Случаи, когда можно найти точное решение уравнений движения реальной физической системы, являются скорее исключением, чем правилом. Причин для этого немало. В предыдущих главах мы обычно занимались задачами, которые можно было свести к относительно простым уравнениям, записанным для одной частицы. Многие из этих задач, касающиеся одной частнцы, имеют дело с центральными силами, которые, как мы видели, допускают решение в квадратурах [см.(1.219)]. Задачи, которые мы чсследовали, по большей части выбирались так, что квадратура вела к решению в замкнутой форме. Но такие простые решения для одиночной частицы для большинства систем будут лишь первыми приближениями настоящих уравнений движения и являются результатом пренебрежения «возмущающими» влияниями. Такие возмущения могут быть нескольких различных типов. Прежде всего, возможен случай, когда невозмущенную систему помещают в некоторое внешнее поле, такое, например, как внешнее электрическое или магнитное поле. Тогда можно наблюдать явления Штарка или Зеемана, – явления, к которым мы обратимся в последнем параграфе этой главы.

Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой, мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт, что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном, испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему – она более подходит для курса небесной механики.

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме; нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как «возмущение». Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамильтониане учитываются все остальные члены. Самым важным из них является, конечно, кубический член.

Мы не станем заниматься общей задачей, касающейся систем со многими степенями свободы, которые в первом приближении сводятся к задаче о малых колебаниях (см. гл. 3); мы рассмотрим поподробнее одномерный ангармонический осциллятор, гамильтониан которого задается уравнением
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} q^{2}+\lambda q^{3} .
\]

Причина, по которой имеет определєнный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что «невозмущенная» задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение «возмущенной» задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, – так, например, как входит множитель $\lambda$ в выражение (7.101); тогда можно надеяться – поскольку предполагается достаточная малость $\lambda$, – что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацио решения возмущенной задачи.

В следуюцем нараграфе будет снстематически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменнъх действие – угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимоесли не касаться непосредственной связи вопроса с квантовомехапической теорией возмущений – бросать в бой тяжелую артилиерию канонических преобразований; в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На э’то можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики; но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во многих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам; нередко случается, что они одновремено и неудобны, и ошибочны.

Чтобы не быть голословными, мы разберем в этом параграфе применение двух прямых методов. Эти методы будут применены к решенню задачи об ангармоническом осцилляторе, гамильтониан которого задан выражением (7.101). Полученные результаты мы сравним с теми результатами, которые следуют из канонической теории возмущений; они будут получены в следующем параграфе.

Задача, которой мы будем заниматься в этой главе, это задача о движении системы, гамильтониан которой задан в виде:
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1},
\]

где через $H_{0}$ обозначен гамильтониан невозмущенной системы, а через $\lambda H_{1}$ – возмущение. Нам нужно решить следующие канонические уравнения движения:
\[
\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \quad \dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\]

Первый метод решения этих уравнений состоит в том, что записывают
\[
p_{k}=p_{k}^{(0)}+\lambda p_{k}^{(1)}+\lambda^{2} p_{k}^{(2)}+\ldots, \quad q_{k}=q_{k}^{(0)}+\lambda q_{k}^{(1)}+\lambda^{2} q_{k}^{(2)}+\ldots
\]

Через $p_{k}^{\text {n. }}$ и $q_{k}^{\text {n }}$ обозначены решения невозмущенной задачи:
\[
\dot{p}_{k}^{\prime \prime \prime}=-\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial q_{k}}\right)_{0} . \quad \dot{q}_{k}^{(n)}=\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{k}}\right)_{0} .
\]

где индексом «0» отмечено, что вместо $p_{k}$ и $q_{k}$ следует подставлять их невозмущенные значения $p_{k}^{(0)}$ и $q_{k}^{(0)}$. Величины $p_{k}^{\prime \prime}$ и $q_{k}^{\prime \prime}$ находятся подстановкой (7.102) и (7.104) в (7.103) с учетом (7.105). Эта процедура приводит к следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}_{k}^{\prime \prime}=-\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{k}}\right)_{0}-\sum_{l}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial q_{k} \partial q_{l}}\right)_{0} q_{l}^{1}-\sum_{l}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial q_{k} \partial p_{l}}\right)_{0} p_{l}^{1}, \\
\dot{q}_{k}^{\prime \prime}=\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{k}}\right)_{0}+\sum_{l}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{k} \partial q_{l}}\right)_{0} q_{l}^{11^{\prime}}+\sum_{l}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{k} \partial p_{l}}\right)_{0} p_{l}^{\prime \prime}
\end{array}
\]

Таким способом монно найти столько членов ряда (7.104), сколько желательно.

