Теперь мы переходим к системам, состоящим из нескольких точечных масс. Мы будем предполагать, что сила $F_i$, действующая на $i$-ю частицу, может быть получена из потенциальной функции $U\left({\mathit{x}}_{\mathit{i}}\right)$ следующим образомы
$${\mathit{F}}_i=-abl{a}_{i}U,$$

так что уравнения движения запишутся так:
$$m_i{\ddot{x}}_i=F_i=-abl{a}_{i}U.$$

Первое следствие предположения (1.301) состоит в том, что рассматриваемая система консервативна; это значит, что ее полная энергия $E$, определяемая равенством
$$E=T+U=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i{\dot{x}}_i+U,$$

является константой, поскольку
$$\frac{d}{dt}(T+U)=\sum _i{m}_i({\ddot{x}}_i\cdot {\dot{x}}_i)+\sum _i({\dot{x}}_i\cdot abl{a}_{i}U)=0.$$

Далєе мы несколько ограничим класс рассматриваемых систем, предположив, что потенциальная энергия представляет сумму потенциальных энергий пар частиц и что сами эти потенциальные энергии зависят только от расстояний между соответствующими парами частиц $r_{ij}$ :
$$U=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{U}_{ij}\left(r_{ij}\right),U_{ij}=U_{jl},U_{ii}=0.$$

Одним из следствий только что выписанных уравнений будет то, что сила, действующая на каждую отдельную частицу, равна векторной сумме (центральных) сил, действующих на эту частицу со стороны всех остальных частиц; это означает, что силы, действующие в системе, аддитивны. Чтобы доказать это утверждение, мы отметим сначала, что сила ${\mathit{F}}_{ij}$, действующая со стороны частицы $j$ на частицу $i$, находится по правилу:
$$F_{ij}=-abl{a}_i{U}_{ij}=-\frac{d{U}_{ij}}{d{r}_{ij}}abl{a}_i{r}_{ij}=-\frac{d{U}_{ij}}{d{r}_{ij}}\frac{x_{ij}}{r_{ij}},x_{ij}=x_i-x_j.$$

1 lолная (суммарная) сила, действуюшая на $i$-ю частину, найдется как
$$F_i=-abl{a}_{i}U=-\sum _{j}abl{a}_i{U}_{ij}=\sum _i{F}_{ij},$$

откуда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если потенциальная энергия системы имеет вид (1.304), так что единственными силами, действующими на частицы, входящие в состав рассматриваемой системы, будут силы взаимодействия между частицами, то не только полная. энергия $E$, но также полный импульс системы $P$ и полный момент импульса снстемы $M$ будут интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. Запишем выражения для полного импульса системы и его пронзводной по времени:
$$\begin{array}{c}P=\sum _i{m}_i{\dot{x}}_i,\\ \frac{dP}{dt}=\sum _i{m}_i{\ddot{x}}_i=-\sum _{i,j}\frac{d{U}_{ij}}{d{r}_{ij}}\frac{x_{ij}}{r_{ij}},\end{array}$$

где мы использовали (1.305), (1.306) и (1.302). В выражении (1.308) индексы $i$ и $j$ немые, и мы вправе помеиять $i$ на $j$ и наоборот — при этом двойная сумма не изменится. С другой стороны, если мы просто переменим местами индексы $i$ и $j$ в этой двойной сумме, сумма должна изменить свой знак, поскольку ${\mathit{x}}_{ij}=-{\mathit{x}}_{ji}$. Так как сумма оказывается равной самой себе с обратным знаком, она должна быть равна нулю; отсода и вытекает, что $\mathit{P}$ — постоянный весктор.

Аналогично, мы записываем выражения для полного момента импульса и его производной по времени:
$$\begin{array}{c}M=\sum _i{m}_i[x_i,{\dot{x}}_i]\\ \frac{dM}{dt}=\sum _i{m}_i[x_i,{\ddot{x}}_i]=\\ =-\sum _{i,i}\frac{d{U}_{ij}}{d{r}_{ij}}[x_i,\frac{x_{ij}}{r_{ij}}]=\sum _{i,j}\frac{d{U}_{ij}}{d{r}_{ij}}\frac{[x_{i,},x_j]}{r_{ij}},\end{array}$$

где мы использовали (1.305), (1.306), (1.302) и определение $x_{ij}=x_i-x_j$.

С помощью тех же самых рассуждений, какие использовались при доказательстве того, что $\mathit{P}$ — интеграл дви34

жения, можно показать, что и вектор $M$ — константа движения.

Не лишено интереса непосредственное доказательство постоянства $\mathit{P}$ и $\mathit{M}$ с помощью третьего закона Ньютона $(F_{ij}=-F_{ji})$, второго закона Ньютона и геометрических соображений. Мы предоставляем сделать это читателю в виде упражнения.

