Теория, изложенная в предыдущем параграфе, вуде: проиллюстрирована на нескольких простых примерах. В качестве первого примера мы выбрали так называемый двойной маятник (рис. 12). В такой маятник входят две массы $M$ и $m$; первая масса находится на фиксированном расстоянии $a$ от точки подвеса $P$, а вторая – на́ фиксированном расстоянии $b$ от первой массы. Мы можем ограничиться движением системы в одной плоскости, так что система будет обладать двумя степенями свободы. Более того, для упрощения вычислений мы будем считать $a=b$. В качестве обобщенных координат мы выберем углы $\varphi$ и $\psi$ (см. рис. 12). Потенциальная энергия системы $U$ запишется в виде:
\[
\begin{aligned}
U= & C-M g a \cos \varphi- \\
& -m g a(\cos \varphi+\cos \psi),(3.201)
\end{aligned}
\]

Рис. 12. Двойной маятник.
где $C$-константа, определяющая нуль потенциальной энергии, а $g$ – ускорение силы тяжести.
Положения равновесия определятся из уравнений
\[
\frac{\partial U}{\partial \varphi}=\mu g a \sin \varphi=0, \quad \frac{\partial U}{\partial \psi}=m g a \sin \psi=0 .
\]

Здесь через $\mu$ обозначена сумма масс обеих частиц:
\[
\mu=m+M \text {. }
\]

Уравнения (3.202) имеют четыре совокупности решений:
(I) $\varphi_{\mathrm{eq}}=\psi_{\mathrm{eq}}=0$;
(II) $\varphi_{\mathrm{eq}}=0, \psi_{\mathrm{eq}}=\pi$;
(III) $\varphi_{\mathrm{eq}}=\pi, \psi_{\mathrm{eq}}=0$; (IV) $\varphi_{\mathrm{eq}}=\psi_{\mathrm{eq}}=\pi$.

Непосредственно видно, что решение (I) соответствует устойчивому равновесию, а потенциальная энергия в окрестности этого положения равновесия ведет себя так, как на рис. 11,a. Решения (II) и (III) соответствуют рис. 11,6, а решение (IV) – рис. 11, г. Если мы обозначнм $q_{1}=\varphi-\varphi_{\text {еq }}, q_{2}=\psi-\psi_{\text {еq }}$, мы получим для потенциальной энергии системы в приближении малой амплитуды:
\[
\begin{aligned}
U-U_{\mathrm{eq}} & =\frac{1}{2} g a\left[\mu q_{1}^{\mathrm{a}}+m q_{2}^{\mathrm{a}}\right] \\
& =\frac{1}{2} g a\left[\mu q_{1}^{2}-m q_{2}^{\mathrm{s}}\right] \\
& =\frac{1}{2} g a\left[-\mu q_{1}^{\mathrm{a}}+m q_{2}^{\mathrm{s}}\right] \\
& =\frac{1}{2} g a\left[-\mu q_{1}^{9}-m q_{2}^{\circ}\right]
\end{aligned}
\]

Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия в том же приближении запишется следующим образом:
\[
T=\frac{1}{2} \mu a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} m a^{2} \dot{\psi}^{2}+m a^{2} \dot{\varphi} \psi \cos (\varphi-\psi),
\]

или же
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} a^{2}\left[\mu \dot{q}_{1}^{2}+2 m \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+m \dot{q}_{2}^{9}\right], \\
& =\frac{1}{2} a^{2}\left[\mu \dot{q}_{1}^{0}-2 m \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+m \dot{q}_{2}^{2}\right],
\end{aligned}
\]

Уравнение (3.121) для нашего случая запишется так:
\[
\begin{array}{l}
\left|\begin{array}{cc}
\lambda \mu a^{2}-\mu g a & \lambda m a^{2} \\
\lambda m a^{2} & \lambda m a^{2}-m g a
\end{array}\right|=0 \quad \text { (I); } \\
\left|\begin{array}{cc}
\lambda \mu a^{2}-\mu g a & -\lambda m a^{2} \\
-\lambda m a^{2} & \lambda m a^{2}+m g a
\end{array}\right|=0 \quad \text { (II); } \\
\left|\begin{array}{cc}
\lambda \mu a^{2}+\mu g a & -\lambda m a^{2} \\
-\lambda m a^{2} & \lambda m a^{2}-m g a
\end{array}\right|=0 \quad \text { (II); } \\
\left|\begin{array}{cc}
\lambda \mu a^{2}+\mu g a & \lambda m a^{2} \\
\lambda m a^{2} & \lambda m a^{2}+m g a
\end{array}\right|=0 \quad \text { (IV). }
\end{array}
\]

Из уравнения (3.207) вытекают алгебраические уравнения для $\lambda:$
\[
M a^{2} \lambda^{2}-2 \mu g a \lambda+\mu g^{2}=0 ;
\]
\[
\begin{array}{l}
M a^{2} \lambda^{2}-\mu g^{2}=0 ; \\
M a^{2} \lambda^{2}+2 \mu g a \lambda+\mu g^{2}=0 .
\end{array}
\]

Корни этих урацћений – собственные вначения $\lambda$ такім образом равны:
\[
\begin{aligned}
\text { (I) } & \lambda_{1,2}=(\mu g / M a)[1 \pm \sqrt{m / \mu}] ; \\
\text { (II), (III) } & \lambda_{1,2}= \pm(g / a) \sqrt{\mu / M} ;
\end{aligned}
\]
\[
\lambda_{1,2}=-(\mu g / M a)[1 \pm \sqrt{m / \mu}],
\]

