ГЛАВА СЕДЬМАЯ. Четвертое измерение

До сих пор мы рассматривали только такие события, которые происходили на прямой линии, соединяющей различные системы. Все сказанное легко распространить также на события, происходящие в любых точках пространства.

Точки на плоскости

Если на плоскости провести две взаимно перпендикулярные линии, то положение любой точки можно будет задать с помощью расстояния до этих линий. Например, выберем точку О и проведем от нее линию на восток и линию на север (фиг. 22). Допустим, что точка А расположена в 5 км к востоку и в 3 км к северу от точки тем самым мы фиксируем ее положение. Если мы направимся из О и пройдем 5 км в направлении оси т. е. на восток к точке а затем 3 км в направлении оси у, т. е. на север вдоль то попадем в точку А. Числа 5 и 3 называются координатами точки А. Мы говорим, что точка А задана или что ее координаты (5,3); координата всегда указывается первой. Допустим, что В — другая точка на плоскости с координатами (9,6). Тогда мы можем попасть из

переместившись вдоль оси еще на и вдоль оси у на На фиг. 22 и Таким образом,

Аналогично, если расстояние между по оси составляет X, а по оси у составляет У, так что и то

Координаты точки представляют собой просто расстояния от точки О, измеренные в направлении осей х и у.

Фиг. 22.

Если нам известны координаты двух любых точек то расстояние от до В в координатах х и у можно найти, производя, как и выше, вычитание соответствующих координат этих точек.

Допустим теперь, что, по утверждению наблюдателя О, система удаляется от него в направлении со скоростью и что событие происходит в точке а событие II — в точке В спустя время . В этом случае наблюдатель О говорит, что расстояние и промежуток времени между событиями равны X (вдоль оси х), Y (вдоль оси у) и Т. В системе промежуток времени оказывается иным, скажем Расстояние вдоль оси тоже другое, скажем а расстояние вдоль оси у сохраняется прежним, так как линейки наблюдателей одинаковы в направлении, перпендикулярном скорости, т. е.

Мы уже доказали, что Поскольку , то Но если по измерениям О длина равна а по

измерениям А длина составляет то мы знаем, что и так что

Обозначим поэтому и назовем интервалом между событиями, координаты которых и время, согласно О, равны а согласно А, равны а расстояния соответственно равны