Второй мегод может бить использован только мля могократно периодических систем, где можно воспользоваться методом разделения переменных (см. § 6.2). В этом с.тучае можно воспользоваться функцией ГамильтонаGirón внда
\[
S=\sum_{k} S_{k}\left(q_{k} ; \alpha_{i} ; \lambda\right)
\]

где каждая из $S_{k}$ зависит только от одной координаты $q_{k}$, но может содержать любые $\alpha_{i}(i=1,2, \ldots, s ; s$ – число степеней свободы). В выражении для $S$ (7.108) явно указано, что $S_{k}$ являются функциями параметра возмущения $\lambda$. С помощью $S_{2}$ можно ввести переменные действия $J_{k}$ согласно определению:
\[
J_{k}=\oint \frac{\partial S_{k}}{\partial q_{k}} d q_{k},
\]

где интегрирование ведется по полному периоду переменной $q_{k}$. Энергия системы $E$ является функцией величин $\alpha_{i}$, и поскольку теперь благодаря определениям (7.109) величины $J_{k}$ зависят от $\alpha_{i}$, можно найти энергию $E$ как функцию $J_{k}$. Практически раскладывают $S_{k}$ и $J_{k}$ в ряд по степеням $\lambda$. Следует, однако, иметь в виду, что периоды $q_{k}$ в возмущенной системе уже иные.

Если необходимо найти изменения $q_{k}$, требуется ввести также и угловые переменные, согласно определению [ср. (6.208)]
\[
w_{k}=\oint \frac{\partial^{2} S_{k}}{\partial q_{k} \partial J_{k}} d q_{k},
\]

и уравнения, определяющие преобразование от величин $p_{k}$ и $q_{k}$ к величннам $w_{k}$ и $J_{k}$.

Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений; но, как правнло, мы имеем дело с системами, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням $\lambda$.

Применим теперь изложенные методы к системе, гамильтониан которой задается выражением (7.101). Мы имеем в этом случае:
\[
H_{0}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} q^{2}, \quad H_{1}=q^{3} .
\]

Используя первый метод, мы получим уравнение нулевого порядка:
\[
m \ddot{q}^{(0)}+m 0^{2} q^{(0)}=0,
\]

решением которого будет
\[
q^{(0)}=A \sin \omega t .
\]

Уравнение первого порядка имеет вид:
\[
m \ddot{q}^{(1)}+m \omega^{2} q^{(1)}=-3\left(q^{(0)}\right)^{2}=-3 A^{2} \sin ^{2} \omega t,
\]

а его решение запишется так:
\[
q^{(\mathbf{1})}=-\frac{A^{2}}{2 n \omega^{2}}(3+\cos 2 \omega t) .
\]

Уравнение второго порядка
\[
m \ddot{q}^{(2)}+m \omega^{2} q^{(2)}=-6 q^{(0)} q^{(1)}=\frac{3 A^{3}}{m \omega^{2}} \sin \omega t(3+\cos 2 \omega t)
\]

имеет своим решением
\[
q^{(2)}=\frac{A^{3}}{m^{2} \omega^{4}}\left[-\frac{3}{16} \sin 3 \omega t-\frac{15}{4} \omega t \cos \omega t+\alpha \sin \omega t\right],
\]

где через $\alpha$ временно обозначен соответствующий произвольный параметр.
Связь $p^{(i)}$ и $q^{(i)}$ определяется соотношением
\[
p^{(l)}=m \dot{q}^{(i)},
\]

и мы получаем выражение для энергии:
\[
E=E^{(0)}+\lambda E^{(1)}+\lambda^{2} E^{(2)}+\ldots,
\]

где
\[
E^{(0)}=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}, \quad E^{(1)}=0, \quad E^{(2)}=\frac{A^{4}}{m \omega^{2}}\left(\alpha-\frac{37}{16}\right) .
\]

