Криволинейные мировые линии

Утверждение, что полная длина прямолинейного отрезка равна сумме длин всех его частей, является фундаментальным положением обычной геометрии. И мы видели, что в соответствии с этим, если мировая линия прямолинейная, то интервал между первым и последним событиями равен сумме интервалов между соседними событиями, измеренных вдоль этой линии.

Фиг. 26.

Если же речь идет о кривой, то расстояние от конечной до начальной точки на кривой оказывается меньше суммарной длины различных участков этой линии. В противоположность этому мы покажем, что если мировая линия криволинейная, то интервал между начальным и конечным событием будет больше суммы интервалов между соседними событиями, измеренных вдоль мировой линии.

Мировая линия характеризует историю действительного тела; она описывает движение этого тела с точки зрения некоего наблюдателя. Но скорость тела не может превосходить скорость света. Поэтому если промежуток времени и расстояние между двумя событиями в истории тела равны соответственно то мы знаем, что и интервал между этими событиями будет вещественным. В приведенном выше численном примере при

Вернемся к рассмотрению червя, мировая линия которого состоит из двух отрезков прямой и (фиг. 26). Предположим, что, регистрируя события наблюдатель О получает следующие результаты:

для события для события для события

В этом случае для каждого из отрезков мы имеем

Так как координаты увеличиваются в разных пропорциях, мировая линия не будет прямолинейной. Интервал от В до А равен

Интервал от С до В равен

Интервал от С до А равен

Но меньше 12. Таким образом, сумма интервалов между и между меньше интервала между Мы видим, что, если мировая линия не прямолинейная, интервал между оказывается больше того, что можно было бы назвать интервалом, измеренным вдоль мировой линии Мы приведем сейчас общее доказательство этого утверждения.