§ 8. Обшая форма стационарного потока без последействия

Как мы видели в главе 1, стационарный поток без последействия, если он сверх того обладает еще свойством ординарности, есть простейший поток, общая структура которого легко может быть установлена. Теперь мы поставим себе задачу найти общий вид стационарного потока без последействия, отбрасывая требование ординарности.

Как мы видели в § 6, стационарный поток без последействия однозначно определяется заданием функций [причем всегда Поэтому наша задача сводится к определению общего вида семейства функций для стационарных потоков без последействия. С этой целью мы прежде всего установим, что для любого такого потока при любом отношение при стремится к определенному пределу, который может быть либо нулем, либо положительным числом.

Обозначим через вероятность того, что в промежутке длины произойдет по меньшей мере вызовов, так что для

В § 7 мы доказали, что для любого стационарного потока отношение при стремится к определенному пределу, конечному или бесконечному. В случае потока без последействия этот результат является тривиальным, так как при зато мы теперь убедимся, что в случае стационарного потока без последействия предел отношения существует для любого Так то отсюда будет следовать, что и предел отношения при существует для любого . В случае простейшего потока мы имеем, конечно,

Подобно рассуждению § 7 мы начнем с доказательства одного элементарного вспомогательного предложения из теории пределов, представляющего собой некоторое усиление леммы § 7.

Лемма. Пусть функция неотрицательная и неубывающая в отрезке отношение ограничено в этом отрезке и

где постоянная, любое натуральное число, и тогда отношение при стремится к некоторому пределу

Доказательство. Полагая в где получаем

откуда

Положим

мы можем принять , так как при утверждение леммы тривиально.

Пусть задано произвольно. Выберем так, чтобы

Пусть и натуральное число определяется неравенствами

тогда в силу (8.2)

если достаточно мало; так как, с другой стороны, для достаточно малых то

и лемма доказана.

Чтобы установить существование предела отношения при надо только показать, что функция при удовлетворяет всем предпосылкам доказанной леммы. Неотрицательность и монотонность в любом отрезке самоочевидны. Далее, из вытекает ограниченность в любом отрезке. Поэтому остается только убедиться, что удовлетворяет соотношению (8.1).

Обозначим с этой целью через верхнюю грань отношения в области и положим

Мы утверждаем, что

откуда и будет следовать, что функция удовлетворяет соотношению (8.1).

Неравенство (8.3) мы докажем с помощью индукции по При оно тривиально. Допустим, что для некоторого имеет место. Для того чтобы в отрезке длины поступило не менее вызовов [вероятность чего равна необходимо, чтобы при каком-либо имелось не менее вызовов в отрезке и не менее вызовов в отрезке (длины ); поэтому

В силу (8.3) отсюда

а это и есть соотношение (8.3) с вместо

Таким образом, функция при 0 удовлетворяет всем предпосылкам доказанной леммы, и следовательно, при отношение а значит, и отношение стремятся к определенному пределу. Так как при то и отношение при этом имеет определенный предел. Положим

Отношение есть вероятность получить вызовов в отрезке длины если известно, что в этом отрезке вызовы существуют. Предел этого отношения при т. е. число можно поэтому рассматривать как вероятность получения вызовов в определенный момент, если известно, что в этот момент вообще вызовы происходят (такое истолкование величины возможно, но, конечно, не обязательно).

Перейдем теперь к определению общего вида функций для стационарного потока без последействия. В § 3 мы установили для такого потока [см. (3.1)] общее соотношение

так как при

то отсюда при

и, следовательно,

Но при по доказанному выше

поэтому предельный переход доказывает существование и дает

Добавляя сюда очевидное соотношение

мы получаем систему уравнений, позволяющих однозначно определить систему функций В частности, к этому ведет путь замены неизвестных функций, которым мы пользовались в § 3. Полагая, как там,

мы легко приводим систему (8.4) к виду

позволяющему рекуррентно определить все функции [а значит, и Так, например, мы в силу находим

откуда

Мы не будем проводить здесь дальнейших выводов, так как значительно более простые и изящные результаты дает метод производящих функций, к применению которого мы теперь и переходим. Положим

отыскание системы функций сводится к отысканию функции Умножая соогношение заменяемое соотношением (8.5)] на и суммируя по к

от 0 до мы находим

или, полагая

получаем

а так как при любом

то интегрированием по находим

и наша задача решена. Заметим, еще, что при любом

вследствие чего (8.6) дает

Таким образом, производящая функция для любого стационарного потока без последействия имеет вид

Убедимся теперь, что и обратно, если числа подчиняются только что перечисленным требованиям, то

существует стационарный поток без последействия, производящая функция которого дается формулой (8.6).

С этой целью мы допустим, что моменты времени, в которые происходят вызовы, образуют простейший поток с параметром так что для вероятности того, что за промежуток времени произойдет таких «вызывающих моментов», мы имеем обычное выражение

Однако поток самих вызовов не будет, вообще говоря, простейшим, так как мы допустим, что в каждый вызывающий момент может с вероятностью, отличной от нуля, поступить и более одного вызова. Примем вероятность поступления в данный вызывающий момент ровно вызовов равной независимо от того, каков данный вызывающий момент и каково было течение этого потока до данного момента. Этим соглашением мы задаем некоторый определенный поток вызовов, который, очевидно, будет стационарным потоком без последействия. Покажем, что производящая функция этого потока дается формулой (8.6).

Число вызовов, происходящих в любой вызывающий момент, мы определили как случайную величину, принимающую значение с вероятностью производящая функция такой величины есть

Возьмем теперь любых различных между собой вызывающих моментов и обозначим через вероятность того, что в эти моментов в совокупности произойдет вызовов, так что суммарное число вызовов за вызывающих моментов есть случайная величина с производящей функцией

[где, разумеется, при Но эта случайная величина есть сумма взаимно независимых случайных величин, каждая из которых имеет производящую функцию

Так как при сложении взаимно независимых случайных величин их производящие функции перемножаются то поэтому

А так как с другой стороны, очевидно, для рассматриваемого потока

то

что совпадает с формулой (8.6).

Мы можем формулировать результат нашего исследования так: совокупность всех стационарных потоков без последействия совпадает с совокупностью всех потоков, даваемых формулой (8.6), где

С предметной точки зрения мы убедились, что для каждого стационарного потока без последействия поток вызывающих моментов является простейшим и для полного описания данного потока вызовов надо, кроме параметра К этого простейшего потока, задать еще закон распределения числа вызовов, поступающих в любой

выбранный вызывающий момент. Очевидно, эти соображения делают совершенно прозрачной структуру самого общего стационарного потока без последействия.

Заметим еще, что в случае формула (8.6) дает нам производящую функцию простейшего потока с параметром А.: