ЧАСТЬ I. ВХОДЯЩИЙ ПОТОК ВЫЗОВОВ

Глава 1. ТЕОРИЯ ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА

Общая теория потоков однородных событий должна естественно начинаться с определения основных общих понятий, связанных с такими потоками. Однако мы отложим такой общий подход до главы 2, где он будет проведен в нужной широте. Мы предпочитаем сразу ввести читателя в круг конкретных исследований, связанных с потоками некоторого простейшего типа, чтобы тем самым с первых страниц дать ему наглядное представление об основных ходах мысли и математических орудиях теории массового обслуживания, о стиле этого учения как математической дисциплины. После того как эти конкретные представлении будут в достаточной мере усвоены, изучение более абстрактной общей теории уже не должно будет показаться трудным.

Добавим к этому, что тот простейший тип потока, который мы будем изучать в настоящей главе, в течение долгого времени оставался почти единственным, употреблявшимся в приложениях; лишь в сравнительно недавнее вргмя отчетливо выяснилась необходимость изучения потоков более общего типа; впрочем и в наши дни значительное большинство приложений теории массового обслуживания (в частности, и приложений к телефонному делу) исходит еще из предпосылки, что поступающий поток требований (вызовов) принадлежит простейшему типу. Приложения (особенно технические) теории простейшего потока за последние десятилетия настолько расширились, что в настоящее время даже элементарные курсы теории вероятностей, как правило, включают в свою программу специальные главы, посвященные этой теории.

§ 1. Определение и постановка задачи

Простейшим мы будем называть поток однородных событий, если он обладает следующими тремя свойствами.

1° Стационарность. Каковы бы ни были и целое вероятность того, что за промежуток времени произойдет событий, одна и та же для всех а О (и, значит, зависит только от будем во всем дальнейшем обозначать эту вероятность через На протяжении всей книги мы будем иметь дело только с такими потоками, в которых за конечный промежуток времени с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий. Мы будем, таким образом, всегда иметь при любом Стационарность потока выражает собой неизменность его вероятностного режима во времени.

2° Отсутствие последействия. Вероятность наступления событйй за промежуток времени не зависит от чередования событий до момента а; другими словами, условная вероятность наступления событий за промежуток времени вычисленная при любом предположении о чередовании событий до момента в, равна безусловной вероятности того же события. Отсутствие последействия выражает собой взаимную независимость протеканий потока в непересекающихся между собой промежутках времени.

3° Ординарность. Пусть для данного стационарного потока означает вероятность того, что за (где угодно расположенный) промежуток времени длины наступит по меньшей мере два события очевидно, Тогда мы имеем

или, что то же,

Как мы увидим далее, ординарность потока выражает собой практическую невозможность совмещения двух или более событий в один и тот же момент времени.

Итак, простейшим потоком однородных событий мы называем всякий стационарный ординарный поток без последействия.

Основная задача теории простейшего потока состоит в определении вида функций иначе говоря, целью нашей будет отыскание закона распределения числа событий за промежуток времени длины рассматриваемого как случайная величина. При этом мы ради определенности реальной интерпретации изучаемого потока будем во всем дальнейшем предполагать, что речь идет о потоке вызовов, поступающих на некоторую телефонную установку, и в соответствии с этим называть иаши однородные события «вызовами».