1 / 2} / \tau=M / 2 m ;
\]

а используя (1.243) и (1.244), имеем!
\[
\frac{\tau^{2}}{a^{3}}=\frac{4 \pi^{2} m}{k},
\]

что сводится к третьему закону Кеплера, если подставить $k=G m M_{\infty}$, где $G$ – постоянная тяготения, а $M_{\infty}$ – масса (бесконечно тяжелого) центрального тела. Если масса центрального тела имеет конечное значение, равенство (1.246) должно быть несколько подправлено, как мы сейчас увидим.

В начале этого параграфа мы определили центральную силу как такую силу взаимодействия между частицами, которая направлена по линии, соединяющей две взаимодействующие частицы. С таким взаимодействием частиц мы очень часто сталкиваемся в физике; сейчас мы убедимся в том, что такая ситуация приводит к задаче о движении одной частицы во внешнем центральном поле, т. е. к той самой задаче, которую мы только что довольно подробно рассмотрели.

Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$-это массы двух рассматриваемых частиц, и пусть силы, с которыми частицы действуют друг на друга, могут быть получены из потенциала $U\left(r_{12}\right)$, где $r_{12}$ является расстоянием между двумя частицами. Нетрудно показать способом, использованным при выводе соотношения (1.206), что если рассматриваются консервативные силы, то они получаются из потенциальной функции, зависящей только от $r_{12}$.
Запишем уравнения движения для обенх частиц:
\[
m_{1} \ddot{x}_{1}=-
abla_{1} U, \quad m_{2} \ddot{x}_{2}=-
abla_{2} U .
\]

Вводя центр инерции (центр масс) и относительные координаты с помощью равенств
\[
\begin{array}{l}
X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \\
x=x_{1}-x_{2},
\end{array}
\]

мы получим из (1.247):
\[
\begin{array}{l}
\left(m_{1}+m_{2}\right) \ddot{X}=0, \\
\mu \ddot{x}=-
abla U,
\end{array}
\]

где через $\mu$ обозначена приведенная масса
\[
\mu=-\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Уравнения (1.249) и (1.250) показывают, что движение двух частиц может быть описано как суперпозиция движения центра инерции, которое в нашем случае представляет собой просто свободное движение точки (1.249), и относительного движения (1.250), которое представляет собой движение частицы с приведенной массой, движущейся в центральном поле, определяемом заданной потенциальной энергией. Если масса одной из частиц существенно превосходит массу другой частицы, то приведенная масса приблизительно равна массе легкой частицы. Этим и объясняется тот факт, что третий закон Кеплера справедлив с большой степенью точности. Более точно его следовало бы записать так:
\[
\frac{\tau^{2}}{a^{3}}-\frac{4 \pi^{2} \mu}{k}=\frac{4 \pi^{2}}{G\left(m+M_{c}\right)},
\]

где $M_{c}$ – это масса центрального тела (Солнца в нашей планетной системе). Если $M_{c} \gg m$, то правая часть последнего равенства сводится к постоянной величине $4 \pi^{2} / G M_{c}$.

Мы закончим этот параграф вопросом о рассеянии частиц в поле центральной силы. То обстоятельство, что это поле зачастую создается другой частицей, означает лишь то, что мы должны вместо массы свободной частицы всюду вводить приведенную массу. Изучая рассеяние частиц, интересуются не столько фактическим процессом рассеяния, происходящнм тогда, когда рассеивае мая частица находится вблизи рассеивающсй частицы, сколько конечным результатом процесса рассеяния. Иначе говоря, мы заинтересованы в таких величинах, как поперечник (или сечение) рассеяния, или же вероятность того, что рассеяние произойдет на некоторый определенный угол. Начальные условия задаются энергией и моментом импульса падающих (рассеиваемых) частиц. Пусть $v$ будет скоростью налетающих частиц на бесконечности, и пусть прицельное расстояние, т. е. кратчайшее расстояние, на котором падающая частица прошла бы около рассеивающего центра, если бы он не изменял ее движения, будет равно $p$ (см. рис. 6). Выражая энергию и момент импульса через $v$ и $p$,
\[
E=\frac{1}{2} m v^{2}, \quad M=m v p,
\]

мы получим согласно (1.220) уравнение траектории в виде:
\[
\theta-\theta_{0}=\int_{r_{0}}^{r} \frac{p v d r}{r^{2}\left[v^{2}-(2 U / m)-\left(p^{2} v^{2} / r^{2}\right)\right]^{1 / 2}} .
\]

Если выбрать за $r_{0}$ расстояние до точки наибольшего приближения к центру, т. е. значение $r$, для которого
Рис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через $r_{0}$ обозначено расстояние до точки максимального приближения; $p$-прицельный параметр; $\theta_{\mathrm{sc}}$ – угол рассеяния.
$\dot{r}=0$, т. е. значение $r$, удовлетворяющее уравнению
\[
v^{2}-\frac{2 U(r)}{m}-\frac{p^{2} v^{2}}{r^{2}}=0,
\]

то мы получим для угла рассеяния $\theta_{\mathrm{sc}}$ (см. рис. 6; обратите внимание на то, что $\theta$ изменяется от $\pi$ до $\theta_{\text {sc }}$, когда $r$ изменяется от $\infty$ до $r_{0}$ и снова до $\infty$ ):
\[
\pi-\theta_{\mathrm{sc}}=2 \int_{r_{0}}^{\infty} \frac{p v d r}{r^{2}\left[v^{2}-(2 U / m)-\left(p^{2} v^{2} / r^{2}\right)\right]^{1 / 2}} .
\]

