МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ОЧЕРЕДИ

Предлагаемое исследование было предпринято с целью ответить на некоторые вопросы, возникшие в связи со строительством и эксплуатацией телефлшых станций; однако, результаты его имеют совершенно общий характер и могут найти применение к случаю любой очереди в периоде ее стационарности, т. е. при условии, что очередь не имеет тенденции к нарастанию или убыванию; следует отметить, что применяемые здесь методы, безусловно, могут служить орудием исследочашя и нестационарных очередей; однако, эта (шрочгм, практически менее важная) часть работы в настоящее время еще не выполнена.

В частности, я полагаю, что результаты настоящего исследования могут служить основанием для рэсчетоз основных показателей времени простоя стамкод и других установок в некоторых отраслях промышленности — всякий раз, когда большое число устанозок поручается наблюдению одного рабочего. В этом случае очергдь образуется станками, ожидающими ремонтной операции. Однако в случае, когда число станкоз, поручаемых одному рабочему, не велико (лежит в пределах одного десятка), формулы настоящей статьи становятся неточными, и следует избегать пользоваться ими. Этот случай, более сложный, требует специального исследования, которое я надеюсь изложить в другой работе.

Опытная проверка результатов настоящего исследования ведется Московской городской телэф шной станцией. Результаты ее, а также практические празила расчета времени

ожидания, вытекающие из полученных формул, будут опубликованы в соответствующей научно-технической печати.

Некоторые из результатов настоящей работы содержатся в качестве частных случаев в работах Pollaczecka 1930 г. Однако я счел желательным все же их опубликовать, так как чрезвычайно громоздкий метод (позволяющий, правда, в то же время решать более общие задачи) делает чтение его работ крайне затруднительным, в особенности для инженера. Некоторые частные случаи формулы для среднего времени ожидания (§ 4) были найдены Thornton , которому, по-видимому, принадлежит и идея применяемого мною рекуррентного метода, хотя Fry применяет его к другим объектам и в других предположениях.

В дальнейшем речь идет о вызовах, разговорах, абонентах и т. п. Эта терминология, взятая из телефонной практики, выбрана лишь для определенности и ни в какой мере не должна ограничивать собою области приложимости полученных результатов.

§ 1. Определения, обозначения и постановка задачи

Телефонистка, обслуживающая данную (многочисленную) группу абонентов, получает, в среднем, определенное число вызовов (требований) в час. Мы допускаем, что вероятность поступления данного числа вызовов в данный промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не зависит ни от момента его начала, ни от того, сколько абонентов находилось в этот момент в состоянии ожидания разговора. Это условие и является предпосылкой стационарности очереди. Если вызов застает телефонистку занятой, абонент должен выждать, пока она переговорит со всеми абонентами, ранее него занявшими очередь. Длительность разговора между абонентом и телефонисткой предполагается случайной величиною; в дальнейшем через обозначается вероятность того, что эта длительность заключена между (таким образом, есть относительное число разговоров имеющих данную длительность). Средняя

продолжительность разговора равна

Если в единицу времени (за которую в телефонной практике обычно принимается час) происходит а вызовов, то есть среднее время занятости (нагрузка) телефонистки. Во всем дальнейшем предполагается так как в противном случае очередь, как легко видеть, безгранично растет и не может быть стационарной (такого рода установка была бы в качестве постоянной установки практически бессмысленной).

Таким образом данными нашей задачи служат: с одной стороны, функция (закон распределения длительности разговоров), с другой, — число а (нагрузка телефонистки) или (число вызовов в час). Ищется, в конечном счете, закон распределения времени ожидания, т. е. вероятность того, что абонент, производящий вызов в произвольно выбранный момент времени, должен будет прождать более чем часов, прежде чем вступит в разговор с телефонисткой; наиболее важными показателями являются, однако, среднее значение этого времени ожидания и его среднее квадратическое отклонение.

В дальнейшем я обозначаю через вероятность того, что при начале наудачу выбранного разговора число ожидающих очереди абонентов упадет с до иначе говоря, як есть относительное число разговоров, начинающихся в указанных условиях. Через и подобным же образом буду обозначать относительное число разговоров, начинающихся без предварительного ожидания.

Очевидно, мы можем также сказать, что есть относительное число таких окончаний разговоров, в момент которых число занятых абонентов падает с до к; в случае это непосредственно ясно, так как

момент окончания одного разговора есть, вместе с тем, момент начала следующего разговора; в случае же это следует из того, что за каждым окончанием в отсутствии ожидающих следует в точности одно начало без ожидания.

Но непосредственно очевидно, что число моментов, когда очередь переходит от участников к равно числу моментов обратного перехода от так как момент первого рода наступает только при окончании разговора, а момент второго рода — тольк при поязлении нового вызова, то есть относительное число вызовов, в момент которых число занятых абонентов повышается с до

Эти числа мы будем называть начальными индексами нашей задачи; их роль будет чисто вспомогательной; однако, мы должны начать с их определения.

§ 2. Рекуррентное определение начальных индексов

В тех условиях, которые нами приняты относитель о поступления вызовов, вероятность того, что в течение некоторого данного промежутка времени произойдет вызовов, выражается, как известно, формулой Пуассона

Найдем прежде всего вероятность того, что в течение данного, наудачу выбранного разговора произойдет вызовов (иначе гозоря, есть относительное число тех разговоров, в течение которых происходит вызовов); вероятность того, что выбранный разговор будет иметь длительность, заключенную межлу равна по предположению следовательно, по формуле полной вероятности:

Мы обэзначим через вероятность того, что наудачу выбранный разговор начнется без предварительного ожидания; для того чтобы это случилось, необходимо и достаточно, чтобы предыдущий разговор начался в момент, когда никто не ждет (вероятность чего есть и чтобы, сверх того, в течение этого разговора не последовало одного вызова (вероятность чего есть Отсюда

В случае есть вероятность того, что наудачу выбранный разговор начнется в момент, к число ожидающих падает с до ; для того чтобы это случилось, необходимо и достаточно осуществление какой-нибудь одной следующего ряда предпосылок:

1. Предыдущий разгоюр начался в момент, когда ожидающих не было (зероятиэсть и в течение этого разговора произошло вызовов лггность

2. Предыдущий разговор начался в момент, когда число ожидающих уменьшилось с двух до одного (вероятность и в течение этого разговора произошло вызовов (вероятность

Предыдущий разговор начался в момент, когда число ожидающих упало с до (вероятность ), и в течение этого разговора не последовало одного вызова (вероятность

По формуле полной вероятности мы, таким образом, получаем:

Формулы (1) и (2) позволяют последовательно выразить все через а так как то и является определенным. Явные выражения этих начальных индексов через данные элементы нам в дальнейшем не понадобятся, но полученные рекуррентные формулы призваны играть основную роль.

§ 3. Основной закон стационарной очереди

Пусть означает вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени в точности абонентов окажутся занятыми (т. е. что в случае один говорит и ожидают). Практически эта вероятность измеряется относительной длительностью того времени, в течение которого занято абонентов.

Основным законом стационарной очереди назовем соотношение

справедливость которого и непосредственно довольно ясна; в самом деле, в § 2 мы внделн, что есть относительное число вызовов, встречающих при своем возникновении занятых абонентов; очевидно, что это число при наших предпосылках совпадает с относительной длительностью того времени, в течение которого выполняется это условие.

Однако этот непосредственный вывод основного закона все же не является вполне убедительным; поэтому мы дадим формальное доказательство этого закона, тем более, что нужный для этого математический аппарат нам все равно понадобится в дальнейшем.

Итак, мы постараемся выразить величину через начальные индексы С этой целью заметим следующее: вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени телефонистка занята, равна а; если это случилось, то вероятность того, что ведущийся разговор имеет длительность, заключенную между равна относительной общей продолжительности таких разговоров, т. е.

если, наконец, разговор действительно имеет эту длительность, то вероятность того, что уже протекшая до нашего вызова часть и этого разговора заключена между составляет у (если ) и 0

(если Отсюда:

Здесь левая часть есть вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени мы застанем разговор, уже протекшая часть которого и заключена между а в правой части через обозначен интегральный закон распределения длительности разговоров. Вероятность же того, что в течение этой, уже протекшей, части разговора состоялось вызовов, равна, очевидно

Но, с другой стороны, очевидно, что

откуда

где положено:

Функции как легко непосредственно проверить, удовлетворяют разностно-дифференциальному уравнению

поэтому, написав соотношение (2) в виде:

и интегрируя по частям, мы находим:

откуда

Но члены сходящихся рядоз, в силу чего эта постоянная должна обращаться в нуль, и таким образом, основной закон доказан.

В снлу этого закона рекуррентные формулы (1) и (2) имеют место для величин и позволяют в случае надобности их последовательно определить; однжо, получаю цееся отсюда общее выражение для неудобно для расчетов и для теоретического употребления, вследствие чего мы предпочитаем в дальнейшем пользоваться соотношениями (1) и (2) в их первоначальном виде:

§ 4. Определение среднего времени ожидания

Время ожидания у (случайная величина), т. е. время, протекающее от момента вызова до начала разговора, слагается из двух составляющих: 1) время от момента вызоча до окончания того разговора, который ведется в момент вызоза, и 2) суммарная длительность разгоюров всех тех абонентов, которые в момент произведенного вызова находились в состоянии ожидания (разумеется, если вызов произошел в момент, когда нет ожидающих, и если вызов застал телефонистку свободной).

Таким образом:

где также случайные величины. Для метода последующих расчетов важно иметь в виду следующее замечание.

