Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Случаи, когда можно найти точное решение уравнений движения реальной физической системы, являются скорее исключением, чем правилом. Причин для этого немало. В предыдущих главах мы обычно занимались задачами, которые можно было свести к относительно простым уравнениям, записанным для одной частицы. Многие из этих задач, касающиеся одной частнцы, имеют дело с центральными силами, которые, как мы видели, допускают решение в квадратурах [см.(1.219)]. Задачи, которые мы чсследовали, по большей части выбирались так, что квадратура вела к решению в замкнутой форме. Но такие простые решения для одиночной частицы для большинства систем будут лишь первыми приближениями настоящих уравнений движения и являются результатом пренебрежения «возмущающими» влияниями. Такие возмущения могут быть нескольких различных типов. Прежде всего, возможен случай, когда невозмущенную систему помещают в некоторое внешнее поле, такое, например, как внешнее электрическое или магнитное поле. Тогда можно наблюдать явления Штарка или Зеемана, — явления, к которым мы обратимся в последнем параграфе этой главы. Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой, мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт, что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном, испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему — она более подходит для курса небесной механики. В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме; нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как «возмущение». Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамильтониане учитываются все остальные члены. Самым важным из них является, конечно, кубический член. Мы не станем заниматься общей задачей, касающейся систем со многими степенями свободы, которые в первом приближении сводятся к задаче о малых колебаниях (см. гл. 3); мы рассмотрим поподробнее одномерный ангармонический осциллятор, гамильтониан которого задается уравнением Причина, по которой имеет определєнный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что «невозмущенная» задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение «возмущенной» задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, — так, например, как входит множитель $\lambda$ в выражение (7.101); тогда можно надеяться — поскольку предполагается достаточная малость $\lambda$, — что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацио решения возмущенной задачи. В следуюцем нараграфе будет снстематически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменнъх действие — угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимоесли не касаться непосредственной связи вопроса с квантовомехапической теорией возмущений — бросать в бой тяжелую артилиерию канонических преобразований; в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На э’то можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики; но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во многих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам; нередко случается, что они одновремено и неудобны, и ошибочны. Чтобы не быть голословными, мы разберем в этом параграфе применение двух прямых методов. Эти методы будут применены к решенню задачи об ангармоническом осцилляторе, гамильтониан которого задан выражением (7.101). Полученные результаты мы сравним с теми результатами, которые следуют из канонической теории возмущений; они будут получены в следующем параграфе. Задача, которой мы будем заниматься в этой главе, это задача о движении системы, гамильтониан которой задан в виде: где через $H_{0}$ обозначен гамильтониан невозмущенной системы, а через $\lambda H_{1}$ — возмущение. Нам нужно решить следующие канонические уравнения движения: Первый метод решения этих уравнений состоит в том, что записывают Через $p_{k}^{\text {n. }}$ и $q_{k}^{\text {n }}$ обозначены решения невозмущенной задачи: где индексом «0» отмечено, что вместо $p_{k}$ и $q_{k}$ следует подставлять их невозмущенные значения $p_{k}^{(0)}$ и $q_{k}^{(0)}$. Величины $p_{k}^{\prime \prime}$ и $q_{k}^{\prime \prime}$ находятся подстановкой (7.102) и (7.104) в (7.103) с учетом (7.105). Эта процедура приводит к следующим уравнениям: Таким способом монно найти столько членов ряда (7.104), сколько желательно. Второй мегод может бить использован только мля могократно периодических систем, где можно воспользоваться методом разделения переменных (см. § 6.2). В этом с.тучае можно воспользоваться функцией ГамильтонаGirón внда где каждая из $S_{k}$ зависит только от одной координаты $q_{k}$, но может содержать любые $\alpha_{i}(i=1,2, \ldots, s ; s$ — число степеней свободы). В выражении для $S$ (7.108) явно указано, что $S_{k}$ являются функциями параметра возмущения $\lambda$. С помощью $S_{2}$ можно ввести переменные действия $J_{k}$ согласно определению: где интегрирование ведется по полному периоду переменной $q_{k}$. Энергия системы $E$ является функцией величин $\alpha_{i}$, и поскольку теперь благодаря определениям (7.109) величины $J_{k}$ зависят от $\alpha_{i}$, можно найти энергию $E$ как функцию $J_{k}$. Практически раскладывают $S_{k}$ и $J_{k}$ в ряд по степеням $\lambda$. Следует, однако, иметь в виду, что периоды $q_{k}$ в возмущенной системе уже иные. Если необходимо найти изменения $q_{k}$, требуется ввести также и угловые переменные, согласно определению [ср. (6.208)] и уравнения, определяющие преобразование от величин $p_{k}$ и $q_{k}$ к величннам $w_{k}$ и $J_{k}$. Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений; но, как правнло, мы имеем дело с системами, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням $\lambda$. Применим теперь изложенные методы к системе, гамильтониан которой задается выражением (7.101). Мы имеем в этом случае: Используя первый метод, мы получим уравнение нулевого порядка: решением которого будет Уравнение первого порядка имеет вид: а его решение запишется так: Уравнение второго порядка имеет своим решением где через $\alpha$ временно обозначен соответствующий произвольный параметр. и мы получаем выражение для энергии: где В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ по двум причинам: прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для $q^{(1)}$ и $q^{(2)}$ допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению $q^{(1)}$, а добавили к решению $q^{(2)}$. Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений — для $E^{(1)}$ и $E^{(2)}$. Если положить к тому же $\alpha$ равной $11 / 8$, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный $t \cos \omega t$, в выражении для $q^{(2)}$. Если разложение в ряд по степеням $\lambda$ имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать $\lambda$ столь малым, чтобы члены, содержащие $\lambda^{n}(n Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче, связанной с гармоническим осциліятором, поскольку в этом случае — и только в этом случае невозмущенное уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем, поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны. Воспользуемся теперь вторым методом для решения задачи об ангармоническом осцилляторе. Мы увидим, что этот метод не сталкивается с отмеченными выше трудностями, но при этом определить с его помощью возмущенное движение довольно затруднительно. Фактически самый простой способ получения первых отличных от нуля поправок как к энергии $E$, так и к координате $q$ состоит в использовании канонической теории возмущений, которой мы займемся в следующем параграфе. Мы будем следовать Борну*) и воспользуемся переменными действие- угол. Если через $E$ обозначить энергию системы, мы получим: или же причем Обозначим через $e_{1}, e_{2}$ и $\boldsymbol{e}_{\mathbf{8}}$ три корня кубического многочлена $f(q)$, которые мы выберем так, что $e_{1} \rightarrow\left(2 E / m \omega^{2}\right)^{1 / 2}, e_{2} \rightarrow-\left(2 E / m \omega^{2}\right)^{1 / 2}$ и, наконец, $e_{3} \rightarrow-\infty$, если $\lambda \rightarrow 0$ (см. рис. 32). Тогда выражение для $f(q)$ (7.122) можно переписать так: Будем искать точное решение уравнений движения в виде ряда по степеням $\lambda$ в предельном случае $\lambda \rightarrow 0$. При этом предельном переходе $e_{3}$ стремится к бесконечности по закону — $\lambda^{-1}$; извлекая квадратный корень из выражения (7.123), мы можем представить его в виде степенного ряда по $e_{3}^{-1}$ : Из (6.210) и (7.121) можно ввести переменную действия $J$ : где $J^{(k)}$ определяются согласно соотношению Если ввести вместо переменных $q$ новые переменные $\psi$, определив их из соотношения [ср. (6.230)]: то угол $\psi$ меняется от $\pi / 2$ до $5 \pi / 2$, когда координата $q$ проходит значения от $e_{1}$ до $e_{2}$ и обратно, так что для $J^{(k)}$ мы получим: откуда следуют следующие выражения для $J^{(0)}, J^{(1)}$ и $J^{(2)}$ : Теперь мы можем написать: для получения величин $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ надо последовательно подставить выражения для $e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ в выражение (7.122), определяющее $f(q)$, и потребовать обращения этого виражения в нуль; при этом приравниваютея нулю козффициенты при различных степенях $\lambda$. В результате получим: Воспользовавшись (7.123) и (7.127) — (7.129), найдем: или Чтобы выразить $q$ через угловую переменную $w$, мы используем (6.208), т. е. пишем: где учтены (7.121) и (7.122) и то обстоятельство, что в $(7.122)$ от $J$ зависит только энергия $E$. Разлагая $[f(q)]^{-1 / 2}$ в ряд, аналогично разложению в ряд (7.124), и пользуясь подстановкой (7.127), мы найдем прямым, но утомительным вычисленнем: Объединяя выражения (7.127), (7.130), (7.131), (7.133) и (7.135), мы получаем в конце концов выражение и для $q$ : $q=A \sin 2 \pi \omega-\frac{\lambda A^{2}}{2 m \omega^{2}}(3+\cos 4 \pi w)+\ldots$,
|
1 |
Оглавление
|