§ 15. Предельное поведение функций Vk(t)

Мы должны теперь в первую очередь убедиться, что и при любом функция нашего суммарного потока при стремится к соответствующей функции простейшего потока с параметром т. е. к . С этой целью нам понадобится следующая общая

Лемма. Пусть мы имеем стационарный и ординарный поток с интенсивностью X и функцией Пальма и пусть как прежде, означает вероятность поступления не менее двух вызовов за время Тогда при любом

Доказательство. Разобьем отрезок на равных между собой частей (ячеек)

Поступление в отрезке по меньшей мере двух вызовов, очевидно, влечет за собой наступление по меньшей мере одного из следующих двух событий:

Существует по меньшей мере одна ячейка содержащая не менее двух вызовов.

Существует такая ячейка что как в так и в отрезке содержатся вызовы.

Поэтому мы имеем

Прежде всего мы имеем в силу ординарности данного потока

Далее в § 9 мы обозначали через вероятность того, что в промежутке длины имеются вызовы, а в следующем за ним промежутке длины вызовов нет. есть поэтому вероятность того, что вызовы имеются как в так и в следовательно,

Так как при

то правая часть последних неравенств при стремится к . А так как от не зависит, то из (15.1), (15.2) и (15.3) вытекает в пределе при

что и требовалось доказать.

Введем теперь следующие обозначения для событий:

в промежутке поступает вызовов суммарного потока;

ни один из слагаемых потоков не дает в более одного вызова;

по меньшей мере один из слагаемых потоков дает в более одного вызова.

Нашей целью является исследование асимптотического поведения величины Но

и, обозначая функцию для слагаемого потока через в силу доказанной леммы

а так как в силу предпосылки 2° мы имеем при достаточно большом

то при достаточно большом

и, следовательно, при

Но событие состоит, очевидно, в том, что из слагаемых потоков какие-то к дают в промежутке по одному вызову, тогда как остальные в этом

промежутке вызовов не дают. Поэтому, если означает произвольное сочетание из различных между собой чисел ряда то

где суммирование производится по всем сочетаниям описанного типа.

Теперь мы можем приступить к доказательству нашего основного утверждения.

Теорема. При

Доказательство. Из (14.1) следует, что при достаточно большом

а так как и в силу доказанной леммы, при достаточно большом то мы можем при постоянном писать

где (как и в дальнейшем) ограничены при Отсюда

и, следовательно,

В силу (15.5) и теоремы Пальма (§ 14) поэтому

Так как 6 произвольно мало при достаточно большом , то для доказательства теоремы нам в силу (15.4) достаточно убедиться, что при

Это мы теперь и сделаем. При соотношение (15.6) тривиально. Пусть поэтому для некоторого 1 при

Умножим каждый член суммы на сумму всех не входящих в него, т. е. на величину

Тогда после раскрытия всех скобок мы получим сумму произведений вида

где индексы попарно различны между собой.

Каждое такое произведение есть одни из членов суммы обратно, любой член суммы будет, очевидно, получен при этой операции и притом в точности раз [член получается как как наконец, как Так как, очевидно, при достаточно большом и при любой комбинации

то из нашего подсчета следует

и следовательно, из (15.7) при

а так как в при достаточно большом как угодно мало, то при т. е.

и наша теорема доказана индукцией.