9. ЦИКЛ КАРНО

Цикл Карно (рис. 97) состоит из двух изотерм и двух адиабат Для того чтобы упростить вычисления, предположим, что рассматриваемая система — один киломоль идеального газа, хотя полученный вывод будет справедлив для любой системы.

Допустим, что начальное (1) состояние системы определяется значениями параметров состояния

Предоставим газу возможность расшириться изотермически при температуре до объема Первоначальное давление газа при этом уменьшится до величины и система перейдет в состояние 2, характеризуемое величинами

Расширяясь изотермически, газ совершит работу равную

Для поддержания температуры неизменной при изотермическом расширении к системе необходимо подвести количество теплоты эквивалентное совершенной при этом работе:

Если теперь предоставить газу расшириться адиабатно от объема до объема 13, то температура газа понизится до величины а давление — до величины Система перейдет в новое состояние 3, характеризуемое величинами Работа которую при этом переходе совершит система, будет эквивалентна уменьшению внутренней энергии системы:

Рис. 97. Цикл Карно.

Для возвращения системы в исходное состояние подвергнем газ, находящийся в результате адиабатного расширения при более низкой температуре изотермическому сжатию до объема Давление в системе возрастет при этом до величины Изотермическое сжатие газа потребует работы равной

Для того чтобы сжатие газа происходило изотермически, от него необходимо отвести количество теплоты эквивалентное совершенной работе:

Значение объема выбирается с таким расчетом, чтобы замыкание цикла, которое связано с повышением температуры до величины можно было бы осуществить адиабатным сжатием газа от объема до начального объема

В результате адиабатного сжатия температура газа и его давление принимают первоначальные значения и система возвращается в исходное состояние.

Сжатие газа, соответствующее последней ветви цикла Карно, потребует работы эквивалентной возрастанию внутренней энергии системы:

Работа, совершенная системой при расширении, равна сумме

Работа же, совершенная для возвращения системы в исходное состояние, — сумме

Разность между работой, совершенной при расширении системы, и работой, совершенной при ее сжатии, равна работе, которую можно использовать при циклическом изменении состояния системы:

Как явствует из написанного выше выражения и как это следует непосредственно из физических соображений, работа, совершенная системой при адиабатном расширении, и работа, совершенная при адиабатном сжатии, взаимно сокращаются, так что работа, которую можно использовать в результате проведения цикла Карно, равна разности

Коэффициент полезного действия цикла Карно выражается отношением:

Для того чтобы упростить это выражение, заметим, что объемы и так же как объемы и лежат попарно на соответствующих адиабатах, и потому согласно уравнению Пуассона (уравне-нение 8), для них справедливы соотношения:

Разделив первое равенство почленно на второе, получим:

Извлекая из обеих частей равенства корень степени, найдем:

Учитывая это равенство, можно заменить в выражении для величину равной величиной и, сократив дробь на получить:

Таким образом, коэффициент полезного действия цикла Карно равен отношению разности между абсолютной температурой при которой происходит изотермическое расширение газа, и абсолютной температурой изотермического сжатия газа к абсолютной температуре изотермического расширения газа

В термодинамике доказывается, что коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от природы вещества, с помощью которого он осуществляется, а зависит лишь от величины температур, при которых теплота сообщается системе и отводится от нее. Кроме того, при заданных значениях температур цикл Карно имеет наибольший по сравнению с другими циклами коэффициент полезного действия.

Для того чтобы повысить коэффициент полезного действия цикла Карно, следует увеличить температуру при которой теплота сообщается системе, и уменьшить температуру при которой она отдается системой. Коэффициент полезного действия цикла Карно стал бы равен 1, если температуру удалось бы понизить до абсолютного нуля.

В результате цикла тепловой машины некоторое количество теплоты забирается при температуре от какого-либо внешнего по отношению к рассматриваемой системе тела, обычно называемого нагревателем. Часть этой теплоты превращается в работу, а часть отдается по-прежнему в виде теплоты, но при более низкой температуре второму внешнему по отношению к системе телу, называемому холодильником. Схематически этот процесс изображен на рисунке 98.

Воспользовавшись этой терминологией, можно сказать, что коэффициент полезного действия цикла Карно равен отношению разности температур нагревателя и холодильника к абсолютной температуре нагревателя.

При обсуждении особенностей цикла Карно исключительно большое значение имеет то обстоятельство, что процессы изотермического и адиабатного сжатия и расширения, из которых этот цикл состоит, обратимы. Поэтому можно первоначально предоставить газу, занимающему при температуре объем адиабатно

расшириться до объема (рис. 99), вызвав тем самым понижение его температуры до величины Если теперь предоставить газу расшириться изотермически до объема то он совершит работу отняв эквивалентное количество теплоты от внешнего источника, находящегося при температуре более низкой, чем исходная температура газа

Для возвращения газа в начальное состояние его сжимают адиабатно до объема при достижении которого температура газа поднимается до первоначальной величины а затем сжимают изотермически до исходного объема

Рис. 98. Схема работы тепловой машины.

Рис. 99. Цикл холодильной машины.

Изотермическое сжатие требует затраты внешними силами работы сопровождающейся передачей внешнему телу эквивалентного количества теплоты при более высокой температуре

Работа, совершенная при сжатии, очевидно, больше, чем работа, совершенная при расширении.

В описанном циклическом процессе в результате совершения работы удается перевести некоторое количество теплоты от тела более холодного к телу более нагретому.

Описанный цикл называется циклом холодильной машины.

Подобные круговые процессы лежат в основе действия различных холодильных аппаратов.