§ 28. Основная теорема Пальма

Мы убедились в § 26, что если на линию поступает простейший поток вызовов, то поток, поступающий на линию уже не будет простейшим. Важнейшая основная теорема теории Пальма состоит в том, что при этом на любую линию поступает поток типа т. е. стационарный, ординарный и с ограниченным последействием. От простейшего такой поток отличается, следовательно, только тем, что требование отсутствия последействия заменяется более общим требованием ограниченности последействия.

Для доказательства этой теоремы нам не понадобится никаких расчетов; достаточно лишь более внимательно вглядеться в картину происходящего. Так как для утверждение теоремы тривиально, то надо только показать, что, если оно верно для оно остается верным и для а так как вызовы, поступающие на совпадают с вызовами, теряющимися на то мы должны доказать следующее: если на линию поступает поток вызовов типа то потерянные на вызовы также образуют поток типа При такой постановка задачи, очевидно, самое существование линии является несущественным.

Обозначим для краткости через А поток вызовов, поступающих на и через В — поток вызовов, теряющихся на Течение потока В после произвольно выбранного момента будет однозначно определено, если станет известно, сколько времени будет еще длиться занимающий линию в момент I, разговор, а также каковы моменты поступающих после вызовов потока А и какова длительность начинаемых этими

вызовами разговоров. Но все эти факторы в свою очередь однозначно определяются течением потока А, который есть поток типа следовательно, стационарен. Поэтому все перечисленные факторы не зависят от выбранного момента а вместе с ними не зависит от и дальнейшее течение потока другими словами, поток В также стационарен.

Ординарность потока В с самоочевидностью вытекает из того, что он составляет собой часть (ординарного) потока А.

Покажем, наконец, что поток В — с ограниченным последействием. Пусть обозначим через моменты следующих за вызовов потока А и через -моменты следующих за вызовов потока В и положим

Наша задача — показать, что закон распределения величины не зависит от значений величин или, что то же, от значений величин Но величина будет однозначно определена, если станут известны:

1) расстояния от до поступающих на после момента дальнейших вызовов;

2) остаточная длительность разговора, занимающего линию в момент

3) длительности разговоров, занимающих линию после момента

Все эти три фактора независимы от значений, принимаемых величинами Для первого это следует из того, что поток А — с ограниченным последействием; для второго — из показательного закона распределения длин разговоров, а для третьего это самоочевидно. Но так как этими тремя факторами значение случайной величины определяется однозначно, то и эта случайная величина не зависит от величин или, что то же, от величин Но это и означает, что поток ограниченным последействием. Таким образом, основная теорема Пальма доказана.

Отсюда, очевидно, следует, что для упорядоченного полиодоступного пучка с простейшим входящим потоком и показательным распределением длин разговоров поток вызовов, поступающих на любую линию этого пучка, представляет собой поток типа Но такой поток (см. § 13) однозначно

определяется заданием функции Пальма Условимся в дальнейшем обозначать через функцию Пальма для потока вызовов, поступающих на линию что, в частности, Мы видим, что наша задача сводится к определению функции для любого этому и будет посвящено все дальнейшее.