Теперь мы переходим к системам, состоящим из нескольких точечных масс. Мы будем предполагать, что сила $F_{i}$, действующая на $i$-ю частицу, может быть получена из потенциальной функции $U\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ следующим образомы
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-
abla_{i} U,
\]

так что уравнения движения запишутся так:
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=F_{i}=-
abla_{i} U .
\]

Первое следствие предположения (1.301) состоит в том, что рассматриваемая система консервативна; это значит, что ее полная энергия $E$, определяемая равенством
\[
E=T+U=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}+U,
\]

является константой, поскольку
\[
\frac{d}{d t}(T+U)=\sum_{i} m_{i}\left(\ddot{x}_{i} \cdot \dot{x}_{i}\right)+\sum_{i}\left(\dot{x}_{i} \cdot
abla_{i} U\right)=0 .
\]

Далєе мы несколько ограничим класс рассматриваемых систем, предположив, что потенциальная энергия представляет сумму потенциальных энергий пар частиц и что сами эти потенциальные энергии зависят только от расстояний между соответствующими парами частиц $r_{i j}$ :
\[
U=\frac{1}{2} \sum_{i, j} U_{i j}\left(r_{i j}\right), \quad U_{i j}=U_{j l}, \quad U_{i i}=0 .
\]

Одним из следствий только что выписанных уравнений будет то, что сила, действующая на каждую отдельную частицу, равна векторной сумме (центральных) сил, действующих на эту частицу со стороны всех остальных частиц; это означает, что силы, действующие в системе, аддитивны. Чтобы доказать это утверждение, мы отметим сначала, что сила $\boldsymbol{F}_{i j}$, действующая со стороны частицы $j$ на частицу $i$, находится по правилу:
\[
F_{i j}=-
abla_{i} U_{i j}=-\frac{d U_{i j}}{d r_{i j}}
abla_{i} r_{i j}=-\frac{d U_{i j}}{d r_{i j}} \frac{x_{i j}}{r_{i j}}, \quad x_{i j}=x_{i}-x_{j} .
\]

1 lолная (суммарная) сила, действуюшая на $i$-ю частину, найдется как
\[
F_{i}=-
abla_{i} U=-\sum_{j}
abla_{i} U_{i j}=\sum_{i} F_{i j},
\]

откуда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если потенциальная энергия системы имеет вид (1.304), так что единственными силами, действующими на частицы, входящие в состав рассматриваемой системы, будут силы взаимодействия между частицами, то не только полная. энергия $E$, но также полный импульс системы $P$ и полный момент импульса снстемы $M$ будут интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. Запишем выражения для полного импульса системы и его пронзводной по времени:
\[
\begin{array}{c}
P=\sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}, \\
\frac{d P}{d t}=\sum_{i} m_{i} \ddot{x}_{i}=-\sum_{i, j} \frac{d U_{i j}}{d r_{i j}} \frac{x_{i j}}{r_{i j}},
\end{array}
\]

где мы использовали (1.305), (1.306) и (1.302). В выражении (1.308) индексы $i$ и $j$ немые, и мы вправе помеиять $i$ на $j$ и наоборот – при этом двойная сумма не изменится. С другой стороны, если мы просто переменим местами индексы $i$ и $j$ в этой двойной сумме, сумма должна изменить свой знак, поскольку $\boldsymbol{x}_{i j}=-\boldsymbol{x}_{j i}$. Так как сумма оказывается равной самой себе с обратным знаком, она должна быть равна нулю; отсода и вытекает, что $\boldsymbol{P}$ – постоянный весктор.

Аналогично, мы записываем выражения для полного момента импульса и его производной по времени:
\[
\begin{array}{c}
M=\sum_{i} m_{i}\left[x_{i}, \dot{x}_{i}\right] \\
\frac{d M}{d t}=\sum_{i} m_{i}\left[x_{i}, \ddot{x}_{i}\right]= \\
=-\sum_{i, i} \frac{d U_{i j}}{d r_{i j}}\left[x_{i}, \frac{x_{i j}}{r_{i j}}\right]=\sum_{i, j} \frac{d U_{i j}}{d r_{i j}} \frac{\left[x_{i,}, x_{j}\right]}{r_{i j}},
\end{array}
\]

где мы использовали (1.305), (1.306), (1.302) и определение $x_{i j}=x_{i}-x_{j}$.

С помощью тех же самых рассуждений, какие использовались при доказательстве того, что $\boldsymbol{P}$ – интеграл дви34

жения, можно показать, что и вектор $M$ – константа движения.

Не лишено интереса непосредственное доказательство постоянства $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{M}$ с помощью третьего закона Ньютона $\left(F_{i j}=-F_{j i}\right)$, второго закона Ньютона и геометрических соображений. Мы предоставляем сделать это читателю в виде упражнения.

