Случаи, когда можно найти точное решение уравнений движения реальной физической системы, являются скорее исключением, чем правилом. Причин для этого немало. В предыдущих главах мы обычно занимались задачами, которые можно было свести к относительно простым уравнениям, записанным для одной частицы. Многие из этих задач, касающиеся одной частнцы, имеют дело с центральными силами, которые, как мы видели, допускают решение в квадратурах [см.(1.219)]. Задачи, которые мы чсследовали, по большей части выбирались так, что квадратура вела к решению в замкнутой форме. Но такие простые решения для одиночной частицы для большинства систем будут лишь первыми приближениями настоящих уравнений движения и являются результатом пренебрежения «возмущающими» влияниями. Такие возмущения могут быть нескольких различных типов. Прежде всего, возможен случай, когда невозмущенную систему помещают в некоторое внешнее поле, такое, например, как внешнее электрическое или магнитное поле. Тогда можно наблюдать явления Штарка или Зеемана, — явления, к которым мы обратимся в последнем параграфе этой главы.

Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой, мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт, что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном, испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему — она более подходит для курса небесной механики.

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме; нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как «возмущение». Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамильтониане учитываются все остальные члены. Самым важным из них является, конечно, кубический член.

Мы не станем заниматься общей задачей, касающейся систем со многими степенями свободы, которые в первом приближении сводятся к задаче о малых колебаниях (см. гл. 3); мы рассмотрим поподробнее одномерный ангармонический осциллятор, гамильтониан которого задается уравнением
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\lambda q^3.$$

Причина, по которой имеет определєнный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что «невозмущенная» задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение «возмущенной» задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, — так, например, как входит множитель $\lambda$ в выражение (7.101); тогда можно надеяться — поскольку предполагается достаточная малость $\lambda$, — что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацио решения возмущенной задачи.

В следуюцем нараграфе будет снстематически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменнъх действие — угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимоесли не касаться непосредственной связи вопроса с квантовомехапической теорией возмущений — бросать в бой тяжелую артилиерию канонических преобразований; в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На э’то можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики; но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во многих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам; нередко случается, что они одновремено и неудобны, и ошибочны.

Чтобы не быть голословными, мы разберем в этом параграфе применение двух прямых методов. Эти методы будут применены к решенню задачи об ангармоническом осцилляторе, гамильтониан которого задан выражением (7.101). Полученные результаты мы сравним с теми результатами, которые следуют из канонической теории возмущений; они будут получены в следующем параграфе.

Задача, которой мы будем заниматься в этой главе, это задача о движении системы, гамильтониан которой задан в виде:
$$H=H_0+\lambda H_1,$$

где через $H_0$ обозначен гамильтониан невозмущенной системы, а через $\lambda H_1$ — возмущение. Нам нужно решить следующие канонические уравнения движения:
$${\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k},{\dot{q}}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}.$$

Первый метод решения этих уравнений состоит в том, что записывают
$$p_k=p_k^{(0)}+\lambda p_k^{(1)}+{\lambda }^2{p}_k^{(2)}+\dots ,q_k=q_k^{(0)}+\lambda q_k^{(1)}+{\lambda }^2{q}_k^{(2)}+\dots$$

Через $p_k^{\text{n. }}$ и $q_k^{\text{n }}$ обозначены решения невозмущенной задачи:
$${\dot{p}}_k^{\prime \prime \prime }=-{\left(\frac{\partial H_0}{\partial q_k}\right)}_0.{\dot{q}}_k^{(n)}={\left(\frac{\partial H_0}{\partial p_k}\right)}_0.$$

