Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, гамильтониан которой обладает сферической симметрией. Известно, что в этом случае после введения сферических координат $r, \theta$ и $\varphi$ угол $\varphi$ будет циклической координатой. Соответствующий импульс $p_{\varphi}$ можно ввести тогда в качестве одной из постоянных $\alpha_{i}$ (см. § 6.1), а соответствующая переменная действия $J_{\varphi}$ определяется равенством [ср. (6.224)]
\[
J_{\varphi}=2 \pi \rho_{\varphi}
\]

За соотестствующую угловую переменную $w_{4}$ может быть выбрана долгота восходящего узла (см. § 6.1), деленная на $2 \pi$.

Теперь допустим, что включается однородное магнитное поле $\boldsymbol{B}$. Поскольку невозмущенная система обладала сферической симметрией, направление полярной оси может быть выбрано произвольно; мы можем выбрать ее теперь так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля. Мы уже упоминали раньше о том, что влияние магнитного поля может быть учтено тем, что в кинетической энергии квадрат импульса $\boldsymbol{p}^{2}$ заменяется на $(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A})^{2}$, где $\boldsymbol{A}$ – вектор-потенциал магнитного поля [см. (5.355)]. Вектор-потенциал $\boldsymbol{A}$ можно выбрать в виде:
\[
A=\frac{1}{2}[B, x] ;
\]

предполагая магнитное поле слабым, мы можем записать еозмущенный гамильтониан в виде суммы:
\[
H=H_{0}+H_{1} \text {, }
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\frac{(p-e A)^{2}}{2 m}-\frac{p^{2}}{2 m} \approx-\frac{e(A \cdot p)}{m}= \\
=-\frac{e}{2 m}(p \cdot[B, x])=-\frac{e}{2 m}(B \cdot[x, p])=-\frac{e}{2 m} B p_{\varphi} .
\end{array}
\]

Индукция магнитного поля $B$ играет здесь роль малого параметра $\lambda$, введенного в предыдущем параграфе, по которому проводится разложение.

Так как $H_{1}$ содержит только $J_{\mathscr{f}}$, единственной переменной, участвующей в первом приближении, будет $w_{\varphi}$. Из канонических уравнений движения мы получаем:
\[
\dot{\omega}_{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial J_{\varphi}}=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\varphi}}+\frac{\partial H_{1}}{\partial J_{\varphi}}=\frac{\partial H_{1}}{\partial J_{\varphi}}=-\frac{e B}{4 \pi m c} .
\]

Из (7.305) следует, что орбитальная плоскость вращается вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью $e B / 2 m c$, так называемой ларморовской частотої; это вращение орбитальной плоскости называется ларморовской прецессией.

Случай слабого однородного электрического поля несколько более сложен. Одним из способов решення этої задачи может служить второй метод, описанный в первом параграфе этой главы (см. задачу 5 к гл. 6). Мы не станем здесь заниматься этой задачей во всех деталях, а ограничимся секулярными эрректами в однородном электрическом поле. Мы начнем с элементарного подхода, который в принципе годится также для случая скрещенных электрических и магнитных полей (см. задачу 3 к этой главе), а затем уже применим теорию секулярных возмущений, кратко нзложенную в конце предыдуцего параграфа. Во всех случаях мы будем заниматься только атомом водорода и воспользуемся результатами, полученными в предыдущей главе.

Направим опять ось $z$ по направлению поля, так что возмущение гамильтониана запишется в виде:
\[
H_{1}=e^{\mathscr{E} z}
\]

где через 8 обозначена напряженность электрического поля.

В качестве переменных $J$ и $ш$ мы воспользуемся величинами $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ из $\S 6.2$; мы вспомним также связь между большой полуось!о $a$, полным моментом импульса $M$, эксцентриситетом $\varepsilon$, наклоном орбитальной плоскости $i$ и $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}, \alpha_{3}-$ с одной стороны, и между временем, долготой перицентра, долготой восходящего узла и величинами $\beta_{1}$, $\beta_{2}$ и $\beta_{3}-$ с другой. Все необходимые соотношения были получены в § 6.1, и мы ими воспользуемся:

В предшествующем параграфе мы установили, что секу. лярные возмущения обусловлены средним значением По времени от возмущающей энергии $\bar{H}_{1}$. Нам нужно поэтому вычислить среднее по времени от положения электрона; это среднее одновременно определяет значение «центра заряда» водородного атома. Мы увидим, что эта величина не совпадает с началом координат в случае эллиптической орбиты. Таким образом, атом ведет себя как электрический диполь, и нам следует ожидать секулярных эффектов, возникающих в результате действия электрического поля.

