6. АДИАБАТНЫЕ ПРОЦЕССЫ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

В целом ряде физических явлений приходится сталкиваться с процессами, протекающими в термодинамической системе практически почти без теплообмена с окружающей средой.

Процессы, протекающие без теплообмена, называются адиабатными.

Для того чтобы какой-либо процесс протекал адиабатно, система должна быть отделена от окружающей среды теплонепроницаемыми стенками. Поскольку подобных стенок в природе не встречается, не встречается в природе и полностью адиабатных процессов. Чем лучше теплоизоляция системы, тем ближе процесс к адиабатному. Так как процесс теплообмена требует некоторого времени, то к адиабатным процессам приближаются все процессы, протекающие достаточно быстро.

При адиабатном сжатии или расширении газа зависимость между давлением и объемом отличается от обратной пропорциональности, следующей из закона Бойля — Мариотта, справедливого в случае изотермических изменений состояния газа. Для отыскания этой зависимости воспользуемся первым началом термодинамики:

В случае адиабатных процессов теплообмен отсутствует и, следовательно,

так что

или

т. е. работа, совершаемая системой при адиабатных изменениях состояния, сопровождается эквивалентным изменением внутренней энергии системы. Поскольку в этом случае работа однозначно связана с состоянием системы, выражение является полным дифференциалом. Элементарная работа при любом расширении или сжатии газа выражается уравнением

Если система представляет собой идеальный газ, то изменение внутренней энергии связано с изменением температуры системы простой зависимостью:

Подставляя эти значения в выражение первого начала, получим:

Для того чтобы уменьшить число переменных, исключим из написанного выражения давление газа, воспользовавшись для этого уравнением состояния идеальных газов, согласно которому

в результате найдем:

Разделим переменные и перенесем в левую часть уравнения:

Интегрируя в пределах от начальных значений объема и температуры до конечных — и получим:

или, подведя постоянный сомножитель под знак логарифма,

Если равны логарифмы каких-либо величин, то равны и сами величины, и поэтому в написанном соотношении знаки логарифмов можно отбросить:

или

Как было показано в кинетической теории газов (см. стр. 69)

и, следовательно,

Отношение теплоемкости вещества при постоянном давления к его теплоемкости при постоянном объеме обозначают обычно греческой буквой у. следовательно, Используя это обозначение, можно записать полученное соотношение в форме:

Таким образом, при адиабатных изменениях состояния для данной массы газа произведение температуры на объеме степени остается постоянной величиной.

При адиабатном расширении идеального газа его температура понижается и, наоборот, при адиабатном сжатии — повышается. Если в уравнении (8) заменить температуру ее выражением через объем и давление, воспользовавшись для этого уравнением идеальных газов

то получится соотношение между давлением и объемом, имеющее место при адиабатном изменении состояния:

Перенеся универсальную газовую постоянную из левой части уравнения в правую и замечая, что произведение остается постоянной величиной, можно написать:

Аналогично, подставляя в уравнение (8) значение объема, выраженное через соответствующие значения давления и температуры,

найдем третью форму уравнения, справедливого для адиабатных изменений состояния идеального газа:

Уравнения, описывающие адиабатные изменения состояния, называют уравнениями Пуассона.

Сопоставим изотермические и адиабатные изменения состояния идеального газа.

Предположим, что исходное состояние газа, характеризуемое значениями параметров изображается на диаграмме с координатами точкой 1. При изотермическом сжатии или расширении газа точка, изображающая состояние системы (рис. 90), будет двигаться вдоль соответствующей изотермы, представляющей с геометрической точки зрения равнобочную гиперболу

Рис. 90. Изотермическое и адиабатное изменение состояния газа.

При адиабатном сжатии и расширении, как это следует из уравнения (9), давление изменяется быстрее, чем при изотермическом, так что соответствующие точки, изображающие состояние системы, образуют кривую, расположенную более круто, чем изотерма. Эта кривая называется адиабатой.

С молекулярной точки зрения большая крутизна адиабаты по сравнению с изотермой вполне понятна. При изотермическом сжатии давление возрастает (при расширении — уменьшается) только в результате изменения молекулярной плотности и соответственно числа ударов молекул о стенки сосуда. Среднее изменение количества движения при ударе молекулы о стенку при этом остается постоянным. В случае же адиабатных изменений объема сжатие сопровождается повышением температуры, а расширение — понижением. Поэтому при сжатии число соударений возрастает не

только в результате увеличения молекулярной плотности, но и в результате увеличения средней скорости молекулярного движения. Кроме того, при этом возрастает среднее изменение количества движения, происходящее при соударениях молекулы со стенкой. Все это, вместе взятое, приводит к тому, что при адиабатном сжатии наблюдается большее возрастание давления, чем при эквивалентном изотермическом.

При адиабатном расширении в результате понижения температуры средняя скорость движения молекул уменьшается.

Рис. 91. Через любую точку адиабаты можно провести изотерму.

Рис. 92. Через любую точку изотермы проходит самостоятельная адиабата.

Это вызывает большее по сравнению с наблюдаемым при изотермическом расширении уменьшение числа ударов молекул за одну секунду о стенку сосуда, сопровождающееся уменьшением среднего изменения количества движения при отдельном ударе. Естественно, что при адиабатном расширении газа его давление уменьшается больше, чем при эквивалентном изотермическом расширении.

Следует подчеркнуть что каждая точка адиабаты имеет температуру, отличную от других, и потому через каждую точку адиабаты можно провести соответствующую изотерму (рис. 91).

Аналогично, через каждую точку изотермы можно провести адиабату (рис. 92).

В системе координат адиабаты всегда располагаются круче, чем изотермы.