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ по двум причинам: прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для $q^{(1)}$ и $q^{(2)}$ допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению $q^{(1)}$, а добавили к решению $q^{(2)}$. Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений – для $E^{(1)}$ и $E^{(2)}$. Если положить к тому же $\alpha$ равной $11 / 8$, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный $t \cos \omega t$, в выражении для $q^{(2)}$. Если разложение в ряд по степеням $\lambda$ имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать $\lambda$ столь малым, чтобы члены, содержащие $\lambda^{n}(n
eq 0)$, оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как $t \cos \omega t$. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для $q^{(2)}$, получаемом из канонической теории возмущений, такой член не появляется [см. (7.235)].

Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче, связанной с гармоническим осциліятором, поскольку в этом случае – и только в этом случае невозмущенное уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем, поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны.

Воспользуемся теперь вторым методом для решения задачи об ангармоническом осцилляторе. Мы увидим, что этот метод не сталкивается с отмеченными выше трудностями, но при этом определить с его помощью возмущенное движение довольно затруднительно. Фактически
Рис. 32. График функции $f(q)$, определенной согласно (7.122); $e_{1}, e_{2}$ и $e_{3}$ – корни функции $f(q)$.

самый простой способ получения первых отличных от нуля поправок как к энергии $E$, так и к координате $q$ состоит в использовании канонической теории возмущений, которой мы займемся в следующем параграфе.

Мы будем следовать Борну*) и воспользуемся переменными действие- угол. Если через $E$ обозначить энергию системы, мы получим:
\[
E=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} q^{2}+\lambda q^{3},
\]

или же
\[
p=\sqrt{2 m \lambda f(q)}
\]

причем
\[
f(q)=-q^{3}-\frac{m \omega^{2} q^{2}}{2 \lambda}+\frac{E}{\lambda} \text {. }
\]
*) М. Борн, Лекции по атомной механике, Гостехиздат Украины, 1934.

Обозначим через $e_{1}, e_{2}$ и $\boldsymbol{e}_{\mathbf{8}}$ три корня кубического многочлена $f(q)$, которые мы выберем так, что $e_{1} \rightarrow\left(2 E / m \omega^{2}\right)^{1 / 2}, e_{2} \rightarrow-\left(2 E / m \omega^{2}\right)^{1 / 2}$ и, наконец, $e_{3} \rightarrow-\infty$, если $\lambda \rightarrow 0$ (см. рис. 32). Тогда выражение для $f(q)$ (7.122) можно переписать так:
\[
\begin{array}{l}
f(q)=\left(e_{1}-q\right)\left(q-e_{2}\right)\left(q-e_{3}\right)= \\
\quad=-e_{3}\left(e_{1}-q\right)\left(q-e_{2}\right)\left[1-\left(q / e_{8}\right)\right] .
\end{array}
\]

Будем искать точное решение уравнений движения в виде ряда по степеням $\lambda$ в предельном случае $\lambda \rightarrow 0$. При этом предельном переходе $e_{3}$ стремится к бесконечности по закону – $\lambda^{-1}$; извлекая квадратный корень из выражения (7.123), мы можем представить его в виде степенного ряда по $e_{3}^{-1}$ :
\[
\begin{array}{l}
{[f(q)]^{1 / 2}=\left(-e_{3}\right)^{1 / 2}\left[\left(e_{1}-q\right)\left(q-e_{2}\right)\right]^{1 / 2} \times } \\
\times {\left[1-\left(q / 2 e_{3}\right)-\left(q^{2} / 8 e_{3}^{2}\right)+\ldots\right] . }
\end{array}
\]

Из (6.210) и (7.121) можно ввести переменную действия $J$ :
\[
J=\oint p d q=\left(-2 m \lambda e_{3}\right)^{1 / 2}\left[J^{(0)}-\left(J^{(1)} / 2 e_{3}\right)-\left(J^{(2)} / 8 e_{8}^{2}\right)+\ldots\right],
\]

где $J^{(k)}$ определяются согласно соотношению
\[
J^{(k)}=\oint\left[\left(e_{1}-q\right)\left(q-e_{2}\right)\right]^{1 / 2} q^{k} d q .
\]

