До сих пор рассматривались системы, состоящие из многих точечных частиц, которые в общем имели ту особенность, что каждая из этих частиц могла двигаться в известной степени пезависимо. В этой главе мы займемся системами частиц, которые уже не могут быть расположены вдоль прямой и которые обладают той особенностью, что расстояние между любой парой частиц остается всегда неизменным. Такие системы называют твердыми телами.

Твердое тело имеет шесть степеней свободы. В этом можно убедиться двумя способами. Во-первых, можно просто ожидать три поступательные и три вращательные степени свободы у твердого тела. Этот интуитивный подход требует, конечно, более строгого обоснования. Возьмем для начала три частицы, не лежащие на одной прямой. Положение каждой из этих частиц может быть определено заданием трех ее координат, но в стучае тьердого тела
есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится тремя координатами, но расстояния этой частицы до первых трех частиц заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.

В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого тела, мы выберем три координаты центра масс $X, Y$ и $Z$ и три угла $\theta, \varphi$ и $\psi$, характеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы выбираем три координатные оси $X, Y$ и $Z$ жестко связанными с телом, тогда как через $x, y, z$ обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис. 18). Угол $\theta$ определяется просто как угол между осями $z$ и $Z$. Угол $\varphi$ – это угол между осью $x$ и линией узлов, которая определяется как линия пересечения двух плоскостей: оху и $O X Y$. Наконец, угол $\psi$ предстагляет собой угол между линией узлов и осью $X$. Введенные таким образом углы называются углами Эйлера.

Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в определении, ни в обозначении углов Әйлера. Использованное здесь определение – наиболее распространенное, но если вам приходится сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно следует проверить определение углов Эйлера.

Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из осей $x, y, z$ и одной из осей $X, Y, Z$. Эти выражения легко получаются из рис. 18 , если воспользоваться формулами косинусов и синусов сферической тригонометрин:
\[
\begin{aligned}
\cos a= & \cos b \cos c+\sin b \sin c \cos A, \\
& \frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},
\end{aligned}
\]

где через $a, b, c$ обозначены длины дуг сферического треугольника $A B C$, а через $A, B, C$ – углы между соответствующими дугами (см. рис. 19).

Результаты представлены в табл. 1. Каждая из величин, приведенных 8 таблице, -это значение косинуса угла между осью, указанной в верхней части соответствующего столбца, и осью, указанной в левой части соответствующей строки. Стоит отметить, что результаты, сведенные в табл. 1, могут быть также получены более непосредственно, если заметить, что преобразование от осей $X Y Z$ к осям $x y z$ можно расщепить на три последовательных вращения: поворот на угол $\psi$ вокруг оси $Z$, поворот вокруг оси $X$

Рис. 19. Сферический тре угольник.

на угол $\theta$ и поворот на угол $\varphi$ вокруг оси $z$.
Таблица 1
Rоинусы углов между осями, жестко связанными с телом,
и фиксированными пространственными осями,
выраженшые через углы Эйлера
В дальнейшем будет удобнее описывать движение твердого тела через угловые скорости вращения относительно осей $X, Y, Z$, чем через производные $\dot{\theta}, \dot{\varphi}, \psi$. Тем не менее, поскольку $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$ и $\psi$ войдут в уравнения Лагранжа, необходимо иметь связь между этими двумя наборами угловых скоростей. Если $p, q$ и $r$ (или же $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\omega_{3}$ ) являются угловыми скоростями вращения тела 100

\begin{array}{l}
\omega_{1}=p=\dot{\theta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \theta \sin \psi, \\
\omega_{2}=q=-\dot{\theta} \sin \psi+\dot{\varphi} \sin \theta \cos \psi, \\
\omega_{3}=r=\dot{\varphi} \cos \theta+\psi .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно получить, если помпить, что $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}$ и $\psi$ представляют собой угловые скорости вращения вокруг линии узлов $O \Omega$, вокруг оси $z$ и вокруг оси $Z$ соответственно.

