1. Гамильтониан системы с двумя степенями свободы задан равенством

где $\alpha$-постоянная величина. Доказать, что
\[
q_{1}=A \cos q_{2}+B \sin q_{2}+C,
\]

где $A, B, C$-константы.
2. Доказать, что преобразование
\[
Q=\ln \left(\frac{1}{q} \sin p\right), \quad P=q \operatorname{ctg} p
\]

является каноническим, и найти производящую функцию $S(p, Q)$.
3. Доказать, что преобразование
\[
p=K \sqrt{2 \alpha} \cos \beta, \quad q=K^{-1} \sqrt{2 \alpha} \sin \beta
\]

является контактным; найти производящую функцию $S(\alpha, q)$ и применить это преобразование в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе.
4. Показать, что преобразование
\[
\begin{array}{c}
Q_{1}=q_{1}^{9}+p_{1}^{9}, \quad Q_{2}=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{9}+q_{2}^{2}+p_{1}^{2}+p_{3}^{2}\right), \\
P_{1}=\frac{1}{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{p_{2}}\right)-\frac{1}{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{q_{1}}{p_{1}}\right), \quad P_{2}=-\operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{p_{2}}\right)
\end{array}
\]

является контактным преобразованием.
Воспользоваться этим преобразованием для решения уравнений движения системы, гамильтониан которой равен $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\right.$ $+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}$ ); сравнить полученное решение с решением уравнений движения в исходных переменных.
5. Доказать, что преобразование
\[
\begin{array}{ll}
p_{1}=\sqrt{k_{1} \alpha_{1}} \sin \beta_{1}+\sqrt{k_{2} \alpha_{2}} \sin \beta_{2}, & p_{2}=-\sqrt{k_{1} \alpha_{1}} \sin \beta_{1}+\sqrt{k_{2} \alpha_{2}} \sin \beta_{2}, \\
q_{1}=\sqrt{\alpha_{1} / k_{1}} \cos \beta_{1}+\sqrt{\alpha_{2} / k_{2}} \cos \beta_{2}, & q_{2}=-\sqrt{\alpha_{1} / k_{1}} \cos \beta_{1}+\sqrt{\alpha_{2} / k_{2}} \cos \beta_{2}
\end{array}
\]

является контактным преобразованием. Использовать это преобразование для решения уравнений двнжения системы, гамильтониан которой задан в виде:
\[
H=\frac{1}{2} p_{1}^{3}+\frac{1}{2} p_{2}^{2}+\frac{1}{4} k_{1}^{2}\left(q_{1}-q_{2}\right)^{2}+\frac{1}{4} k_{2}^{2}\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2} .
\]

Выяснить физический смысл этого гамильтониана.
6. Показать, что преобразование
\[
x_{i}=P^{2} X_{i}+W P_{i}, \quad p_{i}=P_{i} / P^{2}, \quad i=1, \ldots, n,
\]
rде
\[
P^{2}=\sum_{i=1}^{n} P_{i}^{2} \quad \text { и } \quad W=-2 \sum_{i=1}^{n} X_{i} P_{i},
\]

является каноническим преобразованием.

Показать, что если гамильтоннан системы задан в виде
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{n}-\mu\left[\sum_{i}^{1} x_{i}^{2}\right]^{-1 / 2},
\]

то в любом решении, для которого полная энергия обращается в нуль, неличины $X_{i}$ остаются постоянными во времени, а величины $P_{l}$ являотся линейными функциями $u$, где $u=\int P^{-2} d t$.
Проанализировать результаты, полученные в этой задаче.
7. Система с $n$ степенями свободы описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{r=1}^{n} p_{r}^{2}+\sum_{r=1}^{n+1}\left(q_{r}-q_{r-1}\right)^{2}, \quad q_{0}=q_{n+1}=0 .
\]

Используя контактное преобразование, порождаемое производящей функцией
\[
W=\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{4} w_{r}^{!}\left[\sum_{s=1}^{n} a_{s r} q_{s}\right]^{2} \operatorname{ctg} Q_{r}
\]

где
\[
a_{s r}=\frac{2}{\sqrt{(n+1) \omega_{r}}} \sin \frac{s r \pi}{n+1}, \quad w_{r}=2 \sin \frac{r \pi}{2(n+1)},
\]

решить уравнения движення для $q_{r}$ и найти нормальнье координаты задачи. Проанализнровать полученные результаты.