Если ввести вместо переменных $q$ новые переменные $\psi$, определив их из соотношения [ср. (6.230)]:
\[
2 q=\left(e_{1}+e_{2}\right)+\left(e_{1}-e_{2}\right) \sin \psi,
\]

то угол $\psi$ меняется от $\pi / 2$ до $5 \pi / 2$, когда координата $q$ проходит значения от $e_{1}$ до $e_{2}$ и обратно, так что для $J^{(k)}$ мы получим:
\[
J^{(k)}=\frac{1}{4}\left(e_{1}-e_{2}\right)^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{1}{2}\left(e_{1}+e_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(e_{1}-e_{2}\right) \sin \psi\right]^{k} \cos ^{2} \psi d \psi,
\]

откуда следуют следующие выражения для $J^{(0)}, J^{(1)}$ и $J^{(2)}$ :
\[
\begin{array}{l}
J^{(0)}=\frac{1}{4} \pi\left(e_{1}-e_{2}\right)^{2}, \quad J^{(1)}=\frac{1}{8} \pi\left(e_{1}+e_{2}\right)\left(e_{1}-e_{2}\right)^{2}, \\
J^{(2)}=\frac{1}{64} \pi\left(e_{1}-e_{2}\right)^{2}\left[5\left(e_{1}+e_{2}\right)^{2}-4 e_{1} e_{2}\right] .
\end{array}
\]

Теперь мы можем написать:
\[
\begin{aligned}
e_{1},_{2} & = \pm\left(2 E / m \omega^{2}\right)^{1 / 2}+\alpha_{1},{ }_{2} \lambda+\beta_{1},{ }_{2} \lambda^{2}+\ldots, \\
e_{3} & =\left(-m \omega^{2} / \lambda\right)\left(1+\alpha_{3} \lambda+\beta_{3} \lambda_{2}{ }^{2}+\ldots\right) ;
\end{aligned}
\]

для получения величин $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ надо последовательно подставить выражения для $e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ в выражение (7.122), определяющее $f(q)$, и потребовать обращения этого виражения в нуль; при этом приравниваютея нулю козффициенты при различных степенях $\lambda$. В результате получим:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\alpha_{2}=-2 E / m^{2} \omega^{4}, \quad \alpha_{3}=0, \\
\beta_{1}=-\beta_{2}=\left(5 E / m^{3} \omega^{7}\right)(2 E / m)^{1 / 2}, \quad \beta_{3}=-8 E / m^{3} \omega^{6} .
\end{array}
\]

Воспользовавшись (7.123) и (7.127) – (7.129), найдем:
\[
J=\frac{2 \pi E}{\omega}\left[1+\frac{15 \lambda^{2} E}{4 m^{3} \omega^{9}}+\ldots\right],
\]

или
\[
E=v J-\frac{15 \lambda^{2} J^{2}}{16 \pi^{2} m^{3}()^{4}}+\ldots, \quad v=\omega / 2 \pi .
\]

Чтобы выразить $q$ через угловую переменную $w$, мы используем (6.208), т. е. пишем:
\[
w=\int \frac{\partial p}{\partial J} d q=\left(\frac{m}{2 \lambda}\right)^{1 / 2} \frac{d E}{d J} \int \frac{d q}{\sqrt{f(q)}},
\]

где учтены (7.121) и (7.122) и то обстоятельство, что в $(7.122)$ от $J$ зависит только энергия $E$.

Разлагая $[f(q)]^{-1 / 2}$ в ряд, аналогично разложению в ряд (7.124), и пользуясь подстановкой (7.127), мы найдем прямым, но утомительным вычисленнем:
\[
2 \pi w=\psi+\lambda\left(J / \pi m^{3} \omega^{5}\right)^{1 / 2} \cos \psi+\ldots
\]

Объединяя выражения (7.127), (7.130), (7.131), (7.133) и (7.135), мы получаем в конце концов выражение и для $q$ : $q=A \sin 2 \pi \omega-\frac{\lambda A^{2}}{2 m \omega^{2}}(3+\cos 4 \pi w)+\ldots$,
\[
A=\left(\frac{J}{\pi m(1)}\right)^{1 / 2} \text {. }
\]