Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, гамильтониан которой обладает сферической симметрией. Известно, что в этом случае после введения сферических координат $r, \theta$ и $\varphi$ угол $\varphi$ будет циклической координатой. Соответствующий импульс $p_{\varphi}$ можно ввести тогда в качестве одной из постоянных $\alpha_{i}$ (см. § 6.1), а соответствующая переменная действия $J_{\varphi}$ определяется равенством [ср. (6.224)] За соотестствующую угловую переменную $w_{4}$ может быть выбрана долгота восходящего узла (см. § 6.1), деленная на $2 \pi$. Теперь допустим, что включается однородное магнитное поле $\boldsymbol{B}$. Поскольку невозмущенная система обладала сферической симметрией, направление полярной оси может быть выбрано произвольно; мы можем выбрать ее теперь так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля. Мы уже упоминали раньше о том, что влияние магнитного поля может быть учтено тем, что в кинетической энергии квадрат импульса $\boldsymbol{p}^{2}$ заменяется на $(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A})^{2}$, где $\boldsymbol{A}$ — вектор-потенциал магнитного поля [см. (5.355)]. Вектор-потенциал $\boldsymbol{A}$ можно выбрать в виде: предполагая магнитное поле слабым, мы можем записать еозмущенный гамильтониан в виде суммы: где Индукция магнитного поля $B$ играет здесь роль малого параметра $\lambda$, введенного в предыдущем параграфе, по которому проводится разложение. Так как $H_{1}$ содержит только $J_{\mathscr{f}}$, единственной переменной, участвующей в первом приближении, будет $w_{\varphi}$. Из канонических уравнений движения мы получаем: Из (7.305) следует, что орбитальная плоскость вращается вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью $e B / 2 m c$, так называемой ларморовской частотої; это вращение орбитальной плоскости называется ларморовской прецессией. Случай слабого однородного электрического поля несколько более сложен. Одним из способов решення этої задачи может служить второй метод, описанный в первом параграфе этой главы (см. задачу 5 к гл. 6). Мы не станем здесь заниматься этой задачей во всех деталях, а ограничимся секулярными эрректами в однородном электрическом поле. Мы начнем с элементарного подхода, который в принципе годится также для случая скрещенных электрических и магнитных полей (см. задачу 3 к этой главе), а затем уже применим теорию секулярных возмущений, кратко нзложенную в конце предыдуцего параграфа. Во всех случаях мы будем заниматься только атомом водорода и воспользуемся результатами, полученными в предыдущей главе. Направим опять ось $z$ по направлению поля, так что возмущение гамильтониана запишется в виде: где через 8 обозначена напряженность электрического поля. В качестве переменных $J$ и $ш$ мы воспользуемся величинами $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ из $\S 6.2$; мы вспомним также связь между большой полуось!о $a$, полным моментом импульса $M$, эксцентриситетом $\varepsilon$, наклоном орбитальной плоскости $i$ и $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}, \alpha_{3}-$ с одной стороны, и между временем, долготой перицентра, долготой восходящего узла и величинами $\beta_{1}$, $\beta_{2}$ и $\beta_{3}-$ с другой. Все необходимые соотношения были получены в § 6.1, и мы ими воспользуемся: В предшествующем параграфе мы установили, что секу. лярные возмущения обусловлены средним значением По времени от возмущающей энергии $\bar{H}_{1}$. Нам нужно поэтому вычислить среднее по времени от положения электрона; это среднее одновременно определяет значение «центра заряда» водородного атома. Мы увидим, что эта величина не совпадает с началом координат в случае эллиптической орбиты. Таким образом, атом ведет себя как электрический диполь, и нам следует ожидать секулярных эффектов, возникающих в результате действия электрического поля. Причина, по которой центр заряда не совпадает ни с центром масс (которым служит начало отсчета, т. е. фокус эллипса), ни с центром эллипса, состоит в том, что электрон движется быстрее вблизи перицентра, чем вблизи апоцентра, и проводит поэтому большее время в тех частях траектории, которые ближе примыкают к апоцентру. Для вычисления $z$ мы найдем прежде всего средние значения прямоугольных координат $\xi$ и $\eta$, введенных на рис. 28 и определяемых соотношениями (6,153). Используя тот факт, что $\beta_{1}$ — линейная функция времени [см, (6.155)] и связана с и соотношением (6.156), и то, что период переменной $u$ составляет $2 \pi$, мы получим: Если еще раз обратиться к рис. 26 и заметить, что «центр заряда» находится на линии $O P$, как это видно из выражений (7.307), мы найдем: Прежде чем обсуждать полученный результат, мы воспользуемся более элементарным методом для установления влияния электрического поля $\mathscr{E}$. Поле будет создавать момент силы, действующий в точках траектории электрона: $-e[\boldsymbol{x}, \mathscr{E}]$; здесь через $\boldsymbol{x}$ обозначен радиус-вектор электрона. Если обозначить через $\boldsymbol{n}$ единичный вектор, направленный вдоль главной осн к апоцентру, то мы получим из соотношений (7.307) для среднего по времени от $\boldsymbol{x}$ значение $\frac{3}{2}$ вan и тем самым для среднего по времени от момента силы значение $-\frac{3}{2}$ عae $[\boldsymbol{n}, \mathscr{E}]$. Теперь мы рассмотрим два частных случая: а) поле перпендикулярно орбитальной плоскости, б) поле $\mathscr{E}$ лежит в орбитальной плоскости, составляя угол $\psi$ с главной осью. Случай (а). Интересующее нас уравнение движения определяет производную по времени от момента импульса $M$ или Вектор момента импульса $M$ перпендикулярен орбитальюой плоскости, а вектор $[\boldsymbol{n}, \boldsymbol{\varepsilon}]$ лежит в орбитальной плоскости и направлен вдоль малой оси. Таким образом, оказывается, что орбитальная плоскость поворачивается Случай (б). Уравнение движения теперь уже имеет вид: поскольку теперь $M$ и $[\boldsymbol{n}, \mathscr{E}]$ параллельны. B предыдущем параграфе мы убедились, что величина $\alpha_{1}$ не подвержена секулярным возмущениям. Это означает, что $a$-постоянная величина. Следовательно, равенство (7.312) дает нам связь между скоростью изменения $\varepsilon$ и $\psi$, т. е. между скоростью изменения эксцентриситета и скоростью изменения ориентации орбиты. Из выражений (7.311), (7.312) и равенств (6.150), определяющих связь между $M\left(=\alpha_{2}\right)$ и $\varepsilon$ (имея в виду, что $\alpha_{1}$ — постоянная), мы получаем для производных по времени от $\varepsilon$ и $\psi$ : Орбита представляет собой розетку, лежащую в орбитальной плоскости. Мы видим, что $\alpha_{1}$ и $\alpha_{3}$ не меняются. Если подставить это выражение для $\bar{H}_{1}$ в усредненные по времени выражения (7.249), мы получим уравнения двнжения для секулярных изменений величин $\alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$ и $\beta_{8}$. Из этих уравнении можно получить уравнения движения для координат Вспоминая, что $\alpha_{1}$ и а постоянны, $\varepsilon^{2}=1-\left(\alpha_{2}^{2} / \alpha_{\hat{1}}^{\hat{1}}\right)$, мы получим после несколько громоздких вычислений следующие уравнения движения для величин $x, y$ : Из уравнений (7.317) видно, что центр заряда совершает гармонические колебания с частотой $\omega$, определяемой равенством где мы заменили а согласно (6.150) и (6.144).
|
1 |
Оглавление
|