ЧАСТЬ III. СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ

Глава 9. СЛУЧАЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИН РАЗГОВОРОВ

§ 34. Вероятности состояний

Мы обращаемся теперь к изучению полнодоступного пучка с ожиданием. Поступившему вызову приходится ждать разговора тогда и только тогда, когда он застает все линий пучка занятыми. Поэтому здесь наша прежняя «вероятность потери» (т. е. вероятность застать все линии занятыми) может быть названа «вероятностью ожидания». Эта величина понятным образом играет известную роль в оценке качества работы пучка. Однако для систем с ожиданием эта роль сравнительно невелика, так как, если даже значительному большинству вызовов приходится ожидать, обслуживание должно быть ирнзцаио вполне удовлетворительным во всех тех случаях, когда промежутки ожидания оказываются в своем большинстве очень малыми. Решающую роль здесь играет не частота ожиданий («потерь»), а природа времени ожидания у как случайной величины; частота же ожиданий дает нам только одни штрих этой картины — вероятность неравенства у 0. Понятно поэтому, что конечной целью в исследовании систем с ожиданием всегда служит отыскание закона распределения времени ожидания у.

Для всех задач, которые мы будем рассматривать, безразлично, является ли данный пучок линий упорядоченным или нет. Входящий поток вызовов мы будем всегда предполагать простейшим с параметром Вызовы обслуживаются

в порядке их поступления. Длины разговоров всегда будут мыслиться независимыми как друг от друга, так и течения потока вызовов. Что касается закона распределения этих длин, то именно он составляет собой основной момент различия в задачах теории систем с ожиданием. Обычно бывает так, что при различных распределениях длин разговоров к исследованию времени ожидания приходится подходить различными методами. В настоящей главе мы рассмотрим самый простой случай, когда длины разговоров подчиняются показательному закону

Для этого случая полное решение задачи было дано еще Эрлангом [7].

Условимся обозначать через вероятность того, что в момент система находится в «состоянии имеется всего «наличных» (говорящих или ожидающих) вызовов. При занято линий, ожидающих нет; при все линий заняты и имеется ожидающих.

Если то мы находимся в тех же условиях, что и в случае систем с потерями, так как при нет ни потерь, ни ожиданий. Все соображения, приведенные нами в § 20, поэтому остаются в силе и, как там, приводят нас к системе уравнений

[ср. § 20, где мы полагали ]. Но последнее уравнение системы должно быть теперь заменено другим, так как теперь возможен переход в состояние из состояния которое не имело смысла в случае системы с потерями.

Проведем общее рассмотрение для любого Будем, как прежде, обозначать через вероятность перехода системы из состояния в состояние за время и понимать знак как равенство с точностью до бесконечно малых вида при Тогда мы легко находим, аналогично § 20, при

[отличие от случая состоит в том, что теперь мы имеем а не как прежде, так как при в состоянии мы имеем а не занятых линий]. Эти оценки с помощью рассуждений, в точности аналогичных проведенным нами в § 20, приводят к соотношению

откуда мы, снова в тесной аналогии с рассуждениями § 20, получаем с помощью предельного перехода

Таким образом, в целом система § 20 теперь заменяется (бесконечной) системой уравнений

Как и в случае систем с потерями, мы принимаем в качестве вероятностей состояний пределы, к которым стремятся вероятности при . В случае систем с потерями мы доказали во всей полноте существование этих пределов [теорема Маркова, § 19]. В случае систем с ожиданием т. е. в случае уравнений (34.1)] такое доказательство также может быть проведено; однако здесь оно несравненно более сложно и требует существенно новых идей, так как метод Маркова тесно связан с предположением конечного числа возможных состояний системы. Мы не можем поместить этого доказательства здесь и вынуждены ограничиться ссылкой на его возможность Необходимо еще отметить, что в нашем новом случае мы, кроме существования пределов величин при должны еще доказать возможность предельного

перехода во всей системе (34.1) — вопрос, который в § 20 у нас не возникал, так как там мы имели дело с конечной системой уравнений.

Итак, мы допускаем, что при существуют пределы

и что соответствующий предельный переход возможен одновременно во всех уравнениях системы (34.1). Так как при этом левые части всех этих уравнений в пределе обращаются в нуль (это доказывается в точности так же, как и в § 20), то мы приходим к системе линейных уравнений

из которой, в соединении с нормирующим условием

мы и должны определить числа

Полагая

мы легко находим из системы (34.2)

откуда

или

Это дает, если для краткости положить еще

в частности, при мы находим

Чтобы найти значения при мы обращаемся к последней группе уравнений (34.2). Перепишем их в виде:

и просуммируем по до

откуда

или, так как

и следовательно, в силу (34.3)

Таким образом, для любого мы имеем

Соединяя этот результат с полученным прежде для мы находим

Нам остается найти Нормирующее условие

дает

где положено Вспомним для сравнения, что в случае системы с потерями мы имели (§ 20)

Отметим еще, что вероятность найти все линии занятыми («вероятность ожидания») равиа в силу (34.4)

§ 35. Закон распределения времени ожидания

Теперь мы уже легко можем найти вероятность того, что для поступившего в произвольно выбранный момент вызова время ожидания будет больше чем Обозначим через условную верятность того же неравенства в предположении, что произведенный вызов застал систему в состоянии По формуле полной вероятности мы имеем

или, так как, очевидно, при

Величины нам известны; остается определить величины

Положим Наша задача — иайти вероятность неравенства при условии, что в момент вызова все линии были заняты и сверх того имелось ожидающих. Очевидно, что при этом наш вызов получает разговор после освобэждения линии. Искомая вероятность есть поэтому вероятность того, что за время после появления нашего вызова произойдет не более чем освобождений линии. Пусть есть вероятность того, что за это время произойдет ровно освобождений;

тогда в силу

Но поток освобождений за время ожидания нашего вызова представляет собой в силу показательного закона распределения длин разговоров простейший поток с параметром так как вероятность того, что не произойдет ни одного освобождения за время после такого момента, когда все линии заняты, равна Величина есть вероятность того, что за время наступит событий этого потока; в силу формул главы 1 поэтому

и мы находим

Возвращаясь к формуле (35.1) и используя соотношение (34.4), мы находим

или, так как в силу (34.3) и

Этим иаша задача решена. Мы видим, что в принятых нами условиях время ожидания подчиняется показательному закону распределения с параметром Вместе с тем мы получаем

как и должно быть: через мы как раз обозначили в конце § 34 вероятность застать все линии занятыми («вероятность ожидания»).