Қак в классической, так и в квантовой механике играет важную роль так называемая теорема вириала, касающаяся среднего по времени от так называемого вириала Клаузиуса $\mathcal{V}$, определяемого как
$${\vartheta }^u=\sum _i(F_i\cdot x_i)$$

Вириал Клаузиуса можно переписать также в виде:
$$\vartheta =\sum _i{m}_i({\ddot{\mathit{x}}}_i\cdot {\mathit{x}}_i)=\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{r}_i\right)-2T.$$

Если рассматриваемая система не разлетается, иными словами — ни одна из величин ${\mathit{x}}_i$ или ${\dot{\mathit{x}}}_i$ никогда не становится бесконечно большой, среднее по времени от первого члена, стоящего в правой части (1.312), будет равно нулю, и для этого случая можно записать:
$$\overline{2T+{\vartheta }^{\mathrm{\top }}}=0,$$

где черта над буквенным символом означает усреднение по временит
$$\overline{f}=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}{T}^{-1}{\int }_t^{t+T}f(t)dt.$$

Если к тому же справедливо равенство (1.301), можно также написать, что
$$\mathcal{V}=-\sum _i(x_i\cdot abl{a}_{i}U)$$

В том довольно часто встречающемся случае, когда $U$ представляет собой однородную функцию координат порядка $g$, можно воспользоваться теоремой Эйлера для таких функций и написать вместо правой части (1.314) — gU. Из сопоставления формул (1.313), (1.314) и (1.303) мы получаем:
$$2T-gU=0,T+U=E,$$
2 $\cdot$

вативным, если сила в каждой точке может быть получ -ена из потениальной функции $U$ дифференцированием, а именно:
$$F=-ablaU,$$

где через $abla$ обозначен оператор градиента, компонентами которого являются операторы $\partial /\partial x,\partial /\partial y,\partial /\partial z$.
В этом случае
$${\int }_{i^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}(F\cdot dx)=-{\int }_{i^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}(ablaU\cdot dx)=-U^{\prime \prime }+U^{\prime },$$

или, принимая во внимание (1.111) и (1.112),
$$T^{\prime }+U^{\prime }=T^{\prime \prime }+U^{\prime \prime }\text{. }$$

Потенциал $U$ носит название потенциальной энергии, и мы видим непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция $U$ явно не зависит от $t$, полная энергия частицы $E$, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии
$$E=T+U,$$

представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую величину, которая не меняется во время движения частицы.

Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил треєованием, чтобы интеграл $I$ (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени $t^{\prime }$ и $t^{\prime \prime }$, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в п́ромежутке времени между $t^{\prime }$ и $t^{\prime \prime }$.

Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем написать:
$$E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+U(x),$$

или же, разрешая относительно $\dot{x}$,
$$\dot{x}=[(2/m)(E-U){]}^{1/2}.$$

капли и показать, что ее ускорение стремится $\mathbf{z}$ некоторочу конечиому пределу, когда время стремится к бесконечности.
8. Частица, масса которой равна единице, движется в потенцимьном поле с потенциальной функцией $U=-\mu r^{-n}$.
a) Показать, что частице можно сообщить некоторую конечную скорость в любой точке $A$ (за исключением начала координат) так, что она уйдет на бесконечность, в том и только в том случае, когда $n>0$.
6) Найти минимальную начальную скорость (скорость отрыва), ґеобходимую для того, чтобы частица ушла на бесконечность, как функцию расстояния точки $\mathit{A}$ от начала координт (это расстояние обозначим через $a$ ).
в) Пусть частица испускается со скоростью отрыва из точки $A$. [lоказать, что в люобой точке своей траектории частица обладает скоростью, равной скорости отрыва; показать, что траектория частниы если она не прямая линя — будет окружностью при $n=4$; показать также, что траектория частицы — если она не прямая — не јходит в бесконечность, если $n>2$.
6. Частица, масса которой равна единице, запускается из точки $r_0$ со скоростью $\mathit{v}$ вдоль прямой, расстояние которой от начала координат (т. е. по нормали, опущенной из начала координат на прямую) равно $p$. На частицу действует сила притяжения — Nr/r ${\mathbf{r}}^3$. Показать, что если $N/r_0\ll {\tau }^2$, то частица будет отклонена на углл, равный пример1ю $\pi -2\mathrm{arctg}\left(v^{2}p/N\right)$.
7. Вывести соотношение (1.258), не прибегая к помощи (1.255) указание. Полное изменение импульса рассеиваем чй частицы напуавлено по ${\mathit{r}}_0$ (см. рис. 6) и равно $2mv\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta \mathrm{sc}}{2})$. С другой стороны, сила, действующая в этом направлении, в любой момент врмени равна $(k\cos \theta )/r$. Изменение импульса по данному направлению равно интегралу по времени от компоненты силы по данному направлению. Интегрирование по времени можно заменить интегрированием по углу $\theta$, если воспользоваться (1.214). С учетом (1.252) формула (1.258) получается непосредственно.
8. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния точечной частицы на потенциальной функции, соответствующей рассеянию на жесткой сфере радиуса $a$.
9. Выразить дифференциальное сечение, полученное в предыдущей задаче, через энергию, терлемую рассеиваемой частицей.