Теперь мы найдем уравнения движения твердого тела в системе отсчета, неподвижной в пространстве, другими словами, в инерциальной системе. В конце концов нам понадобятся эти уравнения и в той системе отсчета, которая жестко связана с телом. Для получения этих уравнений мы воспользуемся принципом Д’Аламбера (2.226):
\[
\sum_{i}\left(m_{i} \ddot{\boldsymbol{x}}_{i}-\boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{x}_{i}\right)=0,
\]

где через $F_{i}$ обозначены внешние силы, действующие на частицу, и где перемещения $\delta \boldsymbol{x}_{i}$ таковы, что кинематические соотношения не нарушаются. Последнее требование накладывает довольно сильныс ограничения и озачает фактически, что допустимы только два типа $\delta x_{i}$ :
(I) $\delta x_{i}=\varepsilon$
и
(II) $\delta x_{i}=\left[\varepsilon, x_{i}\right]$,

соответствующих трансляциям и вращениям тела.
Комбинируя (4.104) и (4.105, I), получим:
\[
\left(\boldsymbol{\varepsilon} \cdot \sum_{i} m_{i} \ddot{x}_{i}\right)=\left(\varepsilon \cdot \sum_{i} F_{i}\right)
\]

или же, поскольку $\varepsilon$ – пронзвольный вектор,
\[
M \ddot{X}_{\text {ц. и. }}=\dot{P}=F_{\text {рез }},
\]

где через $M$ обозначена полная масса системы:
\[
M=\sum_{l} m_{l} .
\]

Через $X_{\text {и. и. }}$ обозначен вектор, компонеттами которого являются координаты центра масс (центра инерции):
\[
X_{u_{1}, u_{1}}=\sum_{i} m_{i} x_{i} / M
\]
а через $F_{\text {рез }}$ – результирующая сила, действующая на тело:
\[
F_{\mathrm{pe3}}=\sum_{i} F_{i} .
\]

С другой стороны, если скомбинировать (4.104) и (4.105, II), мы получим:
\[
\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, m_{i} \ddot{x}_{i}\right]\right)=\left(\boldsymbol{\varepsilon} \cdot \sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, \boldsymbol{F}_{i}\right]\right),
\]

или, поскольку $\boldsymbol{\varepsilon}$ – снова произвольный вектор,
\[
\dot{\boldsymbol{J}}=\overrightarrow{\mathfrak{A}},
\]

где через $\boldsymbol{J}$ обозначен полный момент импульса тела,
\[
\boldsymbol{J}=\sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, m_{i} \dot{\boldsymbol{x}}_{i}\right],
\]

а через $\overrightarrow{\mathscr{M}}$ – полный (вращающий) момент сил, действующих на тело:
\[
\overrightarrow{\mathscr{N}}=\sum_{i}\left[x_{i}, F_{i}\right] .
\]

Уравнения (4.107) и (4.112) являются основными уравнениями движения твердого тела. Первое из них выражает тот факт, что центр масс твердого тела движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена именно в этой точке и все силы действовали бы на нее. Второе уравнение определяет производную по времени от момента импульса тела, которая равна полному моменту сил, действующих на тело. Обе эти величины полный момент импульса и полный момент сил – вычислены относительно одной и той же точки, за которую выбрано начало координат как в (4.113), так и в (4.114).

Займемся на время чистым вращением твердого тела. Мгновенное вращение можно охарактеризовать вектором $\omega$, компоненты которого определяются согласно (4.103). Скорости частиц, образующих твердое тело, можно найти по формуле [ср. (4.105, II)]:
\[
\dot{x}_{i}=\left[\omega, x_{i}\right] .
\]

Из (4.113) и (4.115) вытекает (имея в виду, что $r_{i}^{2}=$ $\left.=\left(\boldsymbol{x}_{i} \cdot \boldsymbol{x}_{i}\right)\right)$, что
\[
\boldsymbol{J}=\sum_{i} m_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i},\left[\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{x}_{i}\right]\right]=\left(\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}\right) \boldsymbol{\omega}-\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{x}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}\right) .
\]
Мы можем переписать полученное равенство епе и такı
\[
J_{k}=\sum_{l=x, y_{i} z} D_{k l} \omega_{l}, \quad k=x, y, z,
\]

где введено обозначение:
\[
D_{k l}=\sum_{i} m_{i}\left(r_{i}^{3} \delta_{k l}-x_{i k} x_{i l}\right), \quad k, l=x, g \text { или } z .
\]

Из (4.116) или (4.117) видно, что в общем случае вектор $\boldsymbol{J}$ и вектор $\boldsymbol{\omega}$ не совпадают по направлению.

