ЧАСТЬ II. СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ

§ 17. Вводные замечания

После того как в первой части книги подробно изучены свойства потока поступающих вызовов, мы в последующих разделах должны рассмотреть основные вопросы, связанные с обслуживанием этого потока. Каждая станция (пункт, в который поступают вызовы) снабжена несколькими приборами, предназначенными для обслуживания вызовов; эти приборы могут быть весьма различного типа соответственно возлагаемым на них функциям; в частности, таким «прибором» может быть и человек (телефонистка, продавец в магазине, врач в амбулатории и т. п.); мы условимся ради единства терминологии во всех случаях называть обслуживающие приборы линиями. Процесс обслуживания протекает так, что всякий поступающий вызов занимает на некоторое время одну из имеющихся в момент его поступления свободных (незанятых) линий; пока линия занята каким-либо вызовом, она недоступна для вновь поступающих вызовов; период занятия какой-либо линии одним вызовом мы будем (опять-таки только ради единства терминологии) называть разговором.

Для задач обслуживания основное значение имеет различение двух типов устройства станций. Если в момент поступления какого-либо вызова имеются свободные линии, то вызов при любом устройстве станции занимает какую-либо одну из них и приступает к разговору. Различия возникают лишь в том случае, когда поступающий вызов застает все линии занятыми. При одном устройстве (системы с потерями) такой вызов просто получает отказ (или, как говорят,

«теряется»), и все дальнейшее течение процесса обслуживания идет так, как если бы этот вызов вообще не поступал; при другом устройстве (системы с ожиданием) вызов, заставший все линии занятыми, сохраняется как претендент на будущий разговор и в дальнейшем занимает одну из освободившихся линий. Эти два типа устройств отличаются друг от друга не только способом решения основных задач, но и самой их постановкой: дело в том, что уже показатели качества обслуживания в этих двух случаях совершенно различны. Для систем с потерями основным показателем является, очевидно, вероятность отказа (потери) — понятие, лишенное смысла для систем с ожиданием. Напротив, для систем с ожиданием центральной задачей служит изучение времени ожидания как случайной величины; эта задача, очевидно, не имеет никакого смысла для систем с потерями.

Ввиду столь существенных различий мы, естественно, должны рассматривать эти два типа устройств обособленно друг от друга. Системам с потерями мы посвятим вторую, а системам с ожиданием — третью часть книги. Здесь же заметим еще только, что мыслимы и системы промежуточного типа; так, например, можно заставлять неудачные вызовы ожидать, покуда число ожидающих не превзойдет определенной границы, после чего вновь поступающие вызовы уже получают отказ. Теория таких имеющих несомненное практическое значение «смешанных» систем в настоящее время еще почти не разработана.

Кроме указанного основного различия, устройства станций отличаются друг от друга еще многими другими чертами, вследствие чего число различных между собой употребительных устройств становится очень большим. Само собой понятно, что в нашей краткой монографии мы имеем возможность остановиться лишь на небольшом числе типов таких устройств и что поэтому при решении каждой задачи мы вынуждены исходить из некоторых определенных предпосылок, которые в действительности отнюдь не являются единственно возможными. Мы считаем полезным здесь же рассмотреть еще некоторые важные черты, которыми могут отличаться друг от друга различные системы обслуживания вызовов.

1° Будем предполагать, что все имеющиеся линии в равной степени доступны всем поступающим вызовам (такую

систему называют «полнодоступным пучком линий»), В противоположность этому в действительности нередко приходится встречать случаи, когда определенные категории вызовов «прикреплены» к определенным линиям и не могут занимать других линий.

2° Мы почти всегда будем предполагать поток поступающих вызовов простейшим. В части I мы сделали достаточно указаний относительно того, в какой мере это допущение соответствует действительности.

3° Назовем полнодоступный пучок упорядоченным, если его линии перенумерованы так, что поступающий вызов всегда занимает лннню с наименьшим номером из числа тех, которые свободны в момент его поступления (т. е. первую, если она свободна; вторую, если первая занята, а вторая свободна, и т. д.). В неупорядоченном пучке линии занимаются в случайном порядке. На практике встречаются устройства обоих типов. Следует отметить, что для ряда основных задач вопрос об упорядоченности или неупорядоченности пучка не играет никакой роли; такова, например, вся проблема Эрланга, которой будут посвящены главы 6 и 7. Однако есть и такие задачи, которые, напротив, получают смысл только для упорядоченного пучка, такова, например, задача Пальма, которая будет рассмотрена в главе 8.

4° Для систем с ожиданием имеет во многих задачах существенное значение вопрос о порядке обслуживания ожидающих вызовов. Это обслуживание может проводиться либо в порядке очереди, либо в случайном порядке, причем в ряде задач подсчеты приводят в этих двух случаях к различным результатам.

5° Наконец, весьма важное значение для большинства задач теории обслуживания имеет вопрос о законе распределения длительности занятий (разговоров). В значительном большинстве исследований этот закон предполагается показательным (т. е. вероятность того, что длительность разговора будет больше принимается равной где постоянная). Этот выбор обусловлен главным образом тем, что он значительно облегчает необходимые расчеты. Можно без преувеличения сказать, что заметное большинство задач теории обслуживания решается сравнительно просто при показательном распределении длительности разговоров и, напротив, приводит к неодолимый трудностям при почти

всяком ином предположении о форме этого закона распределения.

Такое исключительное положение показательного распределения длительности разговоров обусловлено главным образом одним его важным свойством, которым мы не раз будем пользоваться в дальнейшем. Пусть есть вероятность того, что разговор, длящийся уже а секунд, продлится еще не менее секунд, так что при показательном распределении Так как, очевидно, всегда

то при показательном распределении

откуда

Это означает, что при показательном распределении длительности разговоров закон распределения оставшейся части разговора не зависит от его «возраста», т. е. от того, сколько времени он уже длится. Именно это свойство показательного распределения в большинстве случаев и упрощает производимые расчеты. Вместе с тем оно же заставляет думать, что в практических ситуациях гипотеза показательного распределения длительности разговоров вряд ли может рассчитывать на точное осуществление и в лучшем случае способна служить лишь более или менее хорошим приближением к действительности.