Қанонические уравнения движения (5.108) описывают поведение $p_{k}$ и $q_{k}$. Из этих уравнений движения можно найти и уравнение движения для любой функции $F\left(p_{k}, q_{k}\right)$ этих переменных (для простоты мы будем полагать, что (учикия $F$ не зависнт явно от времени). Нетрулно убеДНТЕСя В Том, чTO
\[
F=\sum_{k}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}\right)=\sum_{k}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{k}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right),
\]

где нспользованы уравнения (5.108) и принято во внимание сделанное предиоложение о том, что $\partial F / \partial t=0$.

Если ввести обозначение
\[
\left.\{f, g\}=\sum_{k} \partial q_{k} \partial p_{k}-\partial p_{k} \partial q_{k}\right\}=-\{g, f\},
\]

то (5.301) можно переписать в виде
\[
F=\{F, H\} .
\]
Удобетво выражен!я (5.303) зактичаетея в том, чт оно не зависит от выбора координат, нотому что, кан мы сейчас докажем, скобки Пуассона низариантны относительно канонических преобразовадніі. В утом пара рафе мы выведем некоторые свойства скобок lyacсон, а также связанных с ними скобок Ларонжа, котор оределяотся соотнононием
\[
[f, g]=\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{1}}{\partial f} \frac{\partial p_{k}}{\partial g}-\frac{\partial p_{2}}{\partial f} \frac{\partial q}{\partial g}\right)=-1 g,[] .
\]
канониеснх преобразоганй. Сранивая (5.302) и (5.304), i. чиерденне монио уточнить следующи образом. Есл. in $(k=1,2, \ldots, 2 s)$ – набор $2 s$ незавпснмых функиий о ненивост равенства
\[
\sum_{k}\left\{\gamma_{k}, \gamma_{i}\right\}\left[\gamma_{k}, \gamma_{n n}\right]=\delta_{l / h}
\]

пе $\delta_{h l}$-символы Қронекера, определениые соласно (3.132).

Вычислим так называемье фундаментальные скобки т. е. скобки, примененные к $p_{k}$ и $q_{k}$. Поскольку $p_{k}$ и $q$ ивляются независимыми переменными, мы можел написать:
\[
\frac{\partial p_{k}}{\partial p_{l}}=\delta_{k i}, \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{l}}=0, \frac{\partial q_{k}}{\partial p_{l}}=0, \frac{\partial q_{k}}{\partial q_{l}}=\delta_{k l} .
\]

Нз (5.302), (5.304) н (5.300) нетруно потутит, чт.
\[
\begin{array}{l}
\left\{q_{k}, p_{l}\right\}=\delta_{k l},\left\{q_{k}, a_{l}\right\}=0,\left\{p_{k}, p_{k}\right\}=0 \text {; } \\
{\left[q_{a} m_{i}\left[=8, \ldots, q_{l}\right]=0,\left[p_{k}, m_{l}\right]=0\right. \text {. }} \\
\end{array}
\]

Равенства (5.307) и (о.308) определиот пивариан. ное свойство канонческих переменных. Действительно.

вычисляя $\partial \tilde{H}(\alpha, \beta) / \partial \alpha_{i}$, мы получим!
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial A}{\partial \alpha_{i}} & =\sum_{k}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}}\right]=\sum_{k}\left[\dot{q}_{k} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}}-\dot{p}_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}}\right]= \\
& =\sum_{k, j}\left\{\left[\frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \beta_{j}}-\frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \beta_{j}}\right] \dot{\beta}_{j}+\left[\frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}}-\frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{j}}\right] \dot{\alpha}_{j}\right\}= \\
& =\sum_{j}\left[\beta_{j}, \alpha_{i}\right] \dot{\beta}_{j}+\sum_{j}\left[\alpha_{j}, \alpha_{i}\right] \dot{\alpha}_{j},
\end{aligned}
\]

сткуда сравнением (5.309) с (5.202) следует, что
\[
\left[\beta_{j}, \alpha_{i}\right]=\delta_{i j},\left[\alpha_{j}, \alpha_{i}\right]=0 .
\]

Последние фундаментальные скобки Лагранжа $\left[\beta_{i}, \beta_{j}\right]$ также обращаются в нуль, как это следует из рассмотрения $\partial \bar{H} / \partial \beta_{i}$.

