§ 11. Интенсивность стационарного потока. Теорема Королюка

В § 4 мы условились называть интенсивностью данного стационарного потока математическое ожидание числа вызовов в единицу времени; в силу аддитивности математических ожиданий мы имеем тогда, что математическое ожидание числа вызовов в промежутке длины для стационарного потока пропорционально т. е.

Там же мы убедились, что всегда а для простейшего потока

В работах прикладного характера совпадение параметров обычно принимается как самоочевидный факт, не требующий даже оговорки, при исследовании стационарных потоков самого общего типа. Ввиду практического значения этого допущения представляется важным разобраться в его предпосылках и дать ему строгое обоснование там, где это возможно.

Остановимся сначала на случае стационарного потока без последействия. В § 8 мы видели, что для потоков этого рода

производящая функции

имеет вид

где

Так как, очевидно,

и так как

то

откуда

Так как

то мы непосредственно видим, что для равенства необходимо и достаточно иметь Но прир, данный поток, как мы видели в конце § 8, является простейшим. Таким образом, среди стационарных потоков без последействия только простейшие потоки удовлетворяют требованию для всех остальных

Так как для стационарного потока без последействия ординарность есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы этот ноток был простейшим, то можно еще сказать, что для стационарного потока без последействия, интенсивность которого конечна, необходимым и достаточным

условием равенства является ординарность этого потока

Выведенные нами в § 10 формулы Пальма позволяют, как это показал В. С. Королюк, легко убедиться, что для любого стационарного потока ординарность влечет за собой равенство (причем не исключается случай .

В самом деле, мы имеем

откуда в силу формулы (10.7)

Но

а так как отношение есть условная вероятность иметь в промежутке и ровно вызовов (при условии наличия вызовов в промежутке то при любом

а потому в силу (11.2)

следовательно, при любом

а значит, и

и (11.1) дает а так как еще в § 4 мы видели, что всегда то и наше утверждение доказано.