Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 12. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙВ предыдущих рассуждениях принималось, что молекулы газа могут двигаться с самыми различными скоростями, начиная с очень малых и кончая бесконечно большими. Как распределяются при этом молекулы в зависимости от их скоростей: сколько молекул движется быстро и сколько медленно — не обсуждалось. Это оправдывалось тем, что при подсчете давления распределение молекулярных скоростей не играет никакой роли. Величина давления определяется кинетической энергией молекул в единице объема вне зависимости от того, как эта кинетическая энергия делится между отдельными молекулами. Хаотичность молекулярного движения может вообще породить сомнение в возможности решить задачу о распределении скоростей молекул. Но, как мы убедимся ниже, подобную задачу решить можно, и впервые это было сделано К. Максвеллом, нашедшим закон распределения молекул по скоростям. Строгое обоснование закона распределения принадлежит Конечно, хаотичный характер молекулярного движения накладывает свой отпечаток на закон распределения молекул по скоростям и его формулировку. Нельзя, например, ставить вопрос о том, сколько молекул в данном объеме газа в какой-либо момент времени движется со скоростью, в точности равной Кроме того, нельзя гарантировать, что указанное число молекул будет во всех случаях точно соответствовать действительности. В данном случае следует говорить о вероятности встретить в газе данное число интересующих нас молекул. При этом необходимо иметь в виду, что в отличие от того, как это имеет место в обыденной жизни, когда «вероятность события» определяется на основании субъективной оценки каких-то известных данному человеку факторов, так что вероятность одного и того же события может оцениваться различными людьми по-разному, научное определение вероятности объективно и выражается числом, не зависящим от того, кто его определяет. Позднее определение вероятности будет рассмотрено более подробно. Здесь мы отметим лишь, что если газ содержит большое количество молекул, то вычисленная с помощью закона Максвелла вероятность встретить молекулу, скорость которой удовлетворяет определенным условиям, с большой точностью совпадает с долей подобных молекул среди молекул газа. Выше отмечалось, что на практике приходится иметь дело с количествами вещества, содержащими огромное число молекул, и поэтому при решении большинства практических задач молекулярной физики законы теории вероятности выполняются с той строгостью, которая обычна для физических законов. Для пояснения физической сущности закона распределения молекулярных скоростей рассмотрим следующий мысленный опыт. Предположим, что удалось сконструировать прибор, позволяющий не только непосредственно наблюдать хаотическое движение молекул, но и определять их скорости. Допустим, что с помощью этого прибора наблюдают поведение молекул кислорода, температура которого нуль градусов. Как указано выше, не имеет смысла пытаться определять точные значения скоростей отдельных молекул. Наблюдаемые молекулы распределяются в зависимости от их скоростей по отдельным группам. Предположим, что все молекулы делят так, что в первую группу относят те, скорости которых меньше В таблице 4 приведены результаты проверки подобного мысленного опыта. Как можно убедиться, рассматривая таблицу, молекул с очень большими и очень малыми скоростями немного. Подавляющее большинство молекул движется со скоростями, заключенными в сравнительно узких пределах. Еще более наглядно графическое изображение описанного опыта. На рисунке 13 вдоль оси абсцисс отложены скорости движения молекул. В соответствии с опытом ось абсцисс разделена на отдельные интервалы по Таблица 4 (см. скан) Распределение молекул кислорода по скоростям при 0° С
Рис. 13. Распределение молекул кислорода по скоростям. последней группы молекул их доля в общем числе изображается площадью фигуры, ограниченной сверху линией, правый конец которой асимптотически приближается к оси абсцисс. Вдоль оси ординат при таком построении графика будет откладываться доля общего числа молекул, приходящаяся на данный интервал скоростей, т. е. Попытаемся найти аналитическое выражение закона распределения молекулярных скоростей, как это было сделано в свое время Максвеллом. Скорость каждой молекулы изображается некоторым вектором. Перенесем начало векторов скоростей всех молекул в одну точку, которую примем за начало произвольно выбранной системы прямоугольных координат (рис. 14). Вектор скорости с любой молекулы при таком построении определяется координатами Выбрав в пространстве скоростей некоторый малый объем
