Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, гамильтониан которой обладает сферической симметрией. Известно, что в этом случае после введения сферических координат $r,\theta$ и $\phi$ угол $\phi$ будет циклической координатой. Соответствующий импульс $p_{\phi }$ можно ввести тогда в качестве одной из постоянных ${\alpha }_i$ (см. § 6.1), а соответствующая переменная действия $J_{\phi }$ определяется равенством [ср. (6.224)]
$$J_{\phi }=2\pi {\rho }_{\phi }$$

За соотестствующую угловую переменную $w_4$ может быть выбрана долгота восходящего узла (см. § 6.1), деленная на $2\pi$.

Теперь допустим, что включается однородное магнитное поле $\mathit{B}$. Поскольку невозмущенная система обладала сферической симметрией, направление полярной оси может быть выбрано произвольно; мы можем выбрать ее теперь так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля. Мы уже упоминали раньше о том, что влияние магнитного поля может быть учтено тем, что в кинетической энергии квадрат импульса ${\mathit{p}}^2$ заменяется на $(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^2$, где $\mathit{A}$ — вектор-потенциал магнитного поля [см. (5.355)]. Вектор-потенциал $\mathit{A}$ можно выбрать в виде:
$$A=\frac{1}{2}[B,x];$$

предполагая магнитное поле слабым, мы можем записать еозмущенный гамильтониан в виде суммы:
$$H=H_0+H_1\text{, }$$

где
$$\begin{array}{l}{H}_1=\frac{(p-eA{)}^2}{2m}-\frac{p^2}{2m}\approx -\frac{e(A\cdot p)}{m}=\\ =-\frac{e}{2m}(p\cdot [B,x])=-\frac{e}{2m}(B\cdot [x,p])=-\frac{e}{2m}B{p}_{\phi }.\end{array}$$

Индукция магнитного поля $B$ играет здесь роль малого параметра $\lambda$, введенного в предыдущем параграфе, по которому проводится разложение.

Так как $H_1$ содержит только $J_{\mathcal{f}}$, единственной переменной, участвующей в первом приближении, будет $w_{\phi }$. Из канонических уравнений движения мы получаем:
$${\dot{\omega }}_{\phi }=\frac{\partial H}{\partial J_{\phi }}=\frac{\partial H_0}{\partial J_{\phi }}+\frac{\partial H_1}{\partial J_{\phi }}=\frac{\partial H_1}{\partial J_{\phi }}=-\frac{eB}{4\pi mc}.$$

Из (7.305) следует, что орбитальная плоскость вращается вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью $eB/2mc$, так называемой ларморовской частотої; это вращение орбитальной плоскости называется ларморовской прецессией.

Случай слабого однородного электрического поля несколько более сложен. Одним из способов решення этої задачи может служить второй метод, описанный в первом параграфе этой главы (см. задачу 5 к гл. 6). Мы не станем здесь заниматься этой задачей во всех деталях, а ограничимся секулярными эрректами в однородном электрическом поле. Мы начнем с элементарного подхода, который в принципе годится также для случая скрещенных электрических и магнитных полей (см. задачу 3 к этой главе), а затем уже применим теорию секулярных возмущений, кратко нзложенную в конце предыдуцего параграфа. Во всех случаях мы будем заниматься только атомом водорода и воспользуемся результатами, полученными в предыдущей главе.

Направим опять ось $z$ по направлению поля, так что возмущение гамильтониана запишется в виде:
$$H_1=e^{\mathcal{E}z}$$

где через 8 обозначена напряженность электрического поля.