Аналогично, для величин $\alpha_{k}, \beta_{k}$ выполняются соотношения:
\[
\left\{\beta_{j}, \alpha_{i}\right\}=\delta_{i j},\left\{\alpha_{i}, \alpha_{j}\right\}=0,\left\{\beta_{i}, \beta_{j}\right\}=0 .
\]

Для доказательства составим выражение для $\dot{\alpha}_{i}$ :
\[
\begin{aligned}
\dot{\alpha}_{i} & =\sum_{k}\left[\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}\right]=\sum_{k}\left[\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right]= \\
& =\sum_{k, j}\left\{\left[\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \alpha_{j}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial \alpha_{j}}{\partial q_{k}}\right] \frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}+\left[\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \beta_{j}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial \beta_{j}}{\partial q_{k}}\right] \frac{\partial H}{\partial \beta_{j}}\right\}== \\
& =\sum_{j}\left\{\alpha_{i}, \alpha_{j}\right\}_{j}^{\partial \alpha_{j}}+\sum_{j}\left\{\alpha_{i}, \beta_{j}\right\} \frac{\partial H}{\partial \beta_{j}} .
\end{aligned}
\]

Из сопоставления (5.202) и (5.312) (а также из аналогичного выражения для $\dot{\beta}_{i}$ ) вытекают приведенные выражения (5.311).

Мы доказали, что фундаментальные скобки удовлетворяют соотношениям (5.307) и (5.308) независимо от выбора канонических переменных. Это означает, что при переходе от переменных $p_{k}, q_{k}$ к переменным $\alpha_{i}, \beta_{i}$ выполняются следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\left\{q_{k}, p_{l}\right\}^{\prime}=\left\{q_{k}, p_{l}\right\}=\delta_{k l},\left\{q_{k}, q_{l}\right\}^{\prime}=\left\{q_{k}, q_{l}\right\}=0, \\
\left\{p_{k}, p_{l}\right\}^{\prime}=\left\{p_{k}, p_{l}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Строго говоря, мы доказали это утверждение для $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$, но точно такое же доказательство годится и тогда, когда мы рассматриваем скобки (5.313). В (5.313) мы отметили скобки Пуассона, записанные в переменных $\alpha_{i}$, \beta_{i}$, штрихом. Соотношения, сходные с (5.313), справедливы также и для скобок Лагранжа.

Теперь мы покажем, что скобки, которые до сих пор были определены через канонические переменные специального вида $p_{k}$ и $q_{k}$, инвариантны относительно канонических преобразований. Мы проведем доказательство для скобок Пуассона; другими словами, мы хотим доказать:
\[
\{f, g\}^{\prime}=\{f, g\}
\]

доказательство для скобок Лагранжа нетрудно получить тем же самым методом или же принимая во внимание тот факт, что (5.305) справедливо независимо от выбора канонических переменных.
До начала доказательства отметим, что
\[
\left\{p_{k}, f\right\}=-\frac{\partial f}{\partial q_{k}},\left\{q_{k}, f\right\}=\frac{\partial f}{\partial p_{k}} .
\]

Если вместо $f$ подставить сюда $H$, то с учетом (5.303) уравнения (5.315) сведутся к уравнениям движения (5.108). Теперь займемся выражением $\{f, g\}$ ‘:
\[
\begin{array}{c}
\{f, g\}^{\prime}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial \beta_{i}} \frac{\partial g}{\partial \alpha_{i}}-\frac{\partial f}{\partial \alpha_{i}} \frac{\partial g}{\partial \beta_{i}}\right)= \\
=\sum_{i, k}\left[\frac{\partial f}{\partial \beta_{i}}\left(\frac{\partial g}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha_{i}}+\frac{\partial g}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}}\right)-\frac{\partial f}{\partial \alpha_{i}}\left(\frac{\partial g}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \beta_{i}}+\frac{\partial g}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \beta_{i}}\right)\right]= \\
=\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{f, q_{k}\right\}^{\prime}+\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{f, p_{k}\right\}^{\prime} .
\end{array}
\]

