Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВОсновное уравнение кинетической теории газов можно получить различными способами, отличающимися большей или меньшей строгостью рассуждений. Поскольку окончательный результат во всех случаях оказывается одним и тем же, ниже приводится возможно более простой вывод этого важного уравнения. Предположим, что имеется сосуд в форме куба с ребром а, содержащий один киломоль газа. Далее допустим, что все молекулы—шарики, имеющие одну и ту же массу Влияние, которое оказывают молекулярные соударения, позднее будет рассмотрено специально. Будем считать дальше, что в отношении молекулярных скоростей
Рис. 10. При своем движении молекулы будут непрерывно ударяться о стенки сосуда. Следующие очень быстро один за другим молекулярные удары будут усредняться и, как указал в 1738 г. академик Санкт-Петербургской Академии наук Д. Бернулли, создавать постоянную силу, действующую на стенки сосуда. Для того чтобы определить величину этой силы, рассмотрим соударение со стенкой какой-либо произвольно выбранной молекулы. Разложим скорость движения этой молекулы
Отразившись от стенки, рассматриваемая молекула после большего или меньшего числа соударений с различными гранями куба ударится о левую грань, противоположную первой. До этого момента составляющая скорости После соударения с левой гранью куба составляющая скорости
Зная время, разделяющее два последующих удара молекулы об одну и ту же грань, можно определить, сколько раз за 1 секунду ударится данная молекула о рассматриваемую грань куба. Это число ударов
Поскольку при каждом ударе данной молекулы изменение количества движения составляет
Приведенные выше рассуждения можно повторить применительно к любой из Общее изменение количества движения за 1 секунду, происходящее в результате соударения с данной гранью всех заполняющих куб молекул, найдется суммированием изменений количеств движений, обусловленных соударениями отдельных молекул, т. е.
Для дальнейших выводов следует учесть, что при разложении векторов молекулярных скоростей на составляющие вдоль трех произвольно выбранных осей координат должны выполняться следующие условия:
Суммируя написанные уравнения, получим:
Условие хаотичности молекулярного движения требует, чтобы при любом расположении координатных осей выполнялось равенство:
или
Это дает возможность преобразовать уравнение (17), выражающее изменение количества движения, следующим образом:
Из механики известно, что изменение количества движения численно равно импульсу силы
Поскольку в приведенных выше рассуждениях подсчитано изменение количества движения, происходящее за промежуток времени
При характеристике свойств газов обычно говорят не о силе, действующей на стенки сосуда, а о давлении газа В рассматриваемом примере
Но
Приведенные выше рассуждения показывают, каким образом в результате рассмотрения поведения отдельных молекул можно сделать заключение о физической сущности макроскопического свойства газа — его давлении. Проанализируем более внимательно полученное выражение для давления газа. Легко заметить, что стоящая в правой части уравнения (19) в числителе сумма представляет собой общую кинетическую энергию молекул газа
Поскольку в знаменателе стоит объем, занимаемый газом, то очевидно, что вся дробь будет представлять кинетическую энергию молекул, заключенных в единице объема газа, т. е. плотность кинетической энергии молекул. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что давление газа измеряется плотностью кинетической энергии движущихся молекул. Все молекулы газа имеют одинаковую массу
Разделив и умножив правую часть выражения (20) на число молекул газа
Дробь
представляет собой средний квадрат скорости движения молекул
Пользуясь величиной средней квадратичной скорости, можно выразить кинетическую энергию молекул газа следующим соотношением:
Выражение для давления газа теперь будет:
Замечая, что дробь представляет число
Это уравнение обычно называют основным уравнением кинетической теории газов. Заметим, что число молекул В дальнейшем наряду со средней квадратичной скоростью нам придется пользоваться и средней арифметической скоростью, определяемой соотношением:
Следует обратить внимание на то, что квадрат средней квадратичной скорости следующую задачу: имеется 10 молекул, две из которых движутся со скоростью Согласно определению
Мы видим, таким образом, что величины Если требуется на основании среднего значения молекулярной скорости найти величину кинетической энергии какой-то совокупности молекул, то для получения правильного ответа необходимо пользоваться средней квадратичной скоростью, а не средней арифметической. Если в уравнении (23) перенести объем газа У в левую часть, то оно приобретет следующий вид:
Сопоставив написанное выражение с уравнением Клапейрона
и замечая, что левые части этих равенств одинаковы, можно написать
Перенеся
По своему физическому смыслу отношение Полученное уравнение позволяет сделать чрезвычайно важный вывод о том, что средняя кинетическая энергия молекул газа зависит только от температуры газа.
Этот вывод раскрывает физический смысл абсолютной температуры. Из уравнения (28) следует, что абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии молекулярного движения. По мере приближения к абсолютному нулю средняя кинетическая энергия теплового движения молекул уменьшается Следует также обратить внимание на то, что согласно уравнению (28) при одинаковой абсолютной температуре кинетические энергии, обусловленные перемещением молекул, будут одинаковыми даже у молекул, сильно различающихся своей массой. Процесс выравнивания температуры, который имеет место при соприкосновении или смешении холодного газа с газом нагретым, представляет по существу процесс выравнивания средних кинетических энергий поступательного движения молекул. Уравнение (27) позволяет рассчитать среднюю квадратичную скорость движения молекул любого газа при разных температурах. Заметив, что произведение массы молекулы
или, подставляя численное значение универсальной газовой постоянной,
Таким образом, средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул прямо пропорциональна квадратному корню из отношения абсолютной температуры к молекулярному весу. Сходная зависимость существует и для средней арифметической скорости движения молекул с. В этом случае справедливо соотношение:
или
Пример 1. Вычислить среднюю квадратичную и среднюю арифметическую скорости движения молекул водорода и атомов парообразной ртути при температуре 300° по абсолютной шкале. Молекулярный вес водорода 2, атомный вес ртути 200. Решение.
Пример 2. Какой вывод придется сделать, если при вычислении давления газа (стр. 25) предположить, что грань куба, о которую ударяются молекулы, удаляется от приближающихся молекул со скоростью и, измеренной по отношению к той же неподвижной системе координат, по отношению к которой измерена скорость молекулы. Решение. При расчете скорости движения молекулы при соударении со стенкой следует принимать во внимание не абсолютное значение скорости движения молекулы, а относительное ее значение, измеренное с учетом движения стенки. Таким образом, поскольку и молекула и стенка движутся в одном направлении, относительная скорость движения молекулы до удара будет Таким образом, в той системе координат, в которой до соударения со стенкой скорость движения молекулы была равна
Очевидно, что если энергия молекулярного движения не пополняется извне, то в результате соударений с движущейся стенкой величина средней кинетической энергии молекул газа уменьшается, т. е. газ охлаждается.
|
1 |
Оглавление
|