Очень легко найти закон распределения для величины зная величины найденные нами в § 3, столь же нетрудно найти закон распределения величины однако, это не дало бы нам возможности написать закон распределения для величины у, потому что величины и взаимно зависимы, и в этом — главная трудность проблемы. В самом деле, если, например, мало, то это есть при прочих равных условиях указание на то, что разговор длится уже относительно долго; это же, в свою очередь, указывает на то, что, вероятно, скопилось много ожидающих, так что получает шансы стать большим. Каким образом может быть преодолено это затруднение, мы увидим в дальнейшем; здесь же, где речь идет только о математическом ожидании величины это обстоятельство не играет, конечно, никакой роли, так как (обозначая математическое ожидание случайной величины тою же буквой, но с чертой сверху):

Чтобы найти заметим, что вероятность застать разговор длительности, заключенной между равна, как мы уже видели,

при этом же условии математическое ожидание величины очевидно, равно отсюда

где означает математическое ожидание квадрата длительности разговора.

Что касается величины то при условии, что в момент вызоза занято 1 абонентов, ее математическое ожидание, очевидно, становится равным отсюда:

а так как есть математическое ожидание числа занятых абонентов в произвольно выбранный момент времени,

очевидно, совпадающее с суммарным временем занятости всех абонентов в течение часа, то мы имеем:

с другой стороны, очевидно

так что

таким образом

откуда

Эта простая формула полностью решает вопрос о среднем времени ожидания мы видим, что у зависит не только от средней длительности разговора, но и от дисперсии. Практически это лишний раз подчеркивает важность стандартизации разговора между абонентом и телефонисткой.

В качестве числового примера рассмотрим случай нулевой дисперсии в налаженной телефонной практике близкий к действительности; положим это дает если при тех же предположить распределение длительности разговоров по показательному закону (ввиду его простоты часто, хотя и без достаточных оснований принимаемому за базу теоретических изысканий), то и среднее время ожидания увеличивается вдвое: сек.

§ 5. Формулы для основных вероятностей

Мы виделн, что среднее время ожидания у находится вполне элементарно; однако, уже математическое ожидание величины у этим методом не удалось бы установить ввиду отмеченной зависимости между величинами Здесь необходим более глубокий анализ.

Прежде всего, поставим следующую задачу: если известно, что в некоторый момент времени происходит разговор, длительность которого равна то какова вероятность того, что в этот момент занято абонентов, и что в то же время уже протекшая часть разговора и заключена между Обозначая эту вероятность через мы, очевидно, будем иметь в легко понятных обозначениях:

Правая часть этих равенств легко может быть вычислена; в самом деле, во-первых (ср. § 3):

во-вторых, последний множитель совпадает с (так как при фиксированной протекшей части разговора его общая длительность, очевидно, не может влиять на степень скученности в данный момент), и следовательно, равен:

Таким образом:

в случае в случае

Но при данном неравенства эквивалентны неравенствам а потому:

при и 0 при . Чтобы получить отсюда величину т. е. вероятность того, что

в произвольно выбранный момент времени мы найдем занятых абонентов и что застигнутый нами при этом разгоюр продлится еще в течение времени, заключенного между надо, очевидно, помножить найденную вероятность на и проинтегрировать по от до (ибо при подынтегральная функция равна нулю). Таким образом:

где

§ 6. Характеристическая функция времени ожидания

Как известно для изучения всех вопросов связанных с законом распределения случайной величины частности, для вычисления ее моментов любого порядка, удобнее всего иайти ее характеристическую функцию, т. е. математическое ожидание выражения рассматриваемое как функция параметра Так мы и поступим. Пользуясь для обозначения математического ожидания символом мы будем иметь:

Однако математическое ожидание произведения в данном случае не равно произведению математических ожиданий, ввиду отмеченной зависимости величии и Поэтому для отыскания характеристической функции величины у мы должны прибегнуть к более сложному приему.

Если мы услозимся обозначать через математические ожидания, вычисленные в предположении, что вызов застал занятых абонентов, то в силу известных правил теории вероятностей:

Но при данном значении величины и взаимно независимы, так как, очевидно, длительность разговоров ожидающих абонентов не зависит от того, сколько еще времени будет длиться застигнутый разговор (величина

только потому зависела от что зависело от Поэтому:

После достигнутого таким образом разделения величин и дальнейший метод вычисления уже ясен. Прежде всего, легко вычисляется . В самом деле, если мы обозначим через характеристическую функцию длительности разговора, т. е. положим

и заметим, что есть суммарная длительность взаимно независимых разговоров, то мы без всяких вычислений можем написать:

Далее, в силу формулы (6):

откуда

Пользуясь выражением функции очень легко показать, что

(см. скан)

и следовательно:

или

Эта замечательная по своей простоте формула позволяет с большою легкостью находить выражения моментов величины у через моменты длительности разговора; для этого надо только вычислять последовательные производные деля их на соответствующие степени полагать в них Так, дает нам прежнюю формулу (5).

Далее,

где

Отсюда дисперсия:

Эта формула показывает, что среднее квадратическое отклонение величины у всегда превышает ее среднее значение; этим хорошо объясняется то явление, что даже при небольшом среднем времени ожидания мы часто имеем дело со сравнительно большими задержками. Так, например, при условии стандартной длительности разговора 8 сек. и при мы имели сек. При тех же условиях формула дает сек., так что при среднем времени ожидания 6 сек. не редкостью будет задержка в 15 сек. и более, что является уже ощутительным.