Полагая в (5.316) сначала $f \equiv q_{l}$, а затем $f \equiv p_{l}$, и используя (5.313) и (5.315), мы найдем:
\[
\begin{aligned}
\left\{q_{l}, g\right\}^{\prime} & =\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{q_{l}, q_{k}\right\}^{\prime}+\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{q_{l}, p_{k}\right\}^{\prime}= \\
& =\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{q_{l}, q_{k}\right\}+\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{q_{l}, p_{k}\right\}= \\
& =\frac{\partial g}{\partial p_{l}}=\left\{q_{l}, g\right\} ; \\
\left\{p_{l}, g\right\}^{\prime} & =\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{p_{l}, q_{k}\right\}^{\prime}+\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{p_{l}, p_{k}\right\}^{\prime}= \\
& =\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{p_{l}, q_{k}\right\}+\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{p_{l}, p_{k}\right\}= \\
& =-\frac{\partial g}{\partial q_{l}}=\left\{p_{l}, g\right\} .
\end{aligned}
\]

Нмел в виду изариантность скобок $\left\{q_{l}, g\right\}$ и $\left\{p_{l}, g\right\}$, ми полутаем нз (5.316), воспользовавшись соотношениями (3.315):
\[
\begin{array}{l}
\left\{f, g^{\prime}=\sum_{k} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}\left\{f, q_{k}\right\}^{+}+\sum_{i} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\left\{f, p_{k}\right\}=\right. \\
\left.=\sum_{k} \left\lvert\, \frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}-\eta_{i}-\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right.\right]=\{f, g\} ; \\
\end{array}
\]

тим и завернается наше доказательство.
Перейдем теперь к интегралам движения; здесь нам нонадобится так называемое тождество Якоби:
\[
\{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}+\{h,\{f, g\}\}=0 .
\]

Доназатьстзо соотношения (5.320) утомительно, но послокно, и мы оставим его читателіо; отметим только :олезное соотношение:
\[
\{f, g h l\}=g\{f, h\}+\{f, g\} h .
\]

Нз равсіства (ј.303) следует, что необходним и достаточым условием того, чтобы функция $F$ была бы liтегралом двнкения, будет условие
\[
\{F, H\}=0 .
\]

Если воспользонаться формули (5.320), потокив там $f \equiv: F, g \equiv G$ и $h \equiv H$, где $h$-гамильтоінан системы, а $F$ и $Q$-ингегралы двнения, мы найдем:
\[
\{H,\{F, G\}\}=-\{F,\{G, E\}\}+\{G,\{F, H\}\}=0 ;
\]

другини словамн: если фуниции $F$ и $G$ являются интегралами движения, то их скобка Пуассона также будет интегралом движения. Очень часто таким способом можно ностронть новые интегралы дзижения; очень часто, но далеко не всегда. Мы вскоре в этом убедимся.

В качестве примеров интегралов движения мы можем упоннуть полный момент пмнльса и полный нмпульс іктемы частиц. Мы остановимся на свойствах этих велінчин несколько подробнее.

Иачнем с вектора момента импульса системы частиц $\boldsymbol{M}$. Допустим, гто система может быть опнсана декартовыми ббычные импульсы $p_{i}$. Вектор полного момента нмпульса іпределяется согласно (1.309) п записівается через $x_{i}$ и

$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}$ в виде:
\[
M=\sum_{i}\left[x_{i}, p_{i}\right] .
\]

Из (5.324) и (5.307) нетрудно получить, что
\[
\left\{M_{x}, M_{y}\right\}=M_{z},\left\{M_{y}, M_{z}\right\}=M_{x},\left\{M_{z}, M_{x}\right\}=M_{y} .
\]

Можно доказать также и следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\quad\left\{M^{2}, M_{x}\right\}=0,\left\{M^{2}, M_{y}\right\}=0,\left\{M^{2}, M_{z}\right\}=0 ; \\
\left\{P_{x}, M_{x}\right\}=0,\left\{P_{y}, M_{y}\right\}=0,\left\{P_{z}, M_{z}\right\}=0 ; \\
\left\{P_{x}, M^{2}\right\}=0,\left\{P_{y}, M^{2}\right\}=0,\left\{P_{z}, M^{2}\right\}=0 ; \\
\left\{P_{x}, M_{y}\right\}=\left\{M_{x}, P_{y}\right\}=P_{z}, \\
\left\{P_{y}, M_{z}\right\}=\left\{M_{y}, P_{z}\right\}=P_{x}, \\
\left\{P_{z}, M_{x}\right\}=\left\{M_{z}, P_{x}\right\}=P_{y},
\end{array}
\]

