§ 25. Бесконечный пучок при произвольном законе распределения длин разговоров

В §§ 22—24 мы убедились, что для задачи Эрланга бесконечный пучок в известном смысле представляет собой более простой объект исследования, чем конечный (в частности, в § 24 мы до конца рассмотрели случай входящего потока с переменным параметром — задача, которая, насколько нам известно, еще не решена для конечного пучка). В нашем изложении сравнительная простота трактовки случая бесконечного пучка все время связывалась с возможностью применения метода производящих функций; при этом мы ради соблюдения самой тесной аналогии с теорией конечного пучка исходили всегда из системы дифференциальных уравнений Эрланга. На самом деле, задача Эрланга для бесконечного пучка представляет собой чрезвычайно простую проблему, которая может быть решена и вполне элементарными средствами; при этом оказывается, что показательный закон распределения длин разговоров, служивший важной предпосылкой в методе уравнений Эрланга, при элементарной трактовке задачи без существенных усложнений может быть заменен любым другим законом. Ради этого важного обобщения мы и остановимся в настоящем параграфе на элементарном выводе формул Эрланга для бесконечного пучка.

Мы сохраним все предпосылки § 22 с той разницей, что вероятность для наудачу выбранного разговора иметь длину будем предполагать произвольной невозрастающей функцией, подчиненной только требованиям

из которых последнее выражает собой соглашение принимать за единицу времени среднюю длительность разговора. Будем, как прежде, обозначать через вероятность того, что в момент 0 ведется разговоров (или, что то же, занято линий). Наша задача — показать, что

Пусть произвольный -мерный вектор, принадлежащий области -мерного пространства. Условимся называть гипотезой событие, состоящее в том, что в промежутке происходит вызовов и моменты этих вызовов удовлетворяют неравенствам

Так как поток вызовов — простейший с параметром то вероятность гипотезы с точностью до бесконечно малых высших порядков выражается при малых формулой

где последний множитель есть вероятность того, что между моментами вызовов не поступает. Отсюда

(и, в частности, не зависит от вектора Пусть условная вероятность застать разговоров в момент если имеет место гипотеза Очевидно, может быть отличной от нуля лишь при Так как для разговора, начавшегося в момент вероятность не закончиться к моменту равиа то

где С—любое сочетание по чисел ряда и где суммирование производится по всем таким сочетаниям.

По формуле полной вероятности мы имеем

где по мы должны суммировать от до а по X интегрировать по области Поэтому мы находим в силу (25.1) и (25.2)

Подынтегральная функция здесь, очевидно, симметрична относительно переменных Интеграл поэтому не изменится, если в определении области мы заменим порядок переменных интеграции любым другим порядком; а так как всех таких порядков возможно и так как соединение всех получаемых таким образом областей дает -мерный куб то мы можем интегрировать по всему этому кубу с последующим делением на Таким образом, мы получаем

Здесь интеграл по кубу распадается на произведение простых интегралов и равен

Полагая

мы имеем

и следовательно (так как число сочетаний С равно

Так как при то отсюда

что и требовалось доказать.