где индексом «0» отмечено, что вместо $p_k$ и $q_k$ следует подставлять их невозмущенные значения $p_k^{(0)}$ и $q_k^{(0)}$. Величины $p_k^{\prime \prime }$ и $q_k^{\prime \prime }$ находятся подстановкой (7.102) и (7.104) в (7.103) с учетом (7.105). Эта процедура приводит к следующим уравнениям:
$$\begin{array}{l}{\dot{p}}_k^{\prime \prime }=-{\left(\frac{\partial H_1}{\partial q_k}\right)}_0-\sum _l{\left(\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial q_k\partial q_l}\right)}_0{q}_l^1-\sum _l{\left(\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial q_k\partial p_l}\right)}_0{p}_l^1,\\ {\dot{q}}_k^{\prime \prime }={\left(\frac{\partial H_1}{\partial p_k}\right)}_0+\sum _l{\left(\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial p_k\partial q_l}\right)}_0{q}_l^{{11}^{\prime }}+\sum _l{\left(\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial p_k\partial p_l}\right)}_0{p}_l^{\prime \prime }\end{array}$$

Таким способом монно найти столько членов ряда (7.104), сколько желательно.

Второй мегод может бить использован только мля могократно периодических систем, где можно воспользоваться методом разделения переменных (см. § 6.2). В этом с.тучае можно воспользоваться функцией ГамильтонаGirón внда
$$S=\sum _k{S}_k(q_k;{\alpha }_i;\lambda )$$

где каждая из $S_k$ зависит только от одной координаты $q_k$, но может содержать любые ${\alpha }_i(i=1,2,\dots ,s;s$ — число степеней свободы). В выражении для $S$ (7.108) явно указано, что $S_k$ являются функциями параметра возмущения $\lambda$. С помощью $S_2$ можно ввести переменные действия $J_k$ согласно определению:
$$J_k=\oint \frac{\partial S_k}{\partial q_k}d{q}_k,$$

где интегрирование ведется по полному периоду переменной $q_k$. Энергия системы $E$ является функцией величин ${\alpha }_i$, и поскольку теперь благодаря определениям (7.109) величины $J_k$ зависят от ${\alpha }_i$, можно найти энергию $E$ как функцию $J_k$. Практически раскладывают $S_k$ и $J_k$ в ряд по степеням $\lambda$. Следует, однако, иметь в виду, что периоды $q_k$ в возмущенной системе уже иные.

Если необходимо найти изменения $q_k$, требуется ввести также и угловые переменные, согласно определению [ср. (6.208)]
$$w_k=\oint \frac{{\partial }^2{S}_k}{\partial q_k\partial J_k}d{q}_k,$$

и уравнения, определяющие преобразование от величин $p_k$ и $q_k$ к величннам $w_k$ и $J_k$.

Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений; но, как правнло, мы имеем дело с системами, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням $\lambda$.

Применим теперь изложенные методы к системе, гамильтониан которой задается выражением (7.101). Мы имеем в этом случае:
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2,H_1=q^3.$$

Используя первый метод, мы получим уравнение нулевого порядка:
$$m{\ddot{q}}^{(0)}+m{0}^2{q}^{(0)}=0,$$

решением которого будет
$$q^{(0)}=A\sin \omega t.$$

Уравнение первого порядка имеет вид:
$$m{\ddot{q}}^{(1)}+m{\omega }^2{q}^{(1)}=-3{\left(q^{(0)}\right)}^2=-3A^2{\sin }^2\omega t,$$

а его решение запишется так:
$$q^{(\mathbf{1})}=-\frac{A^2}{2n{\omega }^2}(3+\cos 2\omega t).$$

Уравнение второго порядка
$$m{\ddot{q}}^{(2)}+m{\omega }^2{q}^{(2)}=-6q^{(0)}{q}^{(1)}=\frac{3A^3}{m{\omega }^2}\sin \omega t(3+\cos 2\omega t)$$

имеет своим решением
$$q^{(2)}=\frac{A^3}{m^2{\omega }^4}[-\frac{3}{16}\sin 3\omega t-\frac{15}{4}\omega t\cos \omega t+\alpha \sin \omega t],$$

где через $\alpha$ временно обозначен соответствующий произвольный параметр.
Связь $p^{(i)}$ и $q^{(i)}$ определяется соотношением
$$p^{(l)}=m{\dot{q}}^{(i)},$$