где через $\boldsymbol{P}$ обозначен полный импульс системы:
\[
\boldsymbol{P}=\sum_{i} p_{i} .
\]

Из (5.328) и (5.307) вытекает, что для любой пары компонент $P_{k}$ и $P_{l}$ вектора $P$ мы получим: $\left\{P_{k}, P_{l}\right\}=0$.

В гл. 2 рассматривалась связь мекду бесконсио малыми преобразованиями и интегралами движения. Ми еще раз вернемся к этой связи, но на этот раз с топки зрения уравнений Гамильтона.

Допустим, что гамильтониан $H$ инвариантен относительно бесконечно малых преобразований такого впда, что только одна из обобщенных координат изменяетс (скажем, $q_{k_{0}}$ ), тогда как все остальные координаты и рсе импульсы остаются без изменения; это означает, что
\[
\delta H=0, \text { если } q_{k_{0}} \rightarrow q_{k_{0}}+\delta q_{k_{0}},
\]

или же
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{k_{0}}}=0 .
\]

Нз (5.330) и (5.315) вытекает, что
\[
\left\{H, p_{k_{0}}\right\}=0,
\]

и $p_{k_{0}}$ оказывается, таким образом, интегралом движения. (Можно, конечно, сразу из (5.330) и (5.108) получить, что $\dot{p}_{k_{0}}=0$, т. е. что $p_{k_{0}}-$ константа.)

Часто можно указать целый класс преобразований включающий в себя бесконечно малые преобразования.

относительно которого гамильтониан $H$ остается инвариантным; однако не всегда легко найти ту конкретную координату $q_{k_{0}}$, которая соответствует этим бесконечно малым преобразованиям; поэтому не всегда сразу ясно, какая функция координат и импульсов будет интегралом движения.

Два простейших случая, которыми мы и ограничимся, – трансляционная и поворотная инвариантность. В двух этих случаях мы сможем найти конкретную $q_{k_{0}}$, соответствующую бесконечно малым преобразованиям. Обсуждая трансляционную и поворотную инвариантность, мы будем предполагать, что можем обойтись декартовыми координатами $\boldsymbol{x}_{i}(i=1, \ldots, N)$.

Начнем с трансляционной инвариантности. Это значит, что гамильтониан $H$ инвариантен относительно преобразований
\[
x_{i} \rightarrow x_{i}+\varepsilon, \quad i=1, \ldots, N .
\]

Координаты $q_{k_{0}}$, которые нас интересуют, – это, конечно, три компоненты радиус-вектора центра масс системы, так что компоненты вектора полного импульса системы $\boldsymbol{P}$, определяемого согласно (5.328), оказываются интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. С одной стороны, мы имеем:
\[
\{\boldsymbol{P}, H\}=\sum_{i}\left\{\boldsymbol{p}_{i}, H\right\}=-\sum_{i}
abla_{i} H,
\]

где мы воспользовались (5.315). С другой стороны, из нзменения $\delta H$ гамильтониана при преобразованиях (5.332)
\[
\delta H=\sum_{i}\left(\delta x_{i} \cdot
abla_{i} H\right)=\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}
abla_{i} H\right),
\]

и из требования, чтобы $\delta H=0$ для любого $\varepsilon$, вытекает, что $\sum_{i}
abla_{i} H$ обращается в нуль; таким образом, из (5.333) мы и получаем, что три компоненты $\boldsymbol{P}$ являются интегралами движения.