В качестве переменных $J$ и $ш$ мы воспользуемся величинами ${\alpha }_i$ и ${\beta }_i$ из $\mathrm{\S }6.2$; мы вспомним также связь между большой полуось!о $a$, полным моментом импульса $M$, эксцентриситетом $\epsilon$, наклоном орбитальной плоскости $i$ и ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2,{\alpha }_3-$ с одной стороны, и между временем, долготой перицентра, долготой восходящего узла и величинами ${\beta }_1$, ${\beta }_2$ и ${\beta }_3-$ с другой. Все необходимые соотношения были получены в § 6.1, и мы ими воспользуемся:

В предшествующем параграфе мы установили, что секу. лярные возмущения обусловлены средним значением По времени от возмущающей энергии ${\overline{H}}_1$. Нам нужно поэтому вычислить среднее по времени от положения электрона; это среднее одновременно определяет значение «центра заряда» водородного атома. Мы увидим, что эта величина не совпадает с началом координат в случае эллиптической орбиты. Таким образом, атом ведет себя как электрический диполь, и нам следует ожидать секулярных эффектов, возникающих в результате действия электрического поля.

Причина, по которой центр заряда не совпадает ни с центром масс (которым служит начало отсчета, т. е. фокус эллипса), ни с центром эллипса, состоит в том, что электрон движется быстрее вблизи перицентра, чем вблизи апоцентра, и проводит поэтому большее время в тех частях траектории, которые ближе примыкают к апоцентру.

Для вычисления $z$ мы найдем прежде всего средние значения прямоугольных координат $\xi$ и $\eta$, введенных на рис. 28 и определяемых соотношениями (6,153). Используя тот факт, что ${\beta }_1$ — линейная функция времени [см, (6.155)] и связана с и соотношением (6.156), и то, что период переменной $u$ составляет $2\pi$, мы получим:
$$\begin{array}{c}\overline{\xi }=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }a(\cos u-\epsilon )(1-\epsilon \cos u)du=-\frac{3}{2}a\epsilon ,\\ \overline{\eta }=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }a{(1-{\epsilon }^2)}^{2/2}\sin u(1-\epsilon \cos u)du=0.\end{array}$$

Если еще раз обратиться к рис. 26 и заметить, что «центр заряда» находится на линии $OP$, как это видно из выражений (7.307), мы найдем:
$$\bar{\mathit{z}}=\overline{\xi }\sin {\beta }_2\sin i=-\frac{3}{2}ea\sin {\beta }_2\sin i.$$

Прежде чем обсуждать полученный результат, мы воспользуемся более элементарным методом для установления влияния электрического поля $\mathcal{E}$. Поле будет создавать момент силы, действующий в точках траектории электрона: $-e[\mathit{x},\mathcal{E}]$; здесь через $\mathit{x}$ обозначен радиус-вектор электрона. Если обозначить через $\mathit{n}$ единичный вектор, направленный вдоль главной осн к апоцентру, то мы получим из соотношений (7.307) для среднего по времени от $\mathit{x}$ значение $\frac{3}{2}$ вan и тем самым для среднего по времени от момента силы значение $-\frac{3}{2}$ عae $[\mathit{n},\mathcal{E}]$.

Теперь мы рассмотрим два частных случая: а) поле перпендикулярно орбитальной плоскости, б) поле $\mathcal{E}$ лежит в орбитальной плоскости, составляя угол $\psi$ с главной осью.

Случай (а). Интересующее нас уравнение движения определяет производную по времени от момента импульса $M$
$$\frac{dM}{dt}=\text{ моменту силы }=-\overline{e[\mathit{x},\mathit{\epsilon }]},$$

или
$$\frac{dM}{dt}=\frac{3}{2}e\epsilon a[n,\mathcal{E}].$$

Вектор момента импульса $M$ перпендикулярен орбитальюой плоскости, а вектор $[\mathit{n},\mathit{\epsilon }]$ лежит в орбитальной плоскости и направлен вдоль малой оси. Таким образом, оказывается, что орбитальная плоскость поворачивается
вокруг большои оси. Скорость вращения определяется равенством
$$r=\frac{3}{2}e\epsilon a\mathcal{E}/M.$$

Случай (б). Уравнение движения теперь уже имеет вид:
$$\frac{dM}{dt}=\frac{3}{2}e\epsilon aE\sin \psi ,$$

поскольку теперь $M$ и $[\mathit{n},\mathcal{E}]$ параллельны.
Выражение для $z$ не зависит от времени по определенню, и это можно записать так:
$$\frac{3}{2}\epsilon a\cos \psi =\text{ const. }$$