и мы получаем выражение для энергии:
$$E=E^{(0)}+\lambda E^{(1)}+{\lambda }^2{E}^{(2)}+\dots ,$$

где
$$E^{(0)}=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2,E^{(1)}=0,E^{(2)}=\frac{A^4}{m{\omega }^2}(\alpha -\frac{37}{16}).$$

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ по двум причинам: прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для $q^{(1)}$ и $q^{(2)}$ допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению $q^{(1)}$, а добавили к решению $q^{(2)}$. Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений — для $E^{(1)}$ и $E^{(2)}$. Если положить к тому же $\alpha$ равной $11/8$, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный $t\cos \omega t$, в выражении для $q^{(2)}$. Если разложение в ряд по степеням $\lambda$ имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать $\lambda$ столь малым, чтобы члены, содержащие ${\lambda }^n(neq0)$, оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как $t\cos \omega t$. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для $q^{(2)}$, получаемом из канонической теории возмущений, такой член не появляется [см. (7.235)].

Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче, связанной с гармоническим осциліятором, поскольку в этом случае — и только в этом случае невозмущенное уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем, поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны.

Воспользуемся теперь вторым методом для решения задачи об ангармоническом осцилляторе. Мы увидим, что этот метод не сталкивается с отмеченными выше трудностями, но при этом определить с его помощью возмущенное движение довольно затруднительно. Фактически
Рис. 32. График функции $f(q)$, определенной согласно (7.122); $e_1,e_2$ и $e_3$ — корни функции $f(q)$.

самый простой способ получения первых отличных от нуля поправок как к энергии $E$, так и к координате $q$ состоит в использовании канонической теории возмущений, которой мы займемся в следующем параграфе.

Мы будем следовать Борну*) и воспользуемся переменными действие- угол. Если через $E$ обозначить энергию системы, мы получим:
$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\lambda q^3,$$

или же
$$p=\sqrt{2m\lambda f(q)}$$

причем
$$f(q)=-q^3-\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2\lambda }+\frac{E}{\lambda }\text{. }$$
*) М. Борн, Лекции по атомной механике, Гостехиздат Украины, 1934.

Обозначим через $e_1,e_2$ и ${\mathit{e}}_{\mathbf{8}}$ три корня кубического многочлена $f(q)$, которые мы выберем так, что $e_1\to {\left(2E/m{\omega }^2\right)}^{1/2},e_2\to -{\left(2E/m{\omega }^2\right)}^{1/2}$ и, наконец, $e_3\to -\mathrm{\infty }$, если $\lambda \to 0$ (см. рис. 32). Тогда выражение для $f(q)$ (7.122) можно переписать так:
$$\begin{array}{l}f(q)=(e_1-q)(q-e_2)(q-e_3)=\\ =-e_3(e_1-q)(q-e_2)[1-\left(q/e_8\right)].\end{array}$$

Будем искать точное решение уравнений движения в виде ряда по степеням $\lambda$ в предельном случае $\lambda \to 0$. При этом предельном переходе $e_3$ стремится к бесконечности по закону — ${\lambda }^{-1}$; извлекая квадратный корень из выражения (7.123), мы можем представить его в виде степенного ряда по $e_3^{-1}$ :
$$\begin{array}{l}[f(q){]}^{1/2}={(-e_3)}^{1/2}{\left[(e_1-q)(q-e_2)\right]}^{1/2}\times \\ \times [1-\left(q/2e_3\right)-\left(q^2/8e_3^2\right)+\dots ].\end{array}$$

Из (6.210) и (7.121) можно ввести переменную действия $J$ :
$$J=\oint pdq={(-2m\lambda e_3)}^{1/2}[J^{(0)}-\left(J^{(1)}/2e_3\right)-\left(J^{(2)}/8e_8^2\right)+\dots ],$$

где $J^{(k)}$ определяются согласно соотношению
$$J^{(k)}=\oint {\left[(e_1-q)(q-e_2)\right]}^{1/2}{q}^{k}dq.$$