Мы увидим ниже, что про вектор $\boldsymbol{P}$ можно сказать, что он порождает транслянио. В этой связи интересно рассмотреть пзменение функцин $f$ от координат $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ прн преобразованни (5.332). Мы найдем:
\[
\delta f=\sum_{i}\left(\delta \boldsymbol{x}_{i} \cdot
abla_{i} f\right)=\left(\boldsymbol{\varepsilon} \cdot \sum_{i}
abla_{i} f\right)=(\boldsymbol{\varepsilon} \cdot\{f, \boldsymbol{P}\}) .
\]

Очень сходна ситуация и для поворотной инвариантности. Здесь нас интересует преобразование
\[
\boldsymbol{x}_{i} \rightarrow \boldsymbol{x}_{i}+\left[\varepsilon, \boldsymbol{x}_{i}\right], \quad i=1, \ldots, N ; \boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{n} \delta \theta,
\]

соответствующее вращению вокруг оси, параллельной единичному вектору $\boldsymbol{n}$, на угол $\delta \theta$. Преобразование (5.336а) справедливо для всех векторов в декартовой системе координат, так что, определяя изменение в гамильтониане или какой-либо нной функции от $\boldsymbol{x}_{i}$ и $p_{i}$, мы должны помнить, что импульсы $\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}$ преобразуются в точности так же, а именно согласно формуле
\[
p_{i} \rightarrow p_{i}+\left[\varepsilon, p_{i}\right], \quad i=1, \ldots, N .
\]

Координаты $q_{k_{0}}$, которые мы хотим найти, – это углы; соответствующие интегралы движения – компоненты момента импульса. В рассматриваемом случае мы имеем прежде всего:
\[
\begin{aligned}
\{M, H\}=\left\{\sum_{i}\left[x_{i}, p_{i}\right], H\right\} & =-\sum_{i}\left[x_{i},
abla_{i} H\right]+ \\
& +\sum_{i}\left[
abla_{p i} H, p_{i}\right]=-\sum_{i}\left[x_{i},
abla_{i} H\right],
\end{aligned}
\]

где через $
abla_{p i}$ обозначен символический вектор с компонентами $\partial / \partial p_{x i}, \partial / \partial p_{y i}, \partial / \partial p_{z i}$, а также учтен тот факт, что в декартовых координатах гамильтониан $H$ содержнт импульсы $\boldsymbol{p}_{i}$ лишь в комбинациях $p_{i}^{2} / 2 m$, так что $
abla_{p i} H=$ $=p_{i} / m_{i}$.
Вместо (5.334) мы получим теперь:
\[
\begin{aligned}
\delta H & =\sum_{i}\left(\left[\varepsilon, x_{i}\right] \cdot
abla_{i} H\right)+\sum_{i}\left(\left[\varepsilon, p_{i}\right] \cdot
abla_{p i} H\right)= \\
& =\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}\left[x_{i},
abla_{i} H\right]\right)+\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}\left[p_{i},
abla_{p i} H\right]\right)= \\
& =\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}\left[x_{i},
abla_{i} H\right]\right) .
\end{aligned}
\]

Из того, что $\delta H=0$ для любого $\boldsymbol{\varepsilon}$, вытекает, что $\{M, H\}=$ $=0$, так что три компоненты вектора полного момента импульса $M$ будут интегралами движения, если гамильтониан $H$ инвариантен относительно вращений.

Выясним сейчас, в каком смысле про момент импульса М можно сказать, что он порождает вращения. Для дальнейших рассуждений полезно найти изменение $\delta f$ функции $f\left(x_{i}, p_{i}\right)$ при преобразовании (5.336). Для величины

$8 f$
ми нахолим:
\[
\begin{aligned}
\delta f & =\sum_{i}\left(\delta x_{i} \cdot
abla_{i} f\right)+\sum_{i}\left(\delta p_{i} \cdot
abla_{i f} f\right)= \\
& =\sum_{i}\left(\left[e, x_{i}\right] \cdot
abla_{i} f\right)+\sum_{i}\left(\left[\varepsilon, p_{i}\right] \cdot \Gamma_{i} f\right)= \\
& =\left(e \cdot \sum_{i}\left[x_{i},
abla_{i} f\right]\right)+\left(\varepsilon \cdot \sum_{i}\left[p_{i},
abla_{i n}\right]\right)= \\
& =\left(\varepsilon \cdot\left\{f, W_{i}\right) .\right.
\end{aligned}
\]