Дифференциальное сечение рассеяния $d \sigma$ для рассеяния на угол от $\theta_{\mathrm{sc}}$ до $\theta_{\mathrm{sc}}+d \theta_{\mathrm{sc}}$ определяется как отношение числа частиц, рассеянных в единицу времени в этот интервал углов, к интенсивности падающего пучка. Интенсивность же падающего пучка определяется как полное число частиц, падающих на рассеивающий центр, 30 приходящееся на единицу площади в единицу времени. Падающий пучок предполагается однородным. Из (1.255) видно, что угол рассеяния $\theta_{\text {so }}$ является функцией прицельного расстояния $p$, и вместо того, чтобы интересоваться числом частиц, которые рассеиваются на заданный угол $\theta_{\text {sc }}$, мы можем искать число падающих частиц, обладающих прицельным параметром в пределах от $p$ до $p+d p$. Это число равно $2 \pi I p d p$ ( $I$ – интел.сивность падающего пучка), как это легко понять из рис. 6. Таким образом, мы получим для дифференциального сечения:
\[
d \sigma=2 \pi p d p,
\]

а разрешая (1.255), мы можем найти дифференциальное сечение, выраженное через угол $\theta_{\text {sc }}$. Полное сечение рассеяния можно получить, интегрируя это выражение по всем возможным значениям $\theta_{\text {sc }}$ от 0 до $\pi$.

Рассмотрим теперь отдельно случай, когда потенциал $U$ имеет вид $k / r$, причем введем обозначения:
\[
u=\frac{p}{r}, \quad b=\frac{2 k}{m v^{2}}=\gamma p .
\]

Персмснная $u$ по сущсству ссть псрсменная Бине; что касается величины $b$, то она представляет собой то расстояние, на котором абсолютная величина потенциальной энергии равна кинетической энергии частицы на бесконечности; другими словами, $b$-это расстояние наибольшего приближения частицы, обладающей скоростью $v$ и нулевым моментом импульса, к отталкивающему центру рассеяния. Воспользовавшись этими переменными, можно получить из (1.255), положив $u_{0}=p / r_{0}$ :
\[
\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_{\mathrm{sc}}}{2}=\int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\left[1-\gamma u-u^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{\gamma}{\left(\gamma^{2}+4\right)^{1 / 2}},
\]

пли же
\[
\operatorname{tg} \frac{\theta_{\text {sc }}}{2}=\frac{1}{2} \gamma .
\]

Обычно принято выражать $d \sigma$ в виде произведения элемента телесного угла $d \Omega \equiv 2 \pi \sin \theta_{\mathrm{sc}} d \theta_{\mathrm{sc}}$, соответствующего рассеянию на углы от $\theta_{\text {sc }}$ до $\theta_{\text {sc }}+d \theta_{\text {sc }}$, и сечения рассеяния $R\left(\theta_{\mathrm{sc}}\right)$ :
\[
d \sigma=R\left(\theta_{\mathrm{sc}}\right) d \Omega=R\left(\theta_{\mathrm{sc}}\right) \cdot 2 \pi \sin \theta_{\mathrm{sc}} d \theta_{\mathrm{sc}} .
\]

Тогда лля сечени рассеяния мы найдем из (1.256), $(1.258) \div(1.259):$
\[
R\left(\theta_{\mathrm{sc}}\right)=\frac{1}{4} b^{2} \operatorname{cosec}^{4} \frac{\theta_{\mathrm{so}}}{2}
\]
– знаменитую формулу рассеяния Резерфорла. Для этого конкретного процесса рассеяния полное сечение $\sigma_{\text {tot }}$ $\left(=\int d \sigma=\int R d \Omega\right.$ ) расходится. Это обстоятельство связано с тем фактом, что кулоновский потенциал имеет длинный «хвост». Можно несколько по-иному взглянуть на этот результат, заметив, что, как бы ни было велико значение $p$, все равно рассеяиие остается. Другими словами, мы могли бы ожидать бесконечнсе полное сечение рассеяния для любого потенциала, который не исчезает на больших расстояниях, в противоположность квантовомеханическому случаю, когда неисчезающий потенииал сам по себе еше недостаточен для того, чтобы полное сечение стало бесконечным.

Рассматривая процессы рассеяния, мы предполагали до сих пор, что рассеивающий центр неподвижен. В реальных экспериментах по рассеянию происходит рассеяние одной частицы на цругой. В этом случае мы сталкиваемся с ситуацией, подобной той, какая рассматривалась несколько раньше в этом же параграфе; речь идет о задаче двух частиц, взаимодействующих между собой. Мы видели там, что относительное движение частиц выглядит так, как если бы центр масс всей системы покоился, а частица, масса которой равна приведенной массе, двигалась бы в силовом поле, порождаемом тем самым потенциалом, из которого получались силы, действующие между частицами.

Замена массы рассеиваемой частицы на ғриведенную массу-операция достаточно тривиальная. Тот факт, что только что полученные нами формулы для сечения рассеяния пригодны для случая, когда расіеивающие центры покоятся, тогда как в реальных экспериментах по рассеянию покоятся частицы мишени, имеет, конечно, существенное значение для анализа данных по рассеянию. Если частицы мишени покоятся, то это значит, что центр инерции системы будет двигаться, и данные по рассеянию, полученные в лабораторной системе отсчета, должны быть пересчитаны к системе центра инерции, прежде чем можно будет воспользоваться полученными нами формулами.