Причина, по которой центр заряда не совпадает ни с центром масс (которым служит начало отсчета, т. е. фокус эллипса), ни с центром эллипса, состоит в том, что электрон движется быстрее вблизи перицентра, чем вблизи апоцентра, и проводит поэтому большее время в тех частях траектории, которые ближе примыкают к апоцентру.

Для вычисления $z$ мы найдем прежде всего средние значения прямоугольных координат $\xi$ и $\eta$, введенных на рис. 28 и определяемых соотношениями (6,153). Используя тот факт, что $\beta_{1}$ – линейная функция времени [см, (6.155)] и связана с и соотношением (6.156), и то, что период переменной $u$ составляет $2 \pi$, мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\bar{\xi}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} a(\cos u-\varepsilon)(1-\varepsilon \cos u) d u=-\frac{3}{2} a \varepsilon, \\
\bar{\eta}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} a\left(1-\varepsilon^{2}\right)^{2 / 2} \sin u(1-\varepsilon \cos u) d u=0 .
\end{array}
\]

Если еще раз обратиться к рис. 26 и заметить, что «центр заряда» находится на линии $O P$, как это видно из выражений (7.307), мы найдем:
\[
\overline{\boldsymbol{z}}=\bar{\xi} \sin \beta_{2} \sin i=-\frac{3}{2} e a \sin \beta_{2} \sin i .
\]

Прежде чем обсуждать полученный результат, мы воспользуемся более элементарным методом для установления влияния электрического поля $\mathscr{E}$. Поле будет создавать момент силы, действующий в точках траектории электрона: $-e[\boldsymbol{x}, \mathscr{E}]$; здесь через $\boldsymbol{x}$ обозначен радиус-вектор электрона. Если обозначить через $\boldsymbol{n}$ единичный вектор, направленный вдоль главной осн к апоцентру, то мы получим из соотношений (7.307) для среднего по времени от $\boldsymbol{x}$ значение $\frac{3}{2}$ вan и тем самым для среднего по времени от момента силы значение $-\frac{3}{2}$ عae $[\boldsymbol{n}, \mathscr{E}]$.

Теперь мы рассмотрим два частных случая: а) поле перпендикулярно орбитальной плоскости, б) поле $\mathscr{E}$ лежит в орбитальной плоскости, составляя угол $\psi$ с главной осью.

Случай (а). Интересующее нас уравнение движения определяет производную по времени от момента импульса $M$
\[
\frac{d M}{d t}=\text { моменту силы }=-\overline{e[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}]},
\]

или
\[
\frac{d M}{d t}=\frac{3}{2} e \varepsilon a[n, \mathscr{E}] .
\]

Вектор момента импульса $M$ перпендикулярен орбитальюой плоскости, а вектор $[\boldsymbol{n}, \boldsymbol{\varepsilon}]$ лежит в орбитальной плоскости и направлен вдоль малой оси. Таким образом, оказывается, что орбитальная плоскость поворачивается
вокруг большои оси. Скорость вращения определяется равенством
\[
r=\frac{3}{2} e \varepsilon a \mathscr{E} / M .
\]

Случай (б). Уравнение движения теперь уже имеет вид:
\[
\frac{d M}{d t}=\frac{3}{2} e \varepsilon a E \sin \psi,
\]

поскольку теперь $M$ и $[\boldsymbol{n}, \mathscr{E}]$ параллельны.
Выражение для $z$ не зависит от времени по определенню, и это можно записать так:
\[
\frac{3}{2} \varepsilon a \cos \psi=\text { const. }
\]