Допустим на мгновение, чоо гамильтониан $H$ инвариантен как по отношению к трансляциям, так и по отнощению к вращениям. Пусть мы нашли, что интегралами движения являются $M_{x}, M_{y}$ и $P_{x}$. Тогда можно воспользоваться результатом, полученным нами ранее, а именно тем, что скобки Пуассона двух интегралов движения снова дают интеграл движения; комбинируя этот результат с (5.325), мы докажем, что компонента $M_{z}$ должна ओть также иитегратом движения, а в сочетании с (5.327) пы докажем, что $P_{z}$, и тогда уже и $P_{p}$, также должны бть питегратами двнжения. Такнм образом, мы выяснили, чго если две компоненты вектора момента импульса являются питегралами движения, то третья компонента гакже будет интегралом движения. Но это не верно для пектора импульса, поскольку $\left\{P_{x}, P_{y}\right\}=0$. Коль скоро мы нашли $P_{x}, P_{y}, P_{z}, M_{x}, M_{y}, M_{z}$, мы исчерпали все возможности полностью. Никаких новых интегралов движенія из скобок Пуассона, содержащих шесть этих велиінн, получить уже нельзя.

Из того, что $\left\{M_{x}, M_{y}\right\}=M_{z}$, и из соотношения $\left\{p_{k}, p_{l}\right\}=0$ вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими иянульсами. С другой стороны, $\left\{M^{2}, M_{x}\right\}=0$, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть канонитеским импульсом одновременно с одной из своих компнент (ср. задачу о движении в поле центральной силы, $\$ 2.3$, и хорошо нзвестную ситуацию в квантовой механие).

В предығущем параграфе мы видели, что пронзводяцая функция
\[
S=\sum_{k} \alpha_{k} q_{k}
\]

приводит к тождественинм преобразолиниям, т. е.
\[
p_{R}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}=\alpha_{k}, \quad \beta_{k}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}}=q_{k} .
\]

Рассмотрим теперь бесконечно малые преобразования, порождаемые функцией
\[
S=\sum_{k} \alpha_{k} q_{k}+\varepsilon f(\alpha, q),
\]

где $\varepsilon$-бесконечно малая величин, а $f$-произвольная функция $\tau_{2}$ ні $q_{k}$. Преобразование, порождаемое функцией (5.342), нмеет вид:
\[
p_{k}=\alpha_{k}+\varepsilon \frac{\partial f}{\partial q_{k}}, \beta_{k}=q_{k}+\varepsilon \frac{\partial f}{\partial \alpha_{k}},
\]

так что с точностьо до первого порядка по $\varepsilon$ оно эквнвалентно преобразованию:
\[
\alpha_{k}=p_{k}-\varepsilon \frac{\partial f(p, q)}{\partial q_{k}}, \beta_{k}=q_{k}+\varepsilon \frac{\partial f(p, q)}{\partial p_{k}} .
\]

Теперь мы займемся несколькими специальными случаями бесконечно малых преобразований. Первый интересующий нас случай возникает, если $\varepsilon=\delta t$ и $f=H(\alpha, q)$, где $H$ – гамильтониан системы. Тогда из (5.344) мы имеем:
\[
\beta_{k}-q_{k}=\delta q_{k}=\delta t \frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \alpha_{k}-p_{k}=\delta p_{k}=-\delta t \frac{\partial H}{\partial q_{k}} ;
\]

другими словами: самильтониан порождаен движение системь в фазовом пространстве во өремени.

В качестве второго частного случая мы выберем $f=$ $==(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{P}(\boldsymbol{\alpha}))$, где $\boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}\right)$ – полный импульс системы, определяемый согласно (5.328), и где $\boldsymbol{\alpha}$-векторы, связанные с $p_{i}$ точно так же, как $\alpha_{k}$ связаны с $p_{k}$. Выражение для $f$ может быть записано еще и так:
\[
f=(n \cdot P(\alpha))=\left(n \cdot \sum_{i} \alpha_{i}\right),
\]
\[
\boldsymbol{\alpha}_{i}=p_{i}, \quad f_{i}=x_{i}+\varepsilon,
\]