B предыдущем параграфе мы убедились, что величина ${\alpha }_1$ не подвержена секулярным возмущениям. Это означает, что $a$-постоянная величина. Следовательно, равенство (7.312) дает нам связь между скоростью изменения $\epsilon$ и $\psi$, т. е. между скоростью изменения эксцентриситета и скоростью изменения ориентации орбиты. Из выражений (7.311), (7.312) и равенств (6.150), определяющих связь между $M(={\alpha }_2)$ и $\epsilon$ (имея в виду, что ${\alpha }_1$ — постоянная), мы получаем для производных по времени от $\epsilon$ и $\psi$ :
$$\begin{array}{l}\frac{d8}{dt}=-\frac{3e\mathcal{E}a}{2{\alpha }_1}{(1-e^2)}^{1/s}\sin \psi ,\\ \frac{d\psi }{dt}=-\frac{3e\mathcal{E}a}{2{\alpha }_1}\frac{{(1-{\mathrm{e}}^2)}^{1/4}}{8}\cos \psi .\end{array}$$

Орбита представляет собой розетку, лежащую в орбитальной плоскости.
$\mathrm{K}$ решению этой задачи можно подойти иначе. Для этого нужно вернуться к уравнениям движения (7.249). Используя (6.147) и (6.150), можно видеть, что $\overline{z}$, а следовательно и ${\overline{H}}_1$, определяются выражением
$${\overrightarrow{H}}_1=-\frac{3e^{\mathcal{E}}{\alpha }_1}{2R{\alpha }_2}{\left[({\alpha }_1^1-{\alpha }_8^2)({\alpha }_8^2-{\alpha }_3^2)\right]}^{1/2}\sin {\beta }_2.$$

Мы видим, что ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_3$ не меняются. Если подставить это выражение для ${\overline{H}}_1$ в усредненные по времени выражения (7.249), мы получим уравнения двнжения для секулярных изменений величин ${\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ и ${\beta }_8$. Из этих уравнении можно получить уравнения движения для координат
$x$ и $y$ центра заряда. Эти координаты можно выразить через ${\beta }_2,{\beta }_3$ и $i$ в виде:
$$\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}ae(\cos {\beta }_2\cos {\beta }_3-\sin {\beta }_2\sin {\beta }_3\cos i),\\ y=-\frac{3}{2}a\epsilon (\cos {\beta }_2\sin {\beta }_3+\sin {\beta }_2\cos {\beta }_3\cos i).\end{array}$$

Вспоминая, что ${\alpha }_1$ и а постоянны, ${\epsilon }^2=1-\left({\alpha }_2^2/{\alpha }_{\hat{1}}^{\hat{1}}\right)$,
$${\dot{\beta }}_2=\frac{\partial {\overline{H}}_1}{\partial {\alpha }_2},{\dot{\beta }}_3=\frac{\partial {\overline{H}}_1}{\partial {\alpha }_3},{\dot{\alpha }}_2=-\frac{\partial {\overrightarrow{H}}_1}{\partial {\beta }_2},$$

мы получим после несколько громоздких вычислений следующие уравнения движения для величин $x,y$ :
$$\ddot{x}=-{\left(\frac{3ae\mathcal{E}}{2{\alpha }_1}\right)}^{2}x,\ddot{y}=-{\left(\frac{3ae\mathcal{E}}{2{\alpha }_1}\right)}^{2}y.$$

Из уравнений (7.317) видно, что центр заряда совершает гармонические колебания с частотой $\omega$, определяемой равенством
$$\omega =\frac{6\pi p_0{\alpha }_1}{\text{ Line }}\mathcal{E},$$

где мы заменили а согласно (6.150) и (6.144).
Заканчивая эту главу, мы должны сказать о том, что здесь фактически рассмотрена лишь незначительная часть многочисленных аспектов теории возмущений. Так, напрнмер, вопрос о пернодических возмущениях, играющий необычайно важную роль в небесной механике, оставлен нами вовсе без внимания.