В качестве последнего примера малых колебаний около положения равновесия мы рассмотрим случай одномерного кристалла. Одномерный кристалл представляет собой систему точечных масс, которые по предположению находятся в равновесии, если все расстояния между ними равны. Мы начнем с того случая, когда массы всех частиц, образующих кристалл, одинаковы и равны $M$, а затем перейдем к случаю, когда кристалл образован последовательно чередующимися частицами с разными массами $M$ и $\mathrm{m}$. Мы пе можем здесь останавливаться на всех аспектах этой задачи, имеющей колоссальное значение для установления термодинамических свойств твердого тела, и вынуждены отослать читателя к специальной литературе.

Чтобы избежать рассмотрения явлений на границе кристалла, мы будем предполагать, что «кристалл» имеет форму окружности, так что $N$-я точечная масса граничит с первой. Это предположение делает нашу вадачу оквивалентной задаче о бесконечном кристалле, на который наложены периодические граничные условия:
\[
q_{j+N}=q_{j}
\]

через $q_{j}$ здесь обозначено смещение $j$-й точечной массы от положения равновесия.

Если все массы одинаковы, кинетическая энергия системы запишется в виде:
\[
T=\frac{1}{2} M \sum_{i} \dot{q}_{l},
\]

и если предположить к тону же, что силы, действующие между отдельными массами, гармонические и действуют только между ближайшими соседями, то потенциальная янергия запишется равенством
\[
U=\frac{1}{2} \alpha \sum_{i}\left(q_{j}-q_{j+1}\right)^{2} .
\]

Мы видим, что потенциальная энергия квадратична по $q_{j}$, так что можно применить теорию малых колебаний, развитую в первом параграфе этой главы. Можно воспользоваться известными методами из теории определителей для определения собственных значений и, следовательно, нормальных координат. Однако более удобно воспользоваться тем обстоятепьством, что следует ожидать нормальные колебания с длинами волн, начиная от периода \”решеткџ» до удвоенной длины кристалла. Исходя из этих сообржений, мы введем совокупность кординат, определенных следуюиим образом:
\[
Q_{k}=\sqrt{N} \sum_{j}^{i \pi i k j / N} q_{j} .
\]

Если воспользоваться равенством
\[
\sum_{k=1}^{N} e^{2 \pi i(j-m) k / N}=N \delta_{j m},
\]

мы можем разрешить (3.404) относительно $q$, и найдем:
\[
q_{j}=\frac{1}{\sqrt{M N}} \sum_{k} e^{–e^{-2 i k_{j} N} Q_{k}} .
\]

Подставляя эти выражения для $q_{j}$ в формулы, определяющие $T$ и $U$, и используя (3.405), получим:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \sum_{k} Q_{k} Q_{-k}, \\
U & =\frac{1}{2} \frac{4 \alpha}{M} \sum_{k} Q_{k} Q_{-k} \sin ^{2} \frac{\pi k}{N} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что, хотя мы не привели полностью $T$ и $U$ к виду (3.138) и (3.139), уравнения движения имеют уке вид (3.115); уравнения движения для $Q_{k}$ следуют из уравнений Лагранжа для $Q_{-k}$ и наоборот. Собственные частоть определяются равенствами
\[
\omega_{k}=2\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
M
\end{array}\right)^{1 / 2} \sin \frac{\pi|k|}{N} .
\]

Обратим внимание на то, что $Q_{k}$ – комплексные величины и что, таким образом, каждой $Q_{k}$ соответствуют діе степени свободы. Совокупность $Q_{k}$ отнюдь не переопрс:еляет систему, поскольку соблюдаются равенства
\[
Q_{k}=Q_{-k}^{*} \text {. }
\]

Из (3.404) видно также, что $Q_{k}$ удовлетворяют урапнению, тождественному уравнению (3.401) для $q_{j}$, а имени:
\[
Q_{k}=Q_{k+N},
\]

и мы можем, следовательно, ограничить $k$ интервалом (мы будем считать $N$ четным числом)
\[
0 \leqslant k \leqslant 1 / 2 N
\]

и получим $1 / 2 N+1$ независимых $Q_{k}$, соответствующих $N$ независимым действительным координатам [обратите вннмание, что из (3.410) и (3.411) вытекает, что $Q_{0}$ и $Q_{N / 2}$ действительны], за которые мы можем прннять действнтельные и мнимые части $Q_{k}$ :
\[
Q_{k}=R_{k}+i S_{k} .
\]

Если выразить кинетическую и потенциальную энергию через $R_{k}$ и $S_{k}$, мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k}\left(\dot{R}_{k}^{9}+\dot{S}_{k}^{9}\right), \quad U=\frac{1}{2} \sum_{k} \omega_{k}^{9}\left(R_{k}^{3}+S_{k}^{2}\right) ;
\]

теперь мы уже получили суммы только квадратов величнн $R_{k}, S_{k}, \dot{R}_{k}$ и $\dot{S}_{k}$.

Выясиим теперь физиеский смысл пормальых колебаний. Для этого в выражении (3.406) мы положим все $Q_{k}$, за исключеннем одной, равными нулю. Отличную от нуля $Q_{k}$ положнм равной $A \exp \left(i \omega_{k} t\right)$. Тогда мы получим:
\[
q_{j}(t)=(M N)^{-1 / 2} A \exp 2 \pi i\left[v_{k} t-(k j / N)\right], 2 \pi v_{k}=\omega_{k} .
\]

Из (3.415) видно, что нормальные колебания представляют собой бегущие волны, волновыми числами которых будут $k / a N$, где через $a$ обозначен период решетки.

