Очень часто найти решения уравнений движения (5.108) оказывается невозможным. Одним из возможных способов упрощения уравнений может быть преобразование от совокупности переменны $p_{k}$ и $q_{k}$ к другой совокупности переменных, скажем, $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}(k=1,2, \ldots, s)$. Если окажется, что в новых перещенных уравнения движения проще, мы должны считать это за успех. Мы не станем заниматься всеми возможныи пресбразованнями, а ограничимся лишь канокическими или контактными преобразованиями, которые определяются как такие преобразования, которые и в новых переменных оставляют уравнения движения в канонической форне. Итак, еслы уравнениями
\[
p_{k}=p_{k}(\alpha, \beta), \quad q_{k}=q_{k}(\alpha, \beta)
\]

задаются канониеские преобразования от переменных $p$ и $q$ к пере:енным $\alpha, \beta$, то уравнения движения, записанные через перемениые $\alpha$ и $\beta$, должны иметь вид
\[
\dot{\alpha}_{k}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \beta_{k}}, \quad \dot{\beta}_{k}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \alpha_{k}},
\]

где через $\bar{H}$ обозначен гамильтониан (энергия), выраженный в переменных $\alpha$ и $\beta$.

Нетрудно найти простые примеры канонических преобразований. Такие преобразования, как

แй же
\[
\begin{array}{l}
q_{k}=\alpha_{k}, \quad p_{k}=-\beta_{k} \\
q_{k}=-\alpha_{k}, \quad p_{k}=\beta_{k}, \\
\end{array}
\]

очевидно, являются каноническими.
Точно так же точечные преобразования
\[
\beta_{k}=\beta_{k}\left(q_{1}, \ldots, q_{s}\right), \quad \alpha_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\beta}_{k}}
\]

оказываются канонческини, как мы убедились в этом в конце предыдуцето параграңа.

Теперь мы покажем, что необходилым и достатониым условием того, чтобы преобразование от $p_{k}$ н $q_{k}$ к переменным $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$ было канониеским, является существование такой функцни $W\left(q_{k}, \beta_{k}\right)$ от $q_{k}$ и $\beta_{k}$, что
\[
p_{k}=\frac{\partial W}{\partial q_{k}}, \quad \alpha_{k}=-\frac{\partial W}{\partial P_{k}} .
\]

Дия доказатоиотва побходиности мы прекде всего CIRO
\[
\delta \frac{d W}{d t}-\frac{d}{d t} \delta W=0,
\]
\[
-\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\dot{y}_{k} \delta \dot{q}_{k} \delta p_{k} \dot{\alpha}_{k} \delta \beta_{k}-\sum_{k} \dot{\beta}_{k} \delta \alpha_{k}=0 .
\]

Iтз уравнений (5.108) можно потучить:
\[
-\sum_{k} \dot{p}_{k} \delta q_{k}+\sum_{k} \dot{q}_{k} \delta p_{k}=\delta H
\]
a conoctabsя $(5.206)$ п $(5.207)$, ми maxo,n:
\[
\delta H=\delta \hat{H}=-\sum_{k} \dot{\alpha}_{k} \delta \hat{\beta}_{k}+\sum_{k} \dot{\beta}_{k} \delta \alpha_{k},
\]
– выражсиие, из которого сразу же следуют уравнения (5.202), поскольку $H$ и $\bar{H}$-это одна и та же функция, но выраженная через разие переменные.

Мы полжны теперь ноказать, что если преобразовапия канониеские, то можно найти функцию $W(q, \beta)$ такую, что удовлетворяются уравнения (5.204). Эти урапиения, конечно, и определяют само преобразование.