B предыдущем параграфе мы убедились, что величина $\alpha_{1}$ не подвержена секулярным возмущениям. Это означает, что $a$-постоянная величина. Следовательно, равенство (7.312) дает нам связь между скоростью изменения $\varepsilon$ и $\psi$, т. е. между скоростью изменения эксцентриситета и скоростью изменения ориентации орбиты. Из выражений (7.311), (7.312) и равенств (6.150), определяющих связь между $M\left(=\alpha_{2}\right)$ и $\varepsilon$ (имея в виду, что $\alpha_{1}$ – постоянная), мы получаем для производных по времени от $\varepsilon$ и $\psi$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d 8}{d t}=-\frac{3 e \mathscr{E} a}{2 \alpha_{1}}\left(1-e^{2}\right)^{1 / s} \sin \psi, \\
\frac{d \psi}{d t}=-\frac{3 e \mathscr{E} a}{2 \alpha_{1}} \frac{\left(1-\mathrm{e}^{2}\right)^{1 / 4}}{8} \cos \psi .
\end{array}
\]

Орбита представляет собой розетку, лежащую в орбитальной плоскости.
$\mathrm{K}$ решению этой задачи можно подойти иначе. Для этого нужно вернуться к уравнениям движения (7.249). Используя (6.147) и (6.150), можно видеть, что $\bar{z}$, а следовательно и $\bar{H}_{1}$, определяются выражением
\[
\vec{H}_{1}=-\frac{3 e^{\mathscr{E}} \alpha_{1}}{2 R \alpha_{2}}\left[\left(\alpha_{1}^{1}-\alpha_{8}^{2}\right)\left(\alpha_{8}^{2}-\alpha_{3}^{2}\right)\right]^{1 / 2} \sin \beta_{2} .
\]

Мы видим, что $\alpha_{1}$ и $\alpha_{3}$ не меняются. Если подставить это выражение для $\bar{H}_{1}$ в усредненные по времени выражения (7.249), мы получим уравнения двнжения для секулярных изменений величин $\alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$ и $\beta_{8}$. Из этих уравнении можно получить уравнения движения для координат
$x$ и $y$ центра заряда. Эти координаты можно выразить через $\beta_{2}, \beta_{3}$ и $i$ в виде:
\[
\begin{array}{l}
x=-\frac{3}{2} a e\left(\cos \beta_{2} \cos \beta_{3}-\sin \beta_{2} \sin \beta_{3} \cos i\right), \\
y=-\frac{3}{2} a \varepsilon\left(\cos \beta_{2} \sin \beta_{3}+\sin \beta_{2} \cos \beta_{3} \cos i\right) .
\end{array}
\]

Вспоминая, что $\alpha_{1}$ и а постоянны, $\varepsilon^{2}=1-\left(\alpha_{2}^{2} / \alpha_{\hat{1}}^{\hat{1}}\right)$,
\[
\dot{\beta}_{2}=\frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial \alpha_{2}}, \quad \dot{\beta}_{3}=\frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial \alpha_{3}}, \quad \dot{\alpha}_{2}=-\frac{\partial \vec{H}_{1}}{\partial \beta_{2}},
\]

мы получим после несколько громоздких вычислений следующие уравнения движения для величин $x, y$ :
\[
\ddot{x}=-\left(\frac{3 a e \mathscr{E}}{2 \alpha_{1}}\right)^{2} x, \quad \ddot{y}=-\left(\frac{3 a e \mathscr{E}}{2 \alpha_{1}}\right)^{2} y .
\]

Из уравнений (7.317) видно, что центр заряда совершает гармонические колебания с частотой $\omega$, определяемой равенством
\[
\omega=\frac{6 \pi p_{0} \alpha_{1}}{\text { Line }} \mathscr{E},
\]

где мы заменили а согласно (6.150) и (6.144).
Заканчивая эту главу, мы должны сказать о том, что здесь фактически рассмотрена лишь незначительная часть многочисленных аспектов теории возмущений. Так, напрнмер, вопрос о пернодических возмущениях, играющий необычайно важную роль в небесной механике, оставлен нами вовсе без внимания.