Глава 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ

§ 6. Поток вызовов как случайный процесс

Как мы уже говорили в начале главы 1, потоки вызовов, с которыми мы встреча гмся на практике, во многих случаях могут с достаточно хорошим приближением рассматриваться как простейшие; при изучении таких потоков поэтому обычно пользуются теми результатами, которые получены нами в главе 1. Однако в последние годы, когда усложняющаяся практика ставит перед наукой задачи все более сложные и требующие все более точного решения, встала настоятельная необходимость изучения потоков более общего типа. Непосредственных поводов для такого расширения изучаемой области имеется в основном два.

С одной стороны, статистика потоков вызовов даже в самых обычных условиях при возрастающей точности показывает, что выводы, основанные на предположении простейшего характера потока, недостаточно хорошо согласуются с опытными данными; можно без труда и теоретически предвидеть необходимость такого рода расхождений: нетрудно сообразить, например, что в действительности почти всегда следует ожидать в изучаемом потоке известного последействия и что не всегда этим последействием можно пренебрегать.

С другой стороны, имеются и такие случаи, когда изучаемый поток заведомо и принципиально отличается от простейшего; таковы все виды потоков переменной интенсивности (они не стационарны, см. § 5); таковы же и потоки, поступающие на вторую, третью, и т. д. линию «полнодоступиого пучка», даже в том случае, когда на первую линию поступает простейший поток; все эти потоки обладают

значительным последействием, возрастающим с номером линии, и учет этого последействия обязателен для теории (см. гл. 8). Поэтому современные исследования по теории массового обслуживания не могут ограничиться рассмотрением простейших потоков и вынуждены расширить в той или другой мере исходные предпосылки.

Переходя к исследованию потоков более общего типа, мы должны в целях строгости и недвусмысленной ясности изложения начать с точного определения основных понятий; мы не сделали этого в главе I, так как рассматривали эту главу как вводную, имеющую целью на простейшем примере показать характерные для всей теории потоков образцы применяемых в ней математических методов.

Если мы обозначим через число вызовов, поступающих за промежуток времени ( то для каждого фиксированного значения представляет собой случайную величину. При переменном представляет собой однопараметрическое семейство случайных величин, которое называют случайным процессом или случайной функцией. Для функции характерно то, что она: 1) может принимать только целые неотрицательные значения и 2) с возрастанием никогда не убывает.

Рис. 1.

График такой функции поэтому, независимо от случая, всегда имеет форму «лестницы», изображенную на рис. 1.

Для задания любого случайного процесса как такового иадо, чтобы для любой конечной группы положительных чисел был задан -мерный закон

распределения вектора

Если процесс представляет собой поток вызовов и, следовательно, может принимать только целые Неотрицательные значения, то для задания этого потока как случайного процесса надо задать для каждой группы положительных и каждой группы целых неотрицательных чисел вероятность системы равенств очевидно, эта вероятность может быть отличной от нуля только в том случае, если при мы имеем и . В частности , для любого и любого целого неотрицательного должна быть известна вероятность равенства которую мы в главе I обозначали через Таким образом, система функций входит как обязательный элемент в состав описания каждого потока вызовов. В общем случае, однако, задания этой системы функций для полной характеристики потока еще недостаточно.

Поток вызовов называется стационарным, если при любом положительном а закон распределения вектора совпадает с законом распределения вектора иначе говоря, закон распределения вектора зависит от чисел , но не зависит от а. В частности для стационарного процесса означает вероятность поступления вызовов в промежутке где произвольно, т. е. в любом промежутке длины

Данный поток вызовов называется потоком без последействия, если закон распределения вектора

при любом не зависит от значений величины при каких-либо значениях Это определение, очевидно, в точной форме выражает то требование, чтобы случайное течение потока вызовов после какого-либо момента времени а было независимым от его течения до момента в; но в этом и состоит отсутствие последействия в понимании теории вероятностей.

Легко видеть, что стационарный поток без последействия полностью характеризуется системой функций т. е. законом распределения числа вызовов, поступающих в течение (где угодно расположенного) промежутка времени длины В самом деле, так как система равенств

очевидно, равносильна системе равенств

где для общности положено то (обозначая через вероятность события, помещенного в фигурных скобках) мы будем иметь

так как промежутки взаимно не перекрываются, то отсюда в силу отсутствия последействия

а так как в силу стационарности потока

Это показывает, что заданием системы функций действительно однозначно определяются вероятности вида полностью характеризуется данный поток как случайный процесс.

В частности, для простейшего потока с параметром Я мы имели (§ 2)

поэтому для простейшего потока с параметром мы имеем при