Для того чтобы найти функцио $W(q, \beta)$, мы покажем спачала, как получаютсл канонические уравнения движепия из модифицированного прииипа Г амитьтона, а именно 1із условня
\[
\int L d=\text { extremum, }
\]

где теперь, в отличие от исходного соотионония (2.234), ных. Снова вьоп перемениые $r_{l}$, чтобы подчеркить этот 188

факт, оплть рассматривается задача об экстремуме интетрала
\[
\delta \int L\left(q_{k}, r_{k}\right) d t=0,
\]
rе (5.101) ги тупан как дополнителиние условия.
D гл. 2 мы ске сталиались с те, ко нужно пользоваться метоном псоределения мижителей Ларрана, чтобы үешать варнанінные задачи с дополнителыными условиями. Однако сейчас возникот пекоторле осложнения, и мы рассмотрим всю процедуру в деталях. Если мы подробю распишем (5.210), мы найдем под знаком нитеграла вариации $\delta q_{k}$ и $\delta r_{k}$, которые теперь уже будут функциями $t$; поэтому мы явно отметим эту завнсимость,
\[
\delta \dot{q}_{k}(t)-\delta r_{k}(t)=0,
\]

те, так же как и в гл. 2, герез $8 \dot{q}_{k}$ сбопичени проиводные по времени от $\delta q_{k}$. От огратичений, наложенних на вариации $\delta q_{k}$ і $\delta r_{k}$, можно избавиться обычным путем, миножая левую часть каждого из $s$ уравиений (5.211) на мижитель $\lambda_{k}$, завнсяний от времени, затем складная эти вырахения и добавляя полученную сумму к под. нитегральному выражению в (5.210). Тикия образом мы приходим к новой задаче на экстремум:
\[
\delta \int\left[L+\sum_{k} \lambda_{k}\left(\dot{q}_{k}-r_{k}\right)\right] d t=0 .
\]

Теперь уже вариации $q_{r}$ и $r_{k}$ могут рассматриваться как независимые, и, как это следуст нз выражения для коэфрициентов перед $\delta r_{k}$,
\[
\lambda_{k}=\frac{\partial L}{\partial r_{k}} .
\]

Следовательно, (5.212) перепниется так:

Воспользовавшись (5.103) іг (5.104), мы обнаруживаем, что пришли к вариацнонному прнншпу:
\[
\delta \int\left(\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\right) d t=0,
\]

где подинтегральная функция зависит от $2 s$ переменных $p_{k}$ и $q_{k}$ и где $\dot{q}_{k}$-функции тех же самых переменных, определяемые уравнениями
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Расписывая явно вариацию подинтегрального выражения в (5.215), интегрируя члены, содержащие $\delta \dot{q}_{k}$, по частям и принимая во внимание, что благодаря (2.306) проннтегрированные члены обращаются в нуль, мы получим:
\[
\int \sum_{k}\left[\left(\dot{q}_{k}-\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\right) \delta p_{k}-\left(\dot{p}_{k}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right) \delta q_{k}\right] d t=0,
\]

откуда ін вытекают уравнения (5.108). Мы показали таким образом, что вариационный принцип (5.215) эквивалентен каноническим уравнениям движения (5.108).

Если преобразование от переменных $p_{k}, q_{k}$ к переменным $\alpha_{k}, \beta_{k}$ каноническое, то вариационный принцип (5.215) должен вести к тем же самым уравнениям, но уже в переменных $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$ :
\[
\delta \int\left(\sum_{k} \alpha_{k} \dot{\beta}_{k}-\bar{H}\right) d t=0,
\]

где $\bar{H}$-та же самая функция, что и $H$, но выраженная уже через переменные $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$. Уравнения (5.215) и (5.218) могут быть одновременно справедливыми только при условии
\[
C\left(\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\right)=\sum_{k} \alpha_{k} \dot{\beta}_{k}-\bar{H}+\frac{d}{d t} W(q, \beta),
\]

где $C$-отличная от нуля постоянная. Поскольку $H=\bar{H}$, то и уравнения (5.204) удовлетворяются; тем самым доказательство завершено.