Из (3.409), прежде всего, вытекает, что одна собственная частота, $\omega_{0}$, обращается в нуль. Эта «частота» соответствует трансляции всего «крнсталґа» как целого. Во-вторых, мы видим, что для малых $k$ можно приближенно написать:
\[
\omega_{k}=2 \pi k \alpha^{1 / 2} / N M^{1 / 2} ;
\]

это выражение совпадает со спектром звуковых волн (см. гл. 8). Наконец, наибольшая собственная частота $\omega_{N / 2}$ соответствует длине волны, равной $2 a$, т. е. тому случаю, когда две соседние точечные массы всегда движутся в противоположных направлениях. Если бы мы использовали $R_{k}$ и $S_{k}$ вместо $Q_{k}$ для описания нормальных мод, мы получили бы вместо бегущих волн стоячие волны.

Случай, когда «кристалл» образован линейной цепочкой из двух сортов чередующихся масс, оказывается более сложным *). Кинетическая и потенциальная энергии тепер уже запишутся так:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} M \sum_{j} \dot{q}_{2 j}^{2}+\frac{1}{2} m \sum_{j} \dot{q}_{2 j+1}^{2}, \\
U=\frac{1}{2} \alpha \sum_{i}\left[\left(q_{2 j}-q_{2 j i}\right)^{2}+\left(q_{2 j}-q_{2 j \sim 1}\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Вместо одной группы координат (3.404) или (3.406) мы введем две группы (в последующем повсюду будут использоваться комплексные переменные, и $R_{k}$ теперь уже будут комплексными переменными, в отличие от (3.413), где они были действнтельными):
\[
q_{2 j}=\sqrt{\frac{2}{N M}} \sum_{k} e^{-4 \pi i j k / N} Q_{k}
\]
*) Сравните с методом, использованным в книге Ч. Киттеля «Bведение в физику твердого тела» М.. Физматьиз, 1963, стр. 132.

\[
q_{: 2 j+1}=\sqrt{\frac{2}{N m}} \sum_{\frac{m a i}{}} e^{-2 t i(2 i+1) k_{i} / N} R_{k} .
\]

Қинетическая и потениатьная энергии перепишутся в этих координатах так:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} \sum_{k}\left(\dot{Q}_{k} \dot{Q}_{-k}+\dot{R}_{k} \dot{R}_{-k}\right), \\
U=\frac{1}{2} \alpha \sum_{k}\left[\frac{2 Q_{k} Q_{-k}}{M}+\frac{2 R_{k} R_{-k}}{m}-\frac{4\left(R_{k} Q_{-k}+R_{-k} Q_{k}\right)}{(m M)^{1 / 2}} \cos \frac{2 \pi k}{N}\right] .
\end{array}
\]

Мы снова об̆наружнваем, что моды с различными значениями $k$ не связаны между собой, но величины $Q_{k}$ и $R_{k}$ с одним и тем же $k$-связаны. Уравнение для собственных значеннй при заданном $k$ имеет внд:
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{2 \alpha}{M}-\omega_{k}^{2} & -\frac{2 \alpha}{\sqrt{m M}} \cos \frac{2 \pi k}{N} \\
-\frac{2 \alpha}{\sqrt{m M}} \cos \frac{2 \pi k}{N} & \frac{2 \alpha}{m}-\omega_{\bar{k}}^{2}
\end{array}\right|=0 ;
\]

из него мы получаем значения $\omega_{k}^{2}$ :
\[
\omega_{k}^{2}=\alpha\left[\frac{1}{M}+\frac{1}{m} \pm\left\{\left(\frac{1}{M}+\frac{1}{m}\right)^{2}-\frac{4}{m M} \sin ^{2} \frac{2 \pi k}{N}\right\}^{1 / 2}\right] .
\]

Для заданного значения $\omega_{k}$ отюошение $Q_{k} / R_{k}$ получается обычным путем, и мы приходим к результату:
\[
\frac{Q_{k}}{R_{k}}=\sqrt{\frac{\bar{M}}{m} \frac{\alpha \cos (2 \pi k / N)}{\alpha-1 / 2 M \omega_{k}^{\circ}}}=\sqrt{\frac{M}{m}} \frac{\alpha-1 / 2 m \omega_{l}^{\circ}}{\alpha \cos (2 \pi k / N)} .
\]

Из (3.424) и (3.425) можно выяснить физическую природу нормальных координат. Если в (3.424) выбрать нижний знак, то $\omega_{k}^{*}$ всегда меньше, чем $2 \alpha / m$, и меньше, чем $2 \alpha / M$, так что $Q_{k}$ и $R_{k}$ имеют одинаковый знак: две соседние массы движутся в фазе [см. (3.419) и (3.420)]. Прн $k \rightarrow 0$ собственные частоты $\omega_{k}$ пропорцнональны $k$, и мы имеем дело со звуковыми волнами. Та ветвь спектра собственных частот, которая соответствует нижнену знаку, называется поэтому акустической ветвыо.

Если взять верхний знак, т. е. верхнюю ветвь, $\omega_{k}^{2}$ всегда больше, чем $2 \alpha / m$ и $2 \alpha / M$, и две соседние массы будут двигаться в иротивоположных направлениях. Если две эти массы обладают различными электрическими зарядами, как это имеет место, например, в крнстальтах галогенидов щелочных металов, нормальные колебания связаны с колебаниями дипольного электрического момента. Поэтому ветвь колебаний, соответствующая верхнему знаку в (3.424), называется оптической ветвью. В гапогенидах щелочных металлв этой ветви соответствуют лежащие в инфракрасной области частоты, называемые частотами остаточных лучей (Reststrahlen).

Другие свойства нормальных колебаний в кристаллах остаютея читателю для самостоятеньного рассмотрения.