где $\varepsilon=\varepsilon$ и и где $\beta_{i}$ – векторы, канонически сопряение с $\boldsymbol{\alpha}_{i}$. Выражения (5.347) совпадают с соотнонениями (5.332), которые описывают трансляции.
Последний пример полуиится, если положить
\[
f=(\boldsymbol{n} \cdot M(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{x}))=\left(\boldsymbol{n} \cdot \sum_{i}\left[\boldsymbol{x}_{i}, \boldsymbol{\alpha}_{i}\right]\right),
\]

где $M$ – полный момент импуыса, определяемый согласно (5.324). Из (5.344) мы получим теперь:
\[
\alpha_{i}=p_{i}+\left[\varepsilon, p_{i}\right], \quad \beta_{i}=x_{i}+\left[\varepsilon, x_{i}\right],
\]

где опять же $\varepsilon=\varepsilon \boldsymbol{n}$. Выражения (5.349) совпадают с (5.336) и соответствуют, таким образом, вращению.

Только что проведенные рассуждения разъясняют, что мы имели в виду, когда утверждали, что полный импульс и полный момент импульса порождают соответственно трансляции и вращения.

Изменение произвольной функции $F(p, q)$ от $p_{k}$ и $q_{k}$ при преобразованиях, порождаемых функцией $S$ (5.342), определяется равенством
\[
\begin{aligned}
\delta F & =\sum_{k}\left[\frac{\partial F}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \delta p_{k}\right]= \\
& =\varepsilon \sum_{k}\left[\frac{\partial F}{\partial q_{k}} \frac{\partial f}{\partial p_{k}}-\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \frac{\partial f}{\partial q_{k}}\right]=\varepsilon\{F, f\} .
\end{aligned}
\]

Можно сравнить это выражение с (5.335) и (5.339), которые получаются подстановкой выражений (5.346) и (5.348) для $f$ соответственно в (5.350) с учетом того, что $\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}$.

Интересный частный случай получится, если подставить в (5.350) вместо функции $F$ гамильтониан $H$. Мы получим тогда:
\[
\delta H=\varepsilon\{H, f\},
\]

и мы видим, что любой интеграл движения порождает бесконечно малье преобразования, оставляющие гамильтониан $H$ инвариантным, поскольку, если $f$ интеграл движения, то $\{H, f\}=0$. Это как раз теорема, обратная той, которую мы доказали чуть раньше: всегда можно найти интеграл движения, если известны бесконечно малые преобразования, оставляющие $H$ инвариантным.

В заключение этого параграфа мы разберем движение точечной заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнения движения мы выберем в форме, вытекающей из (5.108) и (5.315):
\[
\dot{q}_{k}=\left\{q_{k}, H\right\}, \quad \dot{p}_{k}=\left\{p_{k}, H\right\},
\]
– в форме, являющейся частным случаем (5.303). Гамильтониан этой задачи можно получить из лагранжиана [см. $(2.507)]$ :
\[
L=\frac{1}{2} m \dot{\boldsymbol{x}}^{2}-e \varphi+e(\boldsymbol{A} \cdot \dot{\boldsymbol{x}}),
\]

откуда сначала мы найдем:
\[
\boldsymbol{p}=m \dot{\boldsymbol{x}}+e \boldsymbol{A},
\]

а затем уже и гамильтониан:
\[
H=(\boldsymbol{p} \cdot \dot{\boldsymbol{x}})-L=(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A})^{2} / 2 m+e \varphi .
\]

Уравнения движения примут вид:
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\{\boldsymbol{x}, H\}, \quad \dot{\boldsymbol{p}}=\{\boldsymbol{p}, H\},
\]

или
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A}) / \mathrm{m},
\]

что совпадает с (5.354), а также
\[
\dot{\boldsymbol{p}}=-e
abla \varphi+(e / m)[(\boldsymbol{p}-e \boldsymbol{A}),[
abla, \boldsymbol{A}]],
\]

что эквивалентно (2.509) и может быть, следовательно, приведено к виду:
\[
m \ddot{\boldsymbol{x}}=e\{\boldsymbol{E}+[\dot{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{B}]\}, \quad \boldsymbol{E}=-
abla \varphi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}, \quad B=[
abla, A] .
\]