причем мы использовали (3.203).
Мы нашли, что в случае (I) оба значения $\lambda$ положительны (поскольку $m<\mu$ ); в случаях (II) и (II) одно значение $\lambda$ положительюо, а другое отрицательно; в случае же (IV) оба значєиия $\lambda$ отрицательны. Этот результат находится в полном соответствии с рассуждениями в связи с (3.135). Очень поучительно взглянуть на нормальные координаты в случаях (I), (II) и (III). Мы найдем их из (3.136) п (3.131). Второе из этих двух уравнений определяет нормировку $\alpha_{k}^{(m)}$; если не принимать в расчет нормировку, мы обнаружим, что $Q_{m}$ не обязательно приводят одноврменно кинетическую и потенциальную энергию к виду (3.138) и (3.139). Очень просто найти отношения $\alpha_{k}^{(m)}$ и ловольно утомительно добиваться их нормировки. Выпшем скончательный результат:
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}=a \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\mu}}}\left[\sqrt{\mu} \cdot q_{1}-\sqrt{m} \cdot q_{2}\right], \\
Q_{2}=a \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\mu}}\left[\sqrt{\mu} \cdot q_{1}+\sqrt{m} \cdot q_{2}\right]} ;
\end{array}
\]
(II)
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}=a \sqrt{\frac{1}{2} \mu+\frac{1}{2} \sqrt{M} \mu}\left[\left(\sqrt{\frac{M}{m}}-\sqrt{\frac{\bar{\mu}}{m}}\right) q_{1}+\sqrt{\frac{m}{\mu}} q_{2}\right], \\
Q_{2}=a \sqrt{\frac{1}{2} \mu \frac{1}{2} \sqrt{\bar{M} \mu}}\left[\left(\sqrt{\frac{M}{m}}+\sqrt{\frac{\mu}{m}}\right) q_{1}-\sqrt{\frac{m}{\mu}} q_{2}\right]
\end{array}
\]
(3.210)
(III) $Q_{1}=a \sqrt{\frac{1}{2} \mu-\frac{1}{2} \sqrt{M} \bar{\mu}}\left[\left(\sqrt{\frac{M}{m}}+\sqrt{\frac{n}{m}}\right) q_{1}-\sqrt{\frac{m}{\mu}} q_{2}\right]$,
\[
Q_{2}=a \sqrt{\frac{1}{2} \mu+\frac{1}{2} \sqrt{M \mu}}\left[\left(\sqrt{\frac{M}{m}}-\sqrt{\frac{\mu}{m}}\right) q_{1}+\sqrt{\frac{m}{\mu}} q_{2}\right] .
\]

Чтобы понять, какой вид движения соответствует нормальным колебаниям (подам), начнем с первого случая (I). Если реализуется только первая мода колебаний $Q_{1}$, то $Q_{2}$ должно равняться нулю, откуда следует, что $q_{1}$ и $q_{2}$ должны быть противоположного знака и амплитуда $q_{2}$

Рис. 13. Нормальные моды двойного малтника. $P$ – точка подвеса.
a) Первая мода для случая (I), когда потещциальная энергия имеет абсолютный минимум.
б) Вторая мода для случая (I), когда потенциальная энергия имеет абсолютный минимум.
в) Первая (устойчивая) мода для случая (II), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
2) Вторая (нестабильная) мода для случая (II), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
d) Первая (устойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
e) Вторая (неустойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.

На рис. $в, 2, \partial$, е кривая, описываемая центром масс двух масс $m$ и $M$, изображена пунктирной линей.

больше амплитуды $q_{1}$ в $\sqrt{\mu / m}$ раз. Это означает, что рассматриваемая мода выглядит примерно так, как это изображено на рис. $13, a$. Аналогичным образом мы получим для второй моды картинку, приведенную на рис. 13, б. В случаях (II) и (III) мы сталкиваемся с одной устойчивой модой (соответствующей положительному значению $\lambda_{1}$ ) и одной неустойчивой модой (для отрицательного значения $\lambda_{2}$ ). Эти моды изображены на рис. 13 , в-е

Мы хотим обратить внимание читателей на то обстоятельство, что устойчивая мода в случае (II), например, включает в себя движение обеих масс $M$ и $m$. С первого взгляда может показаться, что масса $M$ будет оставаться в покое. Однако если масса $M$ имеет конечное значение, то при движении массы $m$ на нее будет оказываться некоторое действие; поэтому устойчивая мода реализуется только в том случае, когда обе массы движутся (в противоположном направлении) таким образом, что потенциальная энергия фактически возрастает. Любопытно отметить, что если $M \rightarrow \infty$, стабильная мода действительно соответствует движению только одной массы $m$.

В предельном случае $M \rightarrow 0$ мы найдем для случая (I), что для первой моды $\lambda_{1} \rightarrow \infty$ : масса $m$ расположена на вертикали под точкой подвеса $P$ (в этом случае $q_{1}=-q_{2}$ ), тогда как масса $M$ колеблется с бесконечно большой частотой. Для второй моды мы находим, что $q_{1}=q_{2}$ и $\lambda_{2}=g / 2 a$ : система колеблется так, как если бы у нас был обычный маятник длиной $2 a$ !