1. Гамильтониан системы с двумя степенями свободы задан равенством

где $\alpha$-постоянная величина. Доказать, что
$$q_1=A\cos q_2+B\sin q_2+C,$$

где $A,B,C$-константы.
2. Доказать, что преобразование
$$Q=\ln (\frac{1}{q}\sin p),P=q\mathrm{ctg}p$$

является каноническим, и найти производящую функцию $S(p,Q)$.
3. Доказать, что преобразование
$$p=K\sqrt{2\alpha }\cos \beta ,q=K^{-1}\sqrt{2\alpha }\sin \beta$$

является контактным; найти производящую функцию $S(\alpha ,q)$ и применить это преобразование в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе.
4. Показать, что преобразование
$$\begin{array}{c}{Q}_1=q_1^9+p_1^9,Q_2=\frac{1}{2}(q_1^9+q_2^2+p_1^2+p_3^2),\\ P_1=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\left(\frac{q_2}{p_2}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\left(\frac{q_1}{p_1}\right),P_2=-\mathrm{arctg}\left(\frac{q_2}{p_2}\right)\end{array}$$

является контактным преобразованием.
Воспользоваться этим преобразованием для решения уравнений движения системы, гамильтониан которой равен $H=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2+$ $+q_1^2+q_2^2$ ); сравнить полученное решение с решением уравнений движения в исходных переменных.
5. Доказать, что преобразование
$$\begin{array}{ll}{p}_1=\sqrt{k_1{\alpha }_1}\sin {\beta }_1+\sqrt{k_2{\alpha }_2}\sin {\beta }_2,& p_2=-\sqrt{k_1{\alpha }_1}\sin {\beta }_1+\sqrt{k_2{\alpha }_2}\sin {\beta }_2,\\ q_1=\sqrt{{\alpha }_1/k_1}\cos {\beta }_1+\sqrt{{\alpha }_2/k_2}\cos {\beta }_2,& q_2=-\sqrt{{\alpha }_1/k_1}\cos {\beta }_1+\sqrt{{\alpha }_2/k_2}\cos {\beta }_2\end{array}$$

является контактным преобразованием. Использовать это преобразование для решения уравнений двнжения системы, гамильтониан которой задан в виде:
$$H=\frac{1}{2}{p}_1^3+\frac{1}{2}{p}_2^2+\frac{1}{4}{k}_1^2{(q_1-q_2)}^2+\frac{1}{4}{k}_2^2{(q_1+q_2)}^2.$$

Выяснить физический смысл этого гамильтониана.
6. Показать, что преобразование
$$x_i=P^2{X}_i+W{P}_i,p_i=P_i/P^2,i=1,\dots ,n,$$
rде
$$P^2=\sum _{i=1}^n{P}_i^2\text{ и }W=-2\sum _{i=1}^n{X}_i{P}_i,$$

является каноническим преобразованием.

Показать, что если гамильтоннан системы задан в виде
$$H=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{p}_i^n-\mu {\left[\sum _i^1{x}_i^2\right]}^{-1/2},$$

то в любом решении, для которого полная энергия обращается в нуль, неличины $X_i$ остаются постоянными во времени, а величины $P_l$ являотся линейными функциями $u$, где $u=\int P^{-2}dt$.
Проанализировать результаты, полученные в этой задаче.
7. Система с $n$ степенями свободы описывается гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _{r=1}^n{p}_r^2+\sum _{r=1}^{n+1}{(q_r-q_{r-1})}^2,q_0=q_{n+1}=0.$$

Используя контактное преобразование, порождаемое производящей функцией
$$W=\sum _{r=1}^n\frac{1}{4}{w}_r^{!}{\left[\sum _{s=1}^n{a}_{sr}{q}_s\right]}^2\mathrm{ctg}{Q}_r$$

где
$$a_{sr}=\frac{2}{\sqrt{(n+1){\omega }_r}}\sin \frac{sr\pi }{n+1},w_r=2\sin \frac{r\pi }{2(n+1)},$$

решить уравнения движення для $q_r$ и найти нормальнье координаты задачи. Проанализнровать полученные результаты.