Функция $W(q, \beta)$ называется производящей (порождающей) функцией, так как уравнения (5.204) порождают канонические преобразования. Можно рассмотреть другие порождающие функции. Фактически существуют четыре различные комбинации двух наборов $s$ переменных: $q_{k}, \beta_{k} ; q_{k}, \alpha_{k} ; p_{k}, \beta_{k}$ и $p_{k}, \alpha_{k}$, которые очевидным образом подходят для нашей цели. Четыре производящие функции и соответствующие уравнения, определяющие преобразования переменных, мы здесь выпишем:
(a): $W\left(q_{k}, \beta_{k}\right) ; p_{k}=\frac{\partial W}{\partial q_{k}}, \quad \alpha_{k}=-\frac{\partial W}{\partial \beta_{k}} ; W$;
(b): $S\left(q_{k}, \alpha_{k}\right) ; \quad p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}, \quad \beta_{k}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}} ; \quad W=S-\sum_{k} \alpha_{k} \beta_{k}$;
(c): $T\left(p_{k}, \beta_{k}\right) ; \quad q_{k}=-\frac{\partial T}{\partial p_{k}}, \alpha_{k}=-\frac{\partial T}{\partial \beta_{k}} ; \quad W=T+\sum_{k} p_{k} q_{k}$;
(d): $U\left(p_{k}, \alpha_{k}\right) ; \quad q_{k}=-\frac{\partial U}{\partial p_{k}}, \beta_{k}=\frac{\partial U}{\partial \alpha_{k}}$;
\[
W=U+\sum_{k} p_{k} q_{k}-\sum_{k} \alpha_{k} \beta_{k} .
\]

Мы привели здесь также соотношения между соответствующей производящей функцией и функцией $W$, которая согласно теореме, доказанной в начале этого параграфа, всегда существует для любого канонического преобразования.

Преобразования, определяемые согласно (5.220), являются примерами преобразований Лежандра, играющих важную роль в термодинамике.
Рассмотрим несколько весьма простых преобразований:
(I) $\quad W=\sum_{k} q_{k} \beta_{k}$
(II) $T=-\sum_{k} p_{k} \beta_{k}$;
(III) $U=\sum_{k} p_{k} \alpha_{k}$;
(IV) $S=\sum_{k} \alpha_{k} Q_{k}(q)$.
Из первого преобразования вытекает, что
\[
p_{k}=\beta_{k}, \quad q_{k}=-\alpha_{k} ;
\]

именно это преобразование и было кратко рассмотрено в начале этого параграфа; оно приводит к совокупности переменных, в которой «старые» импульсы превращаются в «новые» координаты, а старые координаты превращаются в новые импульсы. Из этого преобразования видно, что едва ли имеет смысл придерживаться терминов «импульсы» икоординаты» дия величин $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$. Куда лучие называть нх канонически сопряженными переменныи.

Обратим внимание на то, что для преобразования (5.222) не существует производящей функции $T$. Из (5.220) и (5.222) непосредственно следует, что в этом cily rae $T=0$.

Второе преобразование – это тождественное преобразование
\[
q_{k}=\rho_{k}, \quad \alpha_{k}=p_{k} .
\]

В этом случае мы найдем, что $W \equiv 0$. Это в точности такое же преобразование, какое порождается функцией
\[
S=\sum_{k} \alpha_{k} q_{k} .
\]

Tретье преобразование
\[
q_{k}=-\alpha_{k}, \beta_{k}=p_{k}
\]

совпадает с первым.
Последие ппеобразовани точетиое, так же как и преобразование (5.203),
\[
\beta_{k}=Q_{k}\left(q_{k}\right), p_{k}=\sum_{l} \alpha_{l} \frac{\partial Q_{l}}{\partial y_{k}} .
\]

Мы не станем рассматрнвать здесь никаких других преобразований, потому что в следучщей главе нам придется заняткся соинрным итассом преойразований тиа (5.220 b).