Если рассматривать только составляющую скорости вдоль оси х, то вполне естественно предположить, что число молекул
где Перенося
Рис. 14. Пространство скоростей. Рассуждая аналогично, можно написать выражение вероятности для молекул обладать составляющей скорости вдоль оси у, большей
Подобно этому вероятность составляющей скорости вдоль оси
В теории вероятностей доказывается теорема, согласно которой вероятность совместного осуществления нескольких независимых событий равняется произведению их вероятностей. Так, например, если вероятность выпадения герба при бросании монеты равна можно предположить, что вероятность для молекулы обладать скоростью, компоненты которой заключены в пределах от
Предположим, что нижний предел скорости с постоянен, в этом случае должно выполняться условие:
Допустим дальше, что неизменным остается и интервал скорости, т. е. элементарный объем в пространстве скоростей:
При выполнении этих двух предположений должна оставаться неизменной и вероятность
Подставляя в первое равенство значение
Разделив полученное уравнение на произведение функций
найдем
Умножив выражение (43) на произвольную величину
В силу произвольности величин
Последние уравнения легко решаются. Обозначив
или
откуда
где Таким образом, искомое выражение вероятности
Очевидно, что аналогичные выражения можно получить для вероятности того, что скорость молекулы вдоль оси у заключена в пределах от Вероятность
Часто для расчета представляет интерес только абсолютная величина скорости, но не направление ее в пространстве, или, другими словами, не значения компонентов скорости
Если в этом уравнении определить значение постоянных
в котором
Рис. 15. Кривая распределения молекулярных скоростей по Максвеллу. Графическое изображение закона распределения Максвелла представлено на рисунке 15. Вдоль оси абсцисс отложены скорости движения молекул При практическом применении закона Максвелла иногда бывает необходимо определить долю числа молекул, скорости которых превосходят некоторое определенное значение Характер кривой распределения молекулярных скоростей указывает на то, что существует некоторая скорость молекулярного движения, отличающаяся тем, что в ее окрестности на данный небольшой интервал скоростей приходится большее число молекул, чем в окрестности любой другой скорости. Эта скорость называется наивероятнейшей скоростью движения молекул. Наивероятнейшей скорости соответствует максимум на кривой распределения. Вычисление наивероятнейшей скорости а производится по формуле:
или
Если условиться измерять скорости движения молекул не в метрах в секунду, а в относительных единицах, равных отношению скорости движения молекулы к наивероятнейшей скорости:
Для сравнения на графике, изображающем закон распределения (рис. 15), указаны значения средней арифметической с и средней квадратичной На распределение молекулярных скоростей большое влияние оказывает температура. Наивероятнейшая скорость движения молекул, как это ясно из уравнения 51, пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. Следовательно, при повышении температуры максимум на кривой распределения смешается вдоль оси абсцисс вправо. Поскольку же площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, должна при этом оставаться неизменной, то очевидно, что величина ординаты, соответствующей максимуму, уменьшается — кривая делается более пологой. На рисунке 16 сплошная кривая соответствует абсолютной температуре 273°, а пунктирная — абсолютной температуре 373°. Изменение кривой распределения молекулярных скоростей при изменении температуры объясняет влияние температуры на многие физико-химические процессы. Особенно велико влияние температуры на те процессы, при которых определяющим является количество молекул со скоростями, превосходящими некоторую определенную величину.
Рис. 16. Изменение распределения молекулярных скоростей при изменении температуры в кислороде (по оси ординат отложена величина Как явствует из графика, число подобных молекул быстро возрастает с ростом температуры. Именно это возрастание объясняет во многих случаях ускорение химических реакций при нагревании реагирующей смеси.
|
1 |
Оглавление
|