Глава 5. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

§ 14. Постановка задачи. Теорема Пальма

Как мы уже говорили в главе 1, значительное большинство исследований прикладного характера основывается на предположении, что первичный поток поступающих на данную установку вызовов является простейшим потоком. Однако давно уже известен целый ряд принципиальных соображений, заставляющих сомневаться в том, что предпосылки, которые представляют собой определение простейшего потока, с достаточной степенью точности выполняются в большинстве практически встречающихся случаев (в особенности это относится к требованию отсутствия последействия). Если поэтому наблюдения и опыт констатируют некоторое небольшое отклонение реально встречающихся потоков от простейших, то этому не следует удивляться; более того, удивление может вызвать тот факт, что отклонения такого рода в большинстве случаев бывают менее значительными, чем этого можно было бы ожидать из теоретических соображений. Таким образом, если обычно при сопоставлении выводов теории с опытными данными перед исследователем встает задача — объяснить причины отклонения реально протекающих явлений от теоретически предсказанного их течения, то в данном случае дело обстоит как раз наоборот: опытные данные согласуются с выводами построенной теории, как правило, лучше, чем этого можно было бы ожидать по принципиальным соображениям, и именно это «слишком хорошее» согласие требует объяснения.

Пальмом [8] сделана заслуживающая внимания попытка. объяснения фактов этого рода, исходя из предположения, что данный поток представляет собой простую сумму (суперпозицию) большого числа взаимно независимых потоков малой интенсивности, причем каждый из слагаемых потоков является стационарным и ординарным, в отношении же последействия эти потоки могут вести себя произвольным образом. При этом оказывается, что в весьма широких предположениях суммарный поток по своему характеру должен быть близок к простейшему. Такая постановка задачи, по-видимому, во многих случаях близка к реальной ситуации. Так, если

к данной установке прикреплено большое число абонентов, то общий поток вызовов слагается из потоков (сравнительно весьма малой интенсивности), исходящих от отдельных абонентов, причем эти слагаемые потоки можно в первом приближении считать стационарными, ординарными и взаимно независимыми.

Мы приходим на этом пути к ряду своеобразных предельных теорем, которые способны в значительной степени объяснить исследуемое явление. Этим вопросом мы и займемся в настоящей главе.

Пусть исследуемый поток представляет собой суперпозицию стационарных, ординарных и взаимно независимых потоков. Обозначим через интенсивность потока, через его функцию Пальма [которую в гл. 3 мы обозначали через и через вероятность поступления в промежутке к вызовов потока. Те же величины для суммарного потока обозначим соответственно через и (так что в частности . Мы будем исходить из следующих предпосылок:

1°. При остается постоянным, в то время как числа равномерно стремятся к нулю, так что для любого мы имеем если достаточно велико.

2°. При любом постоянном О и при числа равномерно стремятся к единице, так что для любого мы имеем если достаточно велико.

Предпосылка 2° требует некоторого пояснения. Ближайший анализ показывает, что одного равномерного уменьшения интенсивности слагаемых потоков, выражаемого предпосылкой , еще недостаточно для того, чтобы суммарный поток приближался к простейшему; этому могут помешать скопления большого числа вызовов одного и того же цотока на небольших участках — скопления, возможность которых создается тем, что последействие в каждом из слагаемых потоков мы не подвергали до сих пор никаким ограничениям. Предпосылка 2° имеет целью как раз уменьшить шансы такого рода скоплений. Она говорит, что при сколь угодно большом вероятность не получить после некоторого вызова время ни одного нового вызова того же потока должна

при стремиться к единице равномерно по всем слагаемым потокам.

Прежде всего мы покажем, что при сделанных предпосылках вероятность отсутствия вызовов суммарного потока в промежутке приближается при к соответствующей вероятности для простейшего потока с параметром

Теорема Пальма. При постоянном и при

Доказательство. Формула (10.5) дает для -го потока

или

поэтому в силу 2° при достаточно большом

отсюда легко находим

где зависит только от Так как в силу взаимной независимости потоков

то отсюда

Так как сколь угодно мало при достаточно большом , то при

что и требовалось доказать.

Без достаточных оснований Пальм полагает, что доказанная теорема уже влечет за собой приближенно простейший характер суммарного потока Разумеется, этой теоремы еще далеко не достаточно, и мы должны теперь перейти к дальнейшему исследованию вопроса.