Тензор второй валентности (второго ранга) $D_{k l}$ (4.118) называется тензором инерции. Его диагональные элементы носят название моментов инерции, а недиагональные элементы – моментов девиации. Эти же самые элементы, взятые с обратным знаком, называются также иногда произведениями инерции. Очень поучительно перейти сейчас к случаю непрерывного распределения масс. Формально это означает, что сумму по точечным массам $m_{i}$ мы заменим на интеграл от плотности массы $\rho$ по объему тела. Мы получим тогда для компонент тензора инерции:
\[
\begin{array}{ll}
D_{x x}=\int \rho\left(y^{2}+z^{2}\right) d^{3} x, & D_{x y}=-\int \rho x y d^{3} x=D_{y x}, \\
D_{y y}=\int \rho\left(z^{2}+x^{2}\right) d^{3} x, & D_{y z}=-\int \rho y z d^{3} x=D_{z y}, \\
D_{z z}=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right) d^{3} x, & D_{z x}=-\int \rho z x d^{3} x=D_{x z},
\end{array}
\]

где через $d^{3} \boldsymbol{x}$ обозначен элемент объема $d x d y d z$.
Причина, вызвавшая возникновение термина «момент девиации», состоит в том, что, если недиагональные элементы тензора инерции отличны от нуля, появляются «силы», стремящиеся изменить направление $\boldsymbol{J}[$ (ср. (4.205)], если только вектор $\boldsymbol{J}$ не направлен вдоль какой-нибудь из трех главных осей (см. ниже).

Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят, что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси $X Y Z$, жестко связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт, то эти оси всегда совпадают с главными осями, указывает на возможные преимущества описания движения твердого тела в системе $X Y Z$ по сравнению с таким же описанием в системе $x y z$, неподвижной в пространстве.

Если (4.117) записать в системе координат, совпадающей с главными осями, эти равенства упрощаются:
\[
J_{k}=D_{k} \omega_{k},
\]

или
\[
J_{x}=A p, \quad J_{y}=B q, \quad J_{z}=C r,
\]

где через $A, B$ и $C$ обозначены главные моменты инерчии тела.

Из (4.120) или (4.121) видно, что при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей вектор момента нмпульса $\boldsymbol{J}$ совпадает по направлению с вектором угловой скорости (1).

С помощы (4.115) можно получить выражение для кинетнческой энергии вращательного движения в внде:
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \dot{x}_{i}^{n}=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\left[\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{x}_{i}\right] \cdot\left[\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{x}_{i}\right]\right)=\frac{1}{2} \sum_{k, l} D_{k l}\left(\boldsymbol{\omega}_{k}(\boldsymbol{\theta}) l,\right.
\]

или же, если оси $x, y, z$ направлены вдоль главных осей,
\[
T=\frac{1}{2} A p^{2}+\frac{1}{2} B q^{2}+\frac{1}{2} C r^{2} .
\]

Если тело движется с линейной скоростью $\boldsymbol{g}$ и одно временно. вращается с угловой скоростью $\omega$, вместо (4.115) мы получим:
\[
\dot{x}_{i}=v+\left[\omega, x_{i}\right],
\]
a (4.122) заменится на
\[
T=\frac{1}{2} M \boldsymbol{v}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{k, l} D_{k l}\left(\omega _ { l } \left(\omega_{l}+\left(\boldsymbol{v} \cdot\left[\boldsymbol{\omega}, M \boldsymbol{X}_{\mathrm{nt.n} .}\right]\right),\right.\right.
\]

где $M$ и $\boldsymbol{X}_{\text {и.и. }}$ определяются согласно (4.108) и (4.109). Если выбрать начало координат в центре масс, последний член в правой части (4.125) обращается в нуль и кинетическая энергия преврацается в сумму энергий ноступательного и вращательного движения:
\[
T=\frac{1}{2} M v^{2}+\frac{1}{2} \sum_{k_{l} l} D_{k l} \omega_{k} \omega_{l} .
\]

есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится тремя координатами, но расстояния этой частицы до первых трех частиц заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.