Қак в классической, так и в квантовой механике играет важную роль так называемая теорема вириала, касающаяся среднего по времени от так называемого вириала Клаузиуса $\mathscr{V}$, определяемого как
\[
\vartheta^{
u}=\sum_{i}\left(F_{i} \cdot x_{i}\right)
\]

Вириал Клаузиуса можно переписать также в виде:
\[
\vartheta=\sum_{i} m_{i}\left(\ddot{\boldsymbol{x}}_{i} \cdot \boldsymbol{x}_{i}\right)=\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} r_{i}\right)-2 T .
\]

Если рассматриваемая система не разлетается, иными словами – ни одна из величин $\boldsymbol{x}_{i}$ или $\dot{\boldsymbol{x}}_{i}$ никогда не становится бесконечно большой, среднее по времени от первого члена, стоящего в правой части (1.312), будет равно нулю, и для этого случая можно записать:
\[
\overline{2 T+\vartheta^{\top}}=0,
\]

где черта над буквенным символом означает усреднение по временит
\[
\bar{f}=\lim _{T \rightarrow \infty} T^{-1} \int_{t}^{t+T} f(t) d t .
\]

Если к тому же справедливо равенство (1.301), можно также написать, что
\[
\mathscr{V}=-\sum_{i}\left(x_{i} \cdot
abla_{i} U\right)
\]

В том довольно часто встречающемся случае, когда $U$ представляет собой однородную функцию координат порядка $g$, можно воспользоваться теоремой Эйлера для таких функций и написать вместо правой части (1.314) – gU. Из сопоставления формул (1.313), (1.314) и (1.303) мы получаем:
\[
2 T-g U=0, \quad T+U=E,
\]
2 $\cdot$

вативным, если сила в каждой точке может быть получ -ена из потениальной функции $U$ дифференцированием, а именно:
\[
F=-
abla U,
\]

где через $
abla$ обозначен оператор градиента, компонентами которого являются операторы $\partial / \partial x, \partial / \partial y, \partial / \partial z$.
В этом случае
\[
\int_{i^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(F \cdot d x)=-\int_{i^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}(
abla U \cdot d x)=-U^{\prime \prime}+U^{\prime},
\]

или, принимая во внимание (1.111) и (1.112),
\[
T^{\prime}+U^{\prime}=T^{\prime \prime}+U^{\prime \prime} \text {. }
\]

Потенциал $U$ носит название потенциальной энергии, и мы видим непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция $U$ явно не зависит от $t$, полная энергия частицы $E$, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии
\[
E=T+U,
\]

представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую величину, которая не меняется во время движения частицы.

Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил треєованием, чтобы интеграл $I$ (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в п́ромежутке времени между $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$.

Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем написать:
\[
E=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}+U(x),
\]

или же, разрешая относительно $\dot{x}$,
\[
\dot{x}=[(2 / m)(E-U)]^{1 / 2} .
\]

капли и показать, что ее ускорение стремится $\mathbf{z}$ некоторочу конечиому пределу, когда время стремится к бесконечности.
8. Частица, масса которой равна единице, движется в потенцимьном поле с потенциальной функцией $U=-\mu r^{-n}$.
a) Показать, что частице можно сообщить некоторую конечную скорость в любой точке $A$ (за исключением начала координат) так, что она уйдет на бесконечность, в том и только в том случае, когда $n>0$.
6) Найти минимальную начальную скорость (скорость отрыва), ґеобходимую для того, чтобы частица ушла на бесконечность, как функцию расстояния точки $\boldsymbol{A}$ от начала координт (это расстояние обозначим через $a$ ).
в) Пусть частица испускается со скоростью отрыва из точки $A$. [lоказать, что в люобой точке своей траектории частица обладает скоростью, равной скорости отрыва; показать, что траектория частниы если она не прямая линя – будет окружностью при $n=4$; показать также, что траектория частицы – если она не прямая – не јходит в бесконечность, если $n>2$.
6. Частица, масса которой равна единице, запускается из точки $r_{0}$ со скоростью $\boldsymbol{v}$ вдоль прямой, расстояние которой от начала координат (т. е. по нормали, опущенной из начала координат на прямую) равно $p$. На частицу действует сила притяжения – Nr/r $\mathbf{r}^{3}$. Показать, что если $N / r_{0} \ll \tau^{2}$, то частица будет отклонена на углл, равный пример1ю $\pi-2 \operatorname{arctg}\left(v^{2} p / N\right)$.
7. Вывести соотношение (1.258), не прибегая к помощи (1.255) указание. Полное изменение импульса рассеиваем чй частицы напуавлено по $\boldsymbol{r}_{0}$ (см. рис. 6) и равно $2 m v \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta \mathrm{sc}}{2}\right)$. С другой стороны, сила, действующая в этом направлении, в любой момент врмени равна $(k \cos \theta) / r$. Изменение импульса по данному направлению равно интегралу по времени от компоненты силы по данному направлению. Интегрирование по времени можно заменить интегрированием по углу $\theta$, если воспользоваться (1.214). С учетом (1.252) формула (1.258) получается непосредственно.
8. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния точечной частицы на потенциальной функции, соответствующей рассеянию на жесткой сфере радиуса $a$.
9. Выразить дифференциальное сечение, полученное в предыдущей задаче, через энергию, терлемую рассеиваемой частицей.