Если ввести вместо переменных $q$ новые переменные $\psi$, определив их из соотношения [ср. (6.230)]:
$$2q=(e_1+e_2)+(e_1-e_2)\sin \psi ,$$

то угол $\psi$ меняется от $\pi /2$ до $5\pi /2$, когда координата $q$ проходит значения от $e_1$ до $e_2$ и обратно, так что для $J^{(k)}$ мы получим:
$$J^{(k)}=\frac{1}{4}{(e_1-e_2)}^2{\int }_0^{2\pi }{[\frac{1}{2}(e_1+e_2)+\frac{1}{2}(e_1-e_2)\sin \psi ]}^k{\cos }^2\psi d\psi ,$$

откуда следуют следующие выражения для $J^{(0)},J^{(1)}$ и $J^{(2)}$ :
$$\begin{array}{l}{J}^{(0)}=\frac{1}{4}\pi {(e_1-e_2)}^2,J^{(1)}=\frac{1}{8}\pi (e_1+e_2){(e_1-e_2)}^2,\\ J^{(2)}=\frac{1}{64}\pi {(e_1-e_2)}^2[5{(e_1+e_2)}^2-4e_1{e}_2].\end{array}$$

Теперь мы можем написать:
$$\begin{array}{rl}{e}_1{,}_2& =\pm {\left(2E/m{\omega }^2\right)}^{1/2}+{\alpha }_1,{}_2\lambda +{\beta }_1,{}_2{\lambda }^2+\dots ,\\ e_3& =(-m{\omega }^2/\lambda )(1+{\alpha }_3\lambda +{\beta }_3{\lambda }_2{}^2+\dots );\end{array}$$

для получения величин ${\alpha }_i$ и ${\beta }_i$ надо последовательно подставить выражения для $e_1$, $e_2$ и $e_3$ в выражение (7.122), определяющее $f(q)$, и потребовать обращения этого виражения в нуль; при этом приравниваютея нулю козффициенты при различных степенях $\lambda$. В результате получим:
$$\begin{array}{l}{\alpha }_1={\alpha }_2=-2E/m^2{\omega }^4,{\alpha }_3=0,\\ {\beta }_1=-{\beta }_2=\left(5E/m^3{\omega }^7\right)(2E/m{)}^{1/2},{\beta }_3=-8E/m^3{\omega }^6.\end{array}$$

Воспользовавшись (7.123) и (7.127) — (7.129), найдем:
$$J=\frac{2\pi E}{\omega }[1+\frac{15{\lambda }^{2}E}{4m^3{\omega }^9}+\dots ],$$

или
$$E=vJ-\frac{15{\lambda }^2{J}^2}{16{\pi }^2{m}^3({)}^4}+\dots ,v=\omega /2\pi .$$

Чтобы выразить $q$ через угловую переменную $w$, мы используем (6.208), т. е. пишем:
$$w=\int \frac{\partial p}{\partial J}dq={\left(\frac{m}{2\lambda }\right)}^{1/2}\frac{dE}{dJ}\int \frac{dq}{\sqrt{f(q)}},$$

где учтены (7.121) и (7.122) и то обстоятельство, что в $(7.122)$ от $J$ зависит только энергия $E$.

Разлагая $[f(q){]}^{-1/2}$ в ряд, аналогично разложению в ряд (7.124), и пользуясь подстановкой (7.127), мы найдем прямым, но утомительным вычисленнем:
$$2\pi w=\psi +\lambda {\left(J/\pi m^3{\omega }^5\right)}^{1/2}\cos \psi +\dots$$

Объединяя выражения (7.127), (7.130), (7.131), (7.133) и (7.135), мы получаем в конце концов выражение и для $q$ : $q=A\sin 2\pi \omega -\frac{\lambda A^2}{2m{\omega }^2}(3+\cos 4\pi w)+\dots$,
$$A={\left(\frac{J}{\pi m(1)}\right)}^{1/2}\text{. }$$