§ 7. Основное свойство стационарных потоков

Для любого стационарного потока условимся, как в главе 1, обозначать через вероятность того, что в течение промежутка времени длины произойдет по крайней мере одии вызов, так что

В § 4 мы убедились, что для стационарного потока без последействия (в частности, для простейшего потока) отношение при стремится к определенному пределу , который мы называли параметром данного потока и который, как мы видели, имеет важнейшее значение для изучения основных свойств этого потока. Соотношение

равносильное соотношению

часто выражают, говоря, что при малых «асимптотически пропорционально» . В подавляющем большинстве изложений теории простейшего потока соотношение (7.2) [или (7.1)] прямо включается в определение простейшего потока, что, как мы видели, является излишним, так как это соотношение выводится как простое следствие требований стационарности и отсутствия последействия.

Однако соотношение (7.1) на самом деле обладает еще значительно более широкой областью прнмзнимости; оно имеет место, как мы теперь убедимся, для любого стационарного потока. Параметром, как мы его определяли в главе 1, обладает, таким образом, каждый стационарный поток, независимо от наличия или отсутствия последействия. Это обстоятельство дает нам, как мы увидим, весьма удобный опорный пункт для изучения общих свойств стационарных потоков.

Доказательство существования предела (7.1) для любого стационарного потока опирается на следующую элементарную лемму теории пределов, которая, как мы увидим, пригодится нам и в дальнейшем.

Лемма. Пусть функция неотрицательная и неубывающая в отрезке если х, принадлежат отрезку Тогда отношение при либо безгранично возрастает, либо стремится к некоторому пределу; этот предел равен нулю только в тривиальном случае

Доказательство. Из неравенства легко следует, что

для а и любого натурального числа в частности, при

это показывает, что [за исключением тривиального случая ]

причем не исключен случай

Допустим сначала, что Пусть число таково, что

где — сколь угодно малое наперед заданное число, и пусть . Определим натуральное число из неравенств

тогда в силу (7.3) и предположенной монотонности

и, значит, в силу (7.4)

а так как 6 произвольно мало и при то

и лемма доказана. Рассуждение остается в принципе тем же Мы барзм произвэльнэ блыюе и выблрлем число с так, что тогда из (7.5)

и значит, при

Теорема. Для любого стационарного потока существует

причем не исключен случай

Доказательство. Достаточно показать, что функция в некотором отрезке удовлетворяет всем предпосылкам только что доказанной леммы. Очевидно, что и с возрастанием не может убывать; очевидно также, что в силу стационарности потока если мы отбросим тривиальный случай потока, в котором вызовы вообще невозможны. Наконец, если произошел по меньшей мере один вызов в промежутке то, очевидно, то же самое должно иметь место хотя бы для одного из двух промежутков ( откуда

таким образом, и эта последняя предпосылка оказывается выполненной. Применяя лемму, мы видим, что теорема доказана.

Если данный стационарный поток есть поток без последействия, то для него, как мы это показали в § 2, мы имеем

за исключением случаев, когда в любом промежутке времени либо с достоверностью вовсе не поступает вызовов, либо с достоверностью поступает бесконечное множество вызовов; эти два случая, как не имеющие практического значения, мы условились выше исключить из рассмотрения. Отсюда для потока без последействия

предел, существование которого мы доказали в последней теореме, в случае потока без последействия всегда есть, таким образом, некоторое конечное положительное число. Но если допустить возможность последействия, то Я может обращаться в случаях, не исключенных нами из рассмотрения.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующий пример стационарного потока. Вообразим себе простейший поток, параметр Я которого представляет собой случайную величину, распределенную по некоторому закону конце § 6 мы определили вероятность системы равенств для простейшего потока с данным значением параметра будем теперь для краткости обозначать эту вероятность через Если параметр есть случайная величина, распределенная по закону то вероятность системы равенств будет (по формуле полной вероятности) равна

Эта вероятность определена, таким образом, для любых а это, как мы знаем, означает задание определенного потока; этот поток будет, очевидно, стационарным; но, вообще говоря, он будет потоком с последействием. Если имеют обычное значение для потока (7.6), а и означают те же величины для простейшего потока с параметром , то мы, очевидно, имеем

и

откуда

Если

[т. е. закон имеет конечное математическое ожидание], то в силу неравенства получаем

отношение при ограничено, и рассматриваемый нами поток имеет конечный параметр. Но если интеграл

расходится, то при . В самом деле, пусть произвольно мало и А столь велико, что

тогда в силу

мы имеем

и значит, при Таким образом, в случае расходимости интеграла (7.7) наш поток имеет бесконечное значение параметра. Вместе с тем этот поток с вероятностью 1 дает конечное число вызовов в любом конечном